大学高数 第二章导数与微分

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分第第2 2章章 导数与微分导数与微分1 导数的基本概念求导的基本法则函数的微分中值定理、洛必达法则导数及其应用第二章第二章 导数与微分导数与微分几个常见的概念区别几个常见的概念区别2极限反映函数值在某个过程中的变化趋势。连续性反映函数在某个范围内是否出现间断。导数反映对于自变量的变化，函数值的变化快慢。微分反映对于自变量的微小变化，函数值的变化。第二章第二章 导数与微分导数与微分2.1 2.1 导数的概念导数的概念32.2.1 函数的变化率问题举例函数的变化率问题举例4解：解：1）先求平均速度）先求平均速度52）再求瞬时速度）再求瞬时速度第二章第二章 导数与微

2、分导数与微分 2.1.2 2.1.2 导数的定义及其几何意义导数的定义及其几何意义1.1.导数的定义导数的定义6第二章第二章 导数与微分导数与微分关于导数定义的几点说明关于导数定义的几点说明78910第二章第二章 导数与微分导数与微分2.2.函数可导的条件函数可导的条件11函数在 点可导的充要条件是在该点的左右导数均存在且相等。0 x12利用导数的定义求导数的一般步骤利用导数的定义求导数的一般步骤131415xxcos)(sin同理：同理：xxsin)(cos3 3、导数的几何意义、导数的几何意义xyMyx00,yxN, xfy OT由此可知特别地函数在某点可导与该点存在切线的关系为：可导必有

3、切线，有切线未必可导。17第二章第二章 导数与微分导数与微分2.1.3 2.1.3 函数连续性与可导性的关系函数连续性与可导性的关系181.函数在某点可导，则在该点必连续。函数在某点可导，则在该点必连续。2.函数在某点连续，在该点未必可导。函数在某点连续，在该点未必可导。函数在某点可导是在该点连续的充分不必要条函数在某点可导是在该点连续的充分不必要条件；函数在某点连续是在该点可导的必要不充件；函数在某点连续是在该点可导的必要不充分条件。分条件。1920第二章第二章 导数与微分导数与微分2.2 2.2 求导法则求导法则2122第二章第二章 导数与微分导数与微分 2.2.1 2.2.1 函数四则运

4、算的求导法则函数四则运算的求导法则232425第二章第二章 导数与微分导数与微分2.2.2 2.2.2 反函数求导法则反函数求导法则26即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。27第二章第二章 导数与微分导数与微分2.2.3 2.2.3 复合函数求导法则复合函数求导法则28即：复合函数对最底层自变量的导数等于最高层变量对中间变量的导数乘以中间变量对最底层自变量的导数。2930例例:求下列函数的导数求下列函数的导数31第二章第二章 导数与微分导数与微分2.2.4 2.2.4 隐函数求导法隐函数求导法32第二章第二章 导数与微分导数与微分隐函数求导基本方法隐函数求导基本方法3334221169xy

5、)323, 2(例14 求椭圆在点处的切线方程. 求导得：x解：两端对自变量, 092162yyxyxy169)323, 2(又点位于椭圆上，由导数的几何意义知：243233xy故所求切线方程为：03843yx即：432xy所求切线的斜率为：35第二章第二章 导数与微分导数与微分2.2.5 2.2.5 对数求导法对数求导法36解：两边取对数得：xxylnsinln两边对x求导数得： ,sinlncos1xxxxyyxxxxyysinlncosxxxxxyxsinlncossin即：xxxxy4ln3ln2ln1ln21ln1xyycos1解：设，则两边取自然对数得：1y在xxxxyy41312

6、11121111则121(1)(2)(3)(4)xxyxx39xxxxxxxxy432141312111211xxxxxxxxxycos43214131211121即：所以：第二章第二章 导数与微分导数与微分 2.2.6 2.2.6由参数方程确定的函数求导由参数方程确定的函数求导40cossinxatybtt 4例 求椭圆在处的切线方程. ddsin ,cosddxyatbttt 解：因为dcoscot ,dsinttyybtbtxxata 所以4ddtybxa 故,224cos4aaxt224sin4bbytt 4又当时，2222axabby由点斜式得所求切线方程为：02abaybx即：41

7、8、高阶导数第二章第二章 导数与微分导数与微分例19sinst.s ，求tscostssin2 解：44yx sin ,.2sin)(nxyn例20 设求证： 三、函数的微分1、微分的定义导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢的程度（变化率的大小），即： 当 时的极限.微分是讨论自变量发生了很小变化的情况下函数改变量 本身的.0 xyxy46引例面积的改变量大小 0 x如图，正方形金属薄片受热发生变化其边长由 变化到 ，问此薄片的面积改变了多少？ xx0 x2xxx0 xx020 xS 0 x设此薄片的面积为 ，则 是边长 的函数薄片受热面积的改变量为：SSx2,Sx202020)(2)(xx

8、xxxxS第一部分称为 的线性部分，它表示阴影面积，是主要部分；x第二部分为 的高阶无穷小（若 ），是次要部分.x0 x其中：xxS020d2Sxx故可以用第一部分近似代替面积的增量，即：称这个近似值为面积S的微分，记为49第二章第二章 导数与微分导数与微分2、函数可微与可导的关系、函数可微与可导的关系yxAoxx()Axf)(050)(lim00 xfxyxxxxfy)(0d(sin2 )yxxxx2cos2d( )dyfxx上式表明函数的微分等于该函数的导数与自变量微分的乘积. 上式两边除以 ，得：dxd( )dyfxx注意由微分定义可知，只要求出导数，微分也就求出来了，因此，求微分的问题

9、，可归结为求导数的问题，故求导法又叫微分法.3、微分的几何意义函数在某点的微分等于曲线在该点切线的纵坐标的增量。 OxyMN xfy Txx00 xyxPQ dy第二章第二章 导数与微分导数与微分4、微分的基本公式和运算法则、微分的基本公式和运算法则所以根据函数的和、差、积、商的求导法则，得到函数的和、差、积、商的求微分法则.57第二章第二章 导数与微分导数与微分1）微分基本公式）微分基本公式 1)d0C 12)ddxxx3)d sincos dxxx4)d cossin dxxx 5)dlndxxaaax6)ddxxeex17)d logdlnaxxxa18)d lndxxx58第二章第二章

10、 导数与微分导数与微分29)d tansecdxxx210)d cotcscdxxx 11)d secsec tan dxxxx12)d csccsc cot dxxxx 2113)d arcsind1xxx2114)d arccosd1xxx 2115)d arctand1xxx2116)dcotd1arcxxx 59第二章第二章 导数与微分导数与微分2）微分法则）微分法则1)d()dduvuv2)d()dd ,d()duvuvv uCuCu2dd3)duv uuvvv603）复合函数微分法则( )ddttx又d( )( )dyyfxtt因为d( )( )dyfxtt于是d( )dyfxx所

11、以若 为自变量 的复合函数：)(xfy t)(tx61第二章第二章 导数与微分导数与微分解：2ddln(1)xye例21 设 ，求2ln(1)xyed . y221d(1)1xxee2221d1xxexe2212 d1xxexxe222d1xxxexe621 31 3dd coscos dxxyexxe1 31 3sin dcos( 3)dxxexxxex 1 3sin3cosdxexxx 解法一：)cos3(sincos3131xxeeyxx1 3dsin3cosdxyexxx 解法二：先求导，再写出微分表达式1.例22 设 ，求1 3cosxyexd . y即：xxfxfxxfy)()()

12、(0005、微分在近似求值中的应用000( )() ()()f xf xfxxx 64第二章第二章 导数与微分导数与微分2013. 0)(cmRRvv65第二章第二章 导数与微分导数与微分解：)3606sin( 0330sino360)(sin6sin6xx5076. 036023213606cos6sin661.罗尔定理 则函数 xf在开区间ba,内至少存在一点，使得： 0f四、中值定理、罗彼塔法则（一）中值定理67第二章第二章 导数与微分导数与微分几何解释几何解释ABabyxOCC68第二章第二章 导数与微分导数与微分解692.拉格朗日中值定理 70第二章第二章 导数与微分导数与微分CyA

13、Bab xO几何解释几何解释(如图) 从上图可知:罗尔定理是该定理特例. 71第二章第二章 导数与微分导数与微分733、柯西中值定理74第二章第二章 导数与微分导数与微分定理定理2.6( (柯西中值定理柯西中值定理 ) )则至少一点),(ba使得： 其实：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.75第二章第二章 导数与微分导数与微分综上所述综上所述 ： 三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应用中拉格朗日中值定理更为广泛 76（二）洛必达法则,sinli

14、m0 xxx等等xxxcotlnlim0如：1、未定式,00的极限 定理2.7 若称此求函数极限的法则为洛必达法则 78第二章第二章 导数与微分导数与微分更进一步地:bxaxxsinsinlim0解babxbaxaxcoscoslim0)(sin)(sinlim0bxaxx79第二章第二章 导数与微分导数与微分解12333lim221xxxx原式解203cos1limxxx原式23266lim1xxx12333lim221xxxx61xxx6sinlim080第二章第二章 导数与微分导数与微分如:xxxxxsinsinlimlimxxxxxeeee答案：1811111111 )(00ln100

15、10ln0*ln00eee 第二章第二章 导数与微分导数与微分解nxxx1lnlim00原式101limnxnxxnxnx1lim00lim0nxnx83第二章第二章 导数与微分导数与微分解xxxxcossincos1lim2原式xxxcossin1lim20sincoslim200 xxx84第二章第二章 导数与微分导数与微分解xxxeln00lim0原式10lnlim0 xxxe210limxxxe1lim0 xxe注意：在利用罗彼塔法则的同时，也利用一些别的方法，如等价无穷小或重要极限等，可使运算变得更简捷. 10 e85第二章第二章 导数与微分导数与微分解30tanlimxxxx原式2

16、200031seclimxxxxxxx6tansec2lim200031tanlim310 xxx86在使用洛必达法则求未定式的极限时，需要注意：1)每次使用都需检验是否满足洛必达法则的条件；2)随时化简，并注意同其它求极限方法并用；五、利用导数研究函数的性态（一）函数的单调性如图： xyOxyO第二章第二章 导数与微分导数与微分反之，反之，则有如下定理：89第二章第二章 导数与微分导数与微分定理定理2.8 （函数单调性判别法）（函数单调性判别法）理解90第二章第二章 导数与微分导数与微分xy3xy O91解 92第二章第二章 导数与微分导数与微分解93第二章第二章 导数与微分导数与微分小结讨

17、论函数单调性的步骤：小结讨论函数单调性的步骤：A.求函数的定义域，找出无定义的点； B.求函数的导数，找出导数为零的点和不可导点；C.用这些点将定义域分成部分区间； D.在每一部分区间内讨论函数导数的正负，从而确定函数在该区间内的单调性. 94第二章第二章 导数与微分导数与微分3395第二章第二章 导数与微分导数与微分这是一种非常典型的题目，须掌握其方法.96第二章第二章 导数与微分导数与微分(二）函数极值、最值 97第二章第二章 导数与微分导数与微分理解理解 依定义依定义1）极值是一个局部概念，是函数局部范围内的最值，而不是区间或定义域内的最值； 2）极值不一定唯一； 3）极值点可能是间断点

18、，不可导点，或导数为零的点，但不可能为端点（如图） 98第二章第二章 导数与微分导数与微分Oxyab xfy 导数为零的点称为函数的驻点. 此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的点处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；但是，有水平切线的点未必是极值点，这就有： ABCDEFGHIJ99第二章第二章 导数与微分导数与微分0)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx100第二章第二章 导数与微分导数与微分那么如何判断某点是否取得极值呢？101第二章第二章 导数与微分导数与微分x0 xyO102第二章第二章 导数与微分导数与微分 3139632xxxxxf103第二章第二章 导数与微分

19、导数与微分3104第二章第二章 导数与微分导数与微分注意若二阶导不存在，或为零，或计算太复杂时，则用第一充分条件或定义判定. 10522) 1(6)(xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf待续续107总结求函数极值的步骤为： 第二章第二章 导数与微分导数与微分方法： 2、最值109第二章第二章 导数与微分导数与微分 ) 1)(2(612662xxxxxf解：110第二章第二章 导数与微分导数与微分在实际应用中，往往根据问题的性质可以确定函数在其定义域内存在最值.此时如果函数在其定义域内只有一个驻点，那么不必讨论该点是不是极值点，就可断定函数在该点的函数值就是所要求的最值. 111第二章第二章 导数与微分导数与微分112第二章第二章 导数与微分导数与微分可见：xy1x2xO1x2xyO（三）函数的凹凸性和拐点113第二章第二章 导数与微分导数与微分114第二章第二章 导数与微分导数与微分凹的凹的凸的115第二章第二章 导数与微分导数与微分曲线凹凸性的判定方法：116第二章第二章 导数与微分导数与微分117第二章第二章 导数与微分导数与微分连续曲线凹凸性的分界点称为曲线的拐点. 拐点只能是二阶导数为0的点或二阶导不存在的点.118第二章第二章 导数与微分导数与微分总结判定函数凹凸性的步骤：（1）求定义域；（2）求二阶导等于0的点和不存在的点， 并