06第六章 静定结构的位移计算5

1、6 61 1 概述概述6 62 2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理6 63 3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法6 64 4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算6 65 5 图乘法图乘法6 66 6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算6 67 7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算6 68 8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 6 69 9 空间刚架的位移计算公式空间刚架的位移计算公式 6-1 6-1 概述概述一、结构的位移一、结构的位移 结构的位移结构的位移 指结构上的某一截面在荷载

2、或其它因素作用下由某指结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。位移（线位移和角位移）。 思考：变形与位移的差别？思考：变形与位移的差别？6-1 6-1 概述概述2.2. 位移的分类位移的分类AFA AAyAxAAAxAyA6-1 6-1 概述概述绝对位移绝对位移相对位移相对位移PABCDCDC D C C、D D 两点的水平相对线位移两点的水平相对线位移 C ( (D D ) )H H = = C C + +D D A A、B B两个截面的相对转角两个截面的相对转角 ABA

3、B= =A A+ +B B 6-1 6-1 概述概述ABDCCDVCDDVCV 截面截面C、D 的相对竖向的相对竖向线位移为线位移为 :VVVDCCDDCCD截面截面C、D 的相对角位移为的相对角位移为: : AB CDDCC D6-1 6-1 概述概述3.3.位移产生的原因位移产生的原因AFA AAyAxAt 6-1 6-1 概述概述铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定: : 1 1、 校核结构刚度校核结构刚度在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/6001/600 跨度；跨度；桥梁在竖向桥梁在竖向静活载静活载下，简支钢桁梁最大挠度下，简支钢桁梁最大挠度1/9001/9

4、00跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/10001/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 1/800 层高。层高。6-1 6-1 概述概述2 2、超静定结构、动力和稳定计算的基础、超静定结构、动力和稳定计算的基础3 3、施工要求、施工要求 超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。 在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要

5、求。以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。6-1 6-1 概述概述(3)(3)理想联结理想联结三、三、 本章位移计算的假定本章位移计算的假定(1) (1) 线弹性线弹性(2) (2) 小变形小变形本章只讨论应用本章只讨论应用虚功原理虚功原理求解结构位移。求解结构位移。2. 功能法功能法 虚功原理、应变能虚功原理、应变能( (卡氏定理卡氏定理) ) 研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式的办研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复杂的杆系不法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复杂的杆系不适用）。适用）。1.1.几何法几何法 四、四

6、、 计算方法计算方法6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 一、基本概念一、基本概念0dFWl AOFFFBd F实功：实功： 力在其本身引起的位移上所作的功。力在其本身引起的位移上所作的功。位移位移是由外力是由外力F引起的，引起的，F 做的功可表示为做的功可表示为: : 1.1.外力的实功外力的实功实功的数值就等于图上三角形实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。的面积。FFW21d0所以所以 6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理2.2.外力的虚功外力的虚功 虚功：虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相应

7、的位移是彼此独立无关的。的力系和相应的位移是彼此独立无关的。tFW 虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。虚功中的力虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。虚功中的力与位移两者相互独立与位移两者相互独立。lFOtFABFtt6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理力力F1在力在力F2引起的位移引起的位移12上作的功为虚功为上作的功为虚功为121FW 例例 F1力在其引起的位移力在其引起的位移11 上作的功为实功为上作的功为实功为 11121FW F1121211FF1211212212126-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 结构产生的各种位移，包括截面的结构产生的各种位

8、移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移。组位移等等都可泛称为广义位移。 3.3.广义位移和广义力广义位移和广义力广义位移广义位移 与广义位移对应的就是广义力，与广义位移对应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一组力系。向相反的力或力偶，也可以是一组力系。 注意：广义位移与广义力的对应关系，能够注意：广义位移与广义力的对应关系，能够在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组

9、广义位移对应的广义力。广义位移对应的广义力。 广义力广义力6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理4.4.内力功内力功 定义：定义：从杆上截取一微段从杆上截取一微段, ,作用在该微段上的内力作用在该微段上的内力在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。该微段上相应的变形为该微段上相应的变形为轴向变形轴向变形 du剪力变形剪力变形 ds弯曲变形弯曲变形 dd +dFNFNdssuddssFSFSdMMsd6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 如果变形就是由此内力引起的，如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内则此微段上内力功应

10、为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功之和：之和：d21d21d21dSNMsFuFw因为因为ssksud1ddddsMsFsFwd21d21d21dSN由胡克定律有：由胡克定律有： EIMGAkFEAF,SN故故 sEIMsGAkFsEAFwd21d21d21d22S2N实功数值上就等于微段的应变能。实功数值上就等于微段的应变能。 所以所以内力实功内力实功6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功是虚功，其为是虚功，其为ddddSNiMsFuFw对于整根杆的

11、内力虚功，则可对整根杆积分求得：对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得： dddSNiMsFuFWsss原因而定。原因而定。 , 和和 的具体表达式要视引起这个变形的具体的具体表达式要视引起这个变形的具体dudsd内力虚功内力虚功6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理回顾回顾（1 1）质点系的虚功原理）质点系的虚功原理 具有理想约束的质点系，在某一位具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：置处于平衡的必要和充分条件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0 对于任何对于任何可能可能的虚位移，作用于的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为质点系的

12、主动力所做虚功之和为零零。也即也即6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理（2）刚体系的虚功原理）刚体系的虚功原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何对于任何可能可能的虚位移，的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。虚功之和为零。FPAxFBFAyFPB- -FP P +FB B=06-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理二、二、虚功原理虚功原理 1. 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理

13、 设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力系在位移上做的虚功的总和系在位移上做的虚功的总和W，等于变形体的内力在变形上，等于变形体的内力在变形上做的虚功的总和做的虚功的总和Wv，即，即: : vWW 这就是这就是虚功方程虚功方程。 （证明略）（证明略）需注意：需注意： 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 位移必须满足虚位移的条件位移必须满足

14、虚位移的条件满足约束条件满足约束条件的非常微小的连续位移的非常微小的连续位移； 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平平衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移状态的位移上做功之和状态的位移上做功之和(外力虚功外力虚功)等于力状态的内力在位等于力状态的内力在位移状态的变形上做功之和移状态的变形上做功之和(内力虚功内力虚功)。 对于两个相互无关的力状态和位移状态的，对于两个相互无关的力状态和位移状态的，

15、可以虚可以虚设其中一个状态设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功，让另一实际状态在此虚设状态下做功，列出虚功方程，可以求解不同的问题。列出虚功方程，可以求解不同的问题。 6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理位移状态位移状态F FP PF FP P /2 /2F FP P /2 /2（虚）力状态力状态（虚力状态）（虚力状态）（虚位移状态）（虚位移状态）（虚）位移状态位移状态q q（3 3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关。（2 2）均为可能状态。即位移应满足）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件变形协调条件, ,力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条

16、件； （1 1）属）属同一同一体系；体系；6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理2.2.杆系结构虚功方程杆系结构虚功方程 以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构。线性结构。dddSNvMsFuFWsssvWW dddSNMsFuFWsss6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理虚位移原理虚位移原理 令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立的虚功方程表达的是的虚功方程

17、表达的是力的平衡条件力的平衡条件，从中可以求出实，从中可以求出实际力系中的际力系中的未知力未知力。这就是虚位移原理。这就是虚位移原理。 虚力原理虚力原理 令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所建令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所建立虚功方程表达的是立虚功方程表达的是位移协调条件位移协调条件，从中可求出位移，从中可求出位移状态中的一些状态中的一些未知位移未知位移。这就是虚力原理。这就是虚力原理。 3. 虚功原理的两种应用虚功原理的两种应用6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 注意注意: : 虚位移原理虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡方写出的虚功方程是一个平衡方程式，可用

18、于求解平衡力系中的未知力。程式，可用于求解平衡力系中的未知力。BCDEAFFaaaa/2/2a例：例：应用应用虚位移原理虚位移原理求支座求支座C的反力的反力FC。ABCDEDEBCFCACDEFBF0EBCCFFF0)43()21(CCCCFFF即即 FFC45故故 撤除与撤除与FC相应的约束相应的约束, ,将将FC变成主动力，取与变成主动力，取与FC正向一致的刚体位移作为虚正向一致的刚体位移作为虚位移。位移。列出虚功方程：列出虚功方程： 6-2 6-2 变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理 注意：注意：虚力原理虚力原理写出的虚功方程是一个几何方程，写出的虚功方程是一个几何方程，可用于求解几何

19、问题。可用于求解几何问题。 例：例：当当A支座向上移动一个已知支座向上移动一个已知位移位移c1，求点，求点B产生的竖向位移产生的竖向位移。ACBc1Aba在拟求线位移的方向加单位力在拟求线位移的方向加单位力 由平衡条件由平衡条件 abFyAACBFyA1令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚功方程令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚功方程011 yAFc)()(111 cababcFcyA求得求得与单位力方向相同。与单位力方向相同。6-3 6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法一、位移计算的一般公式一、位移计算的一般公式 设平面杆系结构由于荷设平面杆系

20、结构由于荷载、温度变化及支座移动等载、温度变化及支座移动等因素引起位移如图示。因素引起位移如图示。F2F1KkkKK K利用虚功原理计算利用虚功原理计算c1c2c3kkFK=1实际状态位移状态实际状态位移状态c1、c2、c3、Kdu、d、dsds虚拟状态力状态虚拟状态力状态dsRFRFRFKsNFMF、dsddu、外力虚功外力虚功332211CFCFCFFRRRKKW=CFRK内力虚功内力虚功Wv=dsFdMduFSN得dsFdMduFCFSNRK 求任一指定截面求任一指定截面K K沿任沿任一指定方向一指定方向 k-kk-k上的位移上的位移K K 。1KiRSNFFFMF、(65)t1t2cF

21、dsFdMduFRSNK(65)利用虚功原理，另虚设一个力状态，要使虚拟力的虚功正好等于所求利用虚功原理，另虚设一个力状态，要使虚拟力的虚功正好等于所求位移位移（F FK K=1=1）, ,这便是这便是平面杆系结构位移计算的一般公式平面杆系结构位移计算的一般公式. .若计算结果若计算结果为正，所求位移为正，所求位移K K与假设的与假设的 F FK K=1=1同向，反之反向。这种方法又称为同向，反之反向。这种方法又称为单单位荷载法位荷载法。6-3 6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法几点说明：几点说明：(1) (1) 所建立的所建立的虚功方程虚功方程 ，实质上是，实

22、质上是几何方程几何方程；(2) (2) 虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力广义力 F F=1=1；(3) (3) 求解时求解时关键一步关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。是找出虚力状态的静力平衡关系。特点特点: : 是用静力平衡法来解几何问题。是用静力平衡法来解几何问题。单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程总的来讲：总的来讲：6-3 6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法2. 2. 结构类型：结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构

23、；梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；静定和超静定结构；1. 1. 位移原因：位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；荷载、温度改变、支座移动等；3. 3. 材料性质：材料性质：线性、非线性；线性、非线性；4. 4. 变形类型：变形类型：弯曲变形、拉弯曲变形、拉( (压压) )变形、剪切变形；变形、剪切变形；5. 5. 位移种类：位移种类：线位移、角位移；相对线位移线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。和相对角位移。位移计算一般公式的普遍性表现在位移计算一般公式的普遍性表现在： 在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应

24、的虚拟力状态。的虚拟力状态。例如例如:A求求AHAH实际状态实际状态虚拟状态虚拟状态A1A求求 A A1虚拟状态虚拟状态AA虚拟状态虚拟状态虚拟状态虚拟状态B求求ABAB11B求求 ABAB11l1/l1/l求求AB两点两点连线的转角连线的转角6-3 6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法6-3 6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法AB?AB(g)F=1F=1C(h)C左右=？F=1F=16-3 6-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法ABCd?BCdF1dF1ABC2d1d?ACAB11d11d21d21d1

25、1BCBCBCWddd 外6-4 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求图当结构只受到荷载作用时，求图a a所示结构所示结构K K点竖向位移点竖向位移KPKP，此时没有，此时没有支座位移，虚拟状态如图支座位移，虚拟状态如图b b所示所示。故式（故式（6-56-5）为）为dsFduFdMPSPNPKP（a）EIsM ddPPEAsFuddNPPGAskFsddSPP 为虚拟状态中微段上的内为虚拟状态中微段上的内力；力； duduP P、d d P P、 P Pdsds为实际为实际状态中微状态中微段上的变形。由材料力学知识得：段上的变形。由

26、材料力学知识得：式中：式中：sFNM、将以上诸式代入式（将以上诸式代入式（a a）得）得GAdsFFkEAdsFFEIdsMMPSSPNNPKP（6-66-6）GAdsFFkEAdsFFEIdsMMPSSPNNPKP（6-66-6） 单位力状态下结构的轴力、剪力和单位力状态下结构的轴力、剪力和矩方程式。矩方程式。MFF、SN 实际荷载引起结构的轴力、剪力实际荷载引起结构的轴力、剪力和弯矩方程式和弯矩方程式。 PSPNPMFF、E、G 材料的弹性模量和切变模量材料的弹性模量和切变模量. . A、I I 杆件的横截面面积和横截面惯性矩杆件的横截面面积和横截面惯性矩. . 剪力在截面上分布的不均匀系

27、数，对剪力在截面上分布的不均匀系数，对于矩形截面于矩形截面= =1.2。 k 对于直杆，则可用对于直杆，则可用d dx代替代替d ds。计算位移的公式为计算位移的公式为lPSSlPNNlPKPGAdxFFkEAdxFFEIdxMM0006-4 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算（1）梁、刚架：）梁、刚架：只考虑弯矩只考虑弯矩Mp引起的位移。引起的位移。 （2）桁架：）桁架：只有轴力。只有轴力。 桁架各杆均为等截面直杆则桁架各杆均为等截面直杆则sEIMMKPdPsEAFFKPdNPNEALFFdsEAFFEAdsFFPNNPNNPNNKP6-4 6-4 静定结构

28、在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算 拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩三项因素都须要考虑进去。三项因素都须要考虑进去。 ( (4) ) 跨度较大的薄拱，跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，其轴力和弯矩的影响相当，剪力剪力的影响不计，位移计算公式为的影响不计，位移计算公式为 sEIMMsEAFFKPddPNPN（3）组合结构）组合结构EAlFFsEIMMKPNPNPd6-4 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算

29、例例 6-16-1 求图示刚架求图示刚架A A点的竖向点的竖向位移位移AyAy。E E、A A、I I为常数。为常数。ABCqL LLAABC1解：解：设置虚拟状态如图设置虚拟状态如图xx选取坐标如图。选取坐标如图。xx （1）虚拟状态中，各杆内力为）虚拟状态中，各杆内力为AB段：段：1, 0,SNFFxMBC段：段：0, 1,SNFFlM（2）实际状态中，各杆内力为）实际状态中，各杆内力为AB段：段：qxFFqxMSPNP2P, 0,20,2SPNP2PFqlFqlMBC段：段：（3）代入位移计算公式）代入位移计算公式)54581 (85285224224GAlkEIAlIEIqlGAkql

30、EAqlEIqlAy6-4 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算GAdsFFkEAdsFFEIdsMMPSSPNNPKP)54581 (85224GAlkEIAlIEIqlAy（4 4）讨论）讨论上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。设：杆件截面为矩形，宽度为设：杆件截面为矩形，宽度为b b、高度为、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5)(252)(1521 85224lhGElhEIqlAy截面高度与杆长之比截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大

31、。愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。当当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得时，计算得500175011 854EIqlAy此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。6-4 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算例例6-2 试求图试求图a所示等截面圆弧曲梁所示等截面圆弧曲梁B点的水平位移点的水平位移Bx。设。设 梁的截面厚度远小于其半径梁的截面厚度远小于其半径R。解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯 矩影响。实际状态中的截面弯矩为矩影响。实际状态中的截面弯矩为虚拟状态虚拟状态sinPFR

32、M虚拟状态如图虚拟状态如图b，截面弯矩为，截面弯矩为)cos1 ()cos(1RRRM代入位移计算公式，可得代入位移计算公式，可得)(2)cos1 (d32PEIFREIsMMBx6-4 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算6-4 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算例例6-3 试求图试求图a所示对称桁架结点所示对称桁架结点D的竖向位移的竖向位移D。图中右半。图中右半 部各括号内数值为杆件的截面面积部各括号内数值为杆件的截面面积A（10-4m2），）， E=210GPa。解：实际状态各杆内力解：实际状态各杆内力 如图如图a（左半部

33、）。（左半部）。虚拟状态各杆内力如图虚拟状态各杆内力如图b（左半部）。（左半部）。注意桁架杆件轴力是正对称的注意桁架杆件轴力是正对称的)mm(8NPNEAlFFD6-5 6-5 图乘法图乘法 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下, ,不方便。下面介绍计不方便。下面介绍计算位移的算位移的图乘法图乘法。EIsMMPkPd1. 1. 静定结构的内力计算；静定结构的内力计算；2. 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；利用位移计算公式求静定结构的位移；3. 3. 刚架与梁在荷载作用下的位移计算公式（受刚架与梁在荷载作用下的位移计算公式（受弯构件）弯构件）, , 即即: :已有基础：已有基础：6-

34、5 6-5 图乘法图乘法若若EIEI是常数是常数就可提到积分号的外面就可提到积分号的外面, ,上式积分式就变为上式积分式就变为: : PMM若若和和中有一个是中有一个是直线图直线图, ,如图所示如图所示: :tanMx则上式积分式为则上式积分式为: : tan 是常数是常数, ,可提到积分号的外面可提到积分号的外面xy0 0abM 图图aMP图图bxM一、图乘法一、图乘法dAwdxPKPM MdsEI dsMMEIEIdsMMPP1dxMxEIdsMMEIEIdsMMPPPtan11wPPPdAxEIdxxMEIdxMxEIEIdsMMtantantan11、图乘法位移计算公式推导、图乘法位移

35、计算公式推导6-5 6-5 图乘法图乘法xcycC形心形心dAwdxxy0 0abM 图图aMP图图bxMwdAxPM是是图对图对y y轴的静矩轴的静矩, ,可写成可写成: : 有有: : 其中其中: : 则得则得图乘法求位移公式图乘法求位移公式：cwwxAdAxPM其中其中: : - -是是图的面积图的面积 wAPM- -是是图的形心到图的形心到y y轴的距离轴的距离 cxEIyAxAEIdAxEIEIdsMMcwcwwPtantanPM- -是是图形心位置所对应的图形心位置所对应的M图中的竖标图中的竖标 cyEIyAEIdsMMcwPKP)106( 图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么

36、什么? ?例例. .试求图示梁试求图示梁B B端转角。端转角。解解:sEIMMPBdEIyAcABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MP)(1612142112EIPlPllEI弯矩图在弯矩图在杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结果为正果为正M6-5 6-5 图乘法图乘法6-5 6-5 图乘法图乘法2、图乘法应用小结、图乘法应用小结（1 1） 图乘法的应用条件图乘法的应用条件: :a.a.杆件的杆件的EIEI是常数是常数；b.b.杆件是杆件是直杆直杆；PMM的图形至少有一个是的图形至少有一个是直线图形直线图形。 c.（2 2）形心的纵距）形心的纵距y yc c需取自直线图形；需取自直线图形；（

37、3 3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘积为正；异）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘积为正；异 侧为负侧为负; ;（4 4）如图形较复杂，可分解为简单图形）如图形较复杂，可分解为简单图形。6-5 6-5 图乘法图乘法二、几种常见图形的面积和形心位置二、几种常见图形的面积和形心位置 h (a+l)/3 (b+l)/3 2hlA a b h l/3 2hlA (a) 三角形三角形 (b) 三角形三角形 h 32hlA (c) 二次抛物线二次抛物线 l/2 l/2 顶点顶点 顶点顶点 3l/8 32hlA (d) 二次抛物线二次抛物线 h h l/4 3l/4 顶点顶点 3hlA(e

38、) 二次抛物线二次抛物线 h l/5 4l/5 顶点顶点 4hlA(f) 三次抛物线三次抛物线 2l/3 l l 5l/8 (n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线A=hl/(n+1)顶点顶点指切线与底边平行的点。指切线与底边平行的点。6-5 6-5 图乘法图乘法三、应用图乘法时的图形分解三、应用图乘法时的图形分解1 1、直线图形乘直线图形、直线图形乘直线图形对于两个图形都是梯形的情况（对于两个图形都是梯形的情况（同侧同侧）1A2A1211d(dd )pppM M xM M xM M xEIEI3)2(3)2(21dcydcy11221()A yA yEI6-5 6-5 图乘

39、法图乘法对于两个图形都是梯形的情况（对于两个图形都是梯形的情况（异侧异侧）1A1yABCDabcdPM图图M图图2A2y1211d(dd )PppM M xM M xM M xEIEIMP1MP211221()A yA yEI3)2(3)2(21cdydcy6-5 6-5 图乘法图乘法M1M2M1M2y1y3y2M2M1A1A2 A3 2 2、复杂抛物线乘直线图形、复杂抛物线乘直线图形1dPM M xEIMPM1122331()A yA yA yEI6-5 6-5 图乘法图乘法3 3、当、当y yC C所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面

40、不相等时，均应分段相乘，然后叠加。等时，均应分段相乘，然后叠加。A1A2A3y1y2y3A1A2A3y1y2y3=EI1(A1y1+ A 2y2+ A 3y3)I1I2I3=333222111EIyAEIyAEIyA6-5 6-5 图乘法图乘法 例例6-46-4 求下图所示刚架求下图所示刚架C C、D D两点间距离的改变。设两点间距离的改变。设EI=EI=常数。常数。ABCDlhq解：解： 1. 1. 作实际状态的作实际状态的M MP P图。图。MP图图M2. 2. 设置虚拟状态并作设置虚拟状态并作图M。11hhyC=h3. 3. 按式（按式（6-106-10）计算）计算（）CD=EIAyC=

41、EI1(328ql2l)h=12EIqhl3形心8qL26-5 6-5 图乘法图乘法 例例6-56-5 求图示刚架求图示刚架A A点的竖向位移点的竖向位移Ay Ay 。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：解： 1. 1. 作作M MP P图、图、图MP2PL2PLPLMP图图M1L；2. 2. 图乘计算。图乘计算。Ay=（）2PL4PLEIAyC=EI1(2L L2PL(L 4=16EIPL3)-2EI123L)PL6-5 6-5 图乘法图乘法例例 已知已知 EIEI为常数，求铰为常数，求铰C C 两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷

42、载弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11M)(2421832132EIqlqlEIEIyAcCD4/2ql4/2ql6-5 6-5 图乘法图乘法例例6-66-6 试求图试求图a a所示外伸梁所示外伸梁C C点的竖向位移点的竖向位移CyCy，梁的，梁的EIEI= =常数。常数。解：实际状态弯矩图如图解：实际状态弯矩图如图b b所示。所示。 虚拟状态弯矩图如图虚拟状态弯矩图如图c c所示。所示。 将将ABAB段的弯矩图分解为一个段的弯矩图分解为一个 三角形和一个标准二次抛物三角形和一个标准二次抛物 线图形。由图乘法得线图形。由图乘法得)(1284)832(3)821(83)28

43、31(14222EIqlllqlllqlllqlEICy6-5 6-5 图乘法图乘法例例6-7 6-7 图图a a为一组合结构，试求为一组合结构，试求D D点的竖向位移点的竖向位移DyDy。解：实际状态解：实际状态FNP、MP如图如图b b所示。所示。 虚拟状态虚拟状态FN、M如图如图c c所示。所示。)(34)221 (221122113NPNIEFaAEFaIEyAAElFFCDy16-5 6-5 图乘法图乘法例例 计算图示结构计算图示结构A A点竖向位移点竖向位移。34013344AVAyqLLqLEIEIEI)3222143231(133LqLLqLEIAV47()24qLEI)283

44、2322(133LqLLqLEIAV47()24qLEI6-5 6-5 图乘法图乘法例例 计算图示结构计算图示结构 C C 点竖向位移。点竖向位移。23012612CVAyPLLPLEIEIEI01152226CVAyLLPLEIEI35()48PLEI 例例 图示梁图示梁EIEI 为常数，求为常数，求C C点竖向位移。点竖向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIyAcC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIyAcc6-5 6-5 图乘法图乘法32/2qliM2/ lAl/2

45、qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIyAcc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql6-5 6-5 图乘法图乘法iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIyAcc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql6-5 6-5 图乘法图乘法6-6 6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算BAB 静定结构受到温度改

46、变的影响时，发生满足约束允许的变形和位静定结构受到温度改变的影响时，发生满足约束允许的变形和位移，为零内力状态。移，为零内力状态。 1、每根杆受的温度是均匀作用的，、每根杆受的温度是均匀作用的，即每杆上各截面的温度是相同的。即每杆上各截面的温度是相同的。2、杆件的两侧的温度可以是不同的，杆件的两侧的温度可以是不同的，但从高温一侧到低温一侧温度是按但从高温一侧到低温一侧温度是按直线变化的。直线变化的。 3、由于假定温度沿杆长均匀分布、由于假定温度沿杆长均匀分布, ,不可能出现剪切变形不可能出现剪切变形, , 只有轴向变只有轴向变形形dut 和截面转角和截面转角dt 。一、计算假定一、计算假定 h

47、t1t2st1t2h1h2dsdsdtdtdut 因此，截面上材料的应变沿高度也呈线性变化，杆件由于温度变化因此，截面上材料的应变沿高度也呈线性变化，杆件由于温度变化变形后截面假定仍然为平面。变形后截面假定仍然为平面。6-6 6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算 当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生变形和位移。设图示结构外侧温度升高产生变形和位移。设图示结构外侧温度升高 t t1 1，内侧温度升高，内侧温度升高 t t2 2 , ,求求K K点点的竖向位移的竖向位移KtKt。 现研究实际状态中任一微

48、段现研究实际状态中任一微段ds, ds, 由于温度变化产生的变形。由于温度变化产生的变形。)(adsFduFdMtStNtKt)()()(21121121btdsdshthhthhhdstdstdstdutt t1 1t t2 2KKtdsdsht1t2t2dst1dsdtKdsFK=1ds实虚MMNFNF (c)KK杆件的截面对称于形心轴，即杆件的截面对称于形心轴，即:h1=h2=h/2,则则:t=(t1+t2)/2hsthststtdddd12温度变化不会引起剪切变形，即温度变化不会引起剪切变形，即 t=0将式将式（b) 、(c)代入式（代入式（a），得），得Kt=NtdsFtdsMhNM

49、dst F dsth（6-11）二、计算公式二、计算公式 h2h1t6-6 6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算若各杆均为等截面时，则有若各杆均为等截面时，则有NFMttAAh（6-12）正负号规定：正负号规定：正负符号取决于虚功是正功还是负功。正负符号取决于虚功是正功还是负功。当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反时为负。当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反时为负。对于桁架对于桁架 Kt=NFtl 桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似，为：桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似，为：K=NFl图的面积图的面积MFMFAANN，Kt=Nt

50、dsFtdsMhNMdst F dsth（6-11）温度变化以升温为正，轴力以拉力为正；弯矩温度变化以升温为正，轴力以拉力为正；弯矩M以使以使t2边受拉为正。边受拉为正。 sMhtsFKtd1dtN6-6 6-6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算 例例6-8 图示刚架施工时温度为图示刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度为，求冬季外侧温度为10，内侧温，内侧温度为度为0时时A点的竖向位移点的竖向位移 Ay。已知。已知L=4m， =105，各杆均为矩形截，各杆均为矩形截面，高度面，高度h=0.4m。解：虚拟状态如图解：虚拟状态如图b，轴力图、弯矩图如图，轴力图、弯矩图如图c

51、、d。外侧温度变化为。外侧温度变化为t1， t1=-30 ，内侧温度变化为，内侧温度变化为t2=-20 。25221ttt10tMFAyhtAtAN)2(10) 1()25(22llhl)(5005. 015252mmmhll6-7 6-7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算 图图a所示静定结构，其支座发生了水平位移所示静定结构，其支座发生了水平位移c1、竖向沉陷、竖向沉陷c2和转和转角角c3，现要求，现要求K点的竖向移点的竖向移Kc。由平面杆件结构位移计算的一般公式：由平面杆件结构位移计算的一般公式： cFRKcdsFdMduFcFSNRK 对于静定结构，支座移动不引起

52、内力，材料不变形，此时结构对于静定结构，支座移动不引起内力，材料不变形，此时结构的位移属刚体位移。因此的位移属刚体位移。因此du、d和和ds为零，上式简化为为零，上式简化为:RF为虚拟状态的支座反力为虚拟状态的支座反力, ,RF与与c c方向一致方向一致时其乘积取时其乘积取正正。 负号系原来移项所得，不可漏掉！负号系原来移项所得，不可漏掉！6-7 6-7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算 例例6-9 图示刚架右边支座的竖向位移图示刚架右边支座的竖向位移By=0.06m(向下向下)，水平位，水平位移移Bx=0.04m(向右向右)，已知，已知l=12m，h=8m。试求由此引

53、起的。试求由此引起的A端转端转角角A)211(xBhBlcFyRAradhBlBxy0075. 08204. 01206. 02解：虚拟状态及支座反力计算结果如上图解：虚拟状态及支座反力计算结果如上图：( )6-8 6-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 1. 功的互等定理功的互等定理W12第一状态的外力在第二状态相应的位移上作的虚功第一状态的外力在第二状态相应的位移上作的虚功Wi12第一状态的内力在第二状态相应的变形上作的虚功第一状态的内力在第二状态相应的变形上作的虚功12i12WWGAsFFkEAsFFEIsMMFdddS2S1N2N121121同理同理12i21WW可得可得GA

54、sFFkEAsFFEIsMMFdddS1S2N1N212212可得可得212121FF或或2112WW功的互等定理：功的互等定理：第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于等于 第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。6-8 6-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理2. 位移互等定理位移互等定理 设：设：F F1 1=1=1，F F2 2=1=1，由功的互等定理，由功的互等定理211211可得可得2112 单位力引起的位移用小写字母单位力引起的位移用小写字母12和和21表示表示上式改写为上

55、式改写为2112 位移互等定理：位移互等定理：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，向的位移，等于等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移的位移 。212121FF6-8 6-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。如图单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。如图a、b。根据位移互等定理，应有根据位移互等定理，应有CAf由材料力学由材料力学EIMlfEIFlCA16,1622注意：注意：F=1、M=1的量纲为的量纲

56、为1， 含义不同，但此时二者在含义不同，但此时二者在数值上是相等的，量纲也相同。数值上是相等的，量纲也相同。CAf、6-8 6-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理3 3、反力互等定理、反力互等定理图图a a表示支座表示支座1 1发生单位位移的状态，此时支座发生单位位移的状态，此时支座2 2产生的反力为产生的反力为r r2121。图图b b表示支座表示支座2 2发生单位位移的状态，此时支座发生单位位移的状态，此时支座1 1产生的反力为产生的反力为r r1212。112221rr由功的互等定理由功的互等定理121 可得可得1221rr 反力互等定理：反力互等定理：支座支座1 1发生单位位

57、移所引起的支座发生单位位移所引起的支座2 2的反的反力，力，等于等于支座支座2 2发生单位位移所引起的支座发生单位位移所引起的支座1 1的反力。的反力。6-8 6-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。 例：例： r12 是反力矩，是反力矩， r r21是反力，两者互等只是数值上互是反力，两者互等只是数值上互等。等。 12112r21211r6-8 6-8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理4 4、反力位移互等定理、反力位移互等定理图图a a表示表示F F2 2=1=1作用时，支座作用时，支座1

58、 1的反力偶为的反力偶为r r1212，方向如图。，方向如图。图图b b表示支座表示支座1 1顺顺r r1212方向发生单位转角时，方向发生单位转角时，F F2 2作用点沿其方向的位移为作用点沿其方向的位移为2121。0212112Fr由功的互等定理由功的互等定理1, 121F可得可得2112r反力位移互等定理：反力位移互等定理：单位力所引起的结构某支座反力，单位力所引起的结构某支座反力，等于等于该支座该支座发生单位位移时所引起的单位力作用点沿其方向的位移，符号相反。发生单位位移时所引起的单位力作用点沿其方向的位移，符号相反。211211F21r1212（a） （b） Pl/2l/23Pl/1

59、6CAC已知图已知图结构的弯矩图结构的弯矩图求同一结构求同一结构由于支座由于支座A的转的转动引起动引起C点的挠度。点的挠度。解：解：W12=W21W21=0W12=PC3Pl/16 0 C=3l /16图示同一结构的两种状态，图示同一结构的两种状态，求求=？P=1m=1m=1AB=A+ BBA已知图已知图a a梁支座梁支座C C上升上升0.02m0.02m引起的引起的D D=0.03m/16=0.03m/16，试绘图，试绘图b b的的M M图。图。PRc(b)aa/2a/2ABCDD0.02m(a)W12=0= W21=PD+RC CRC=3P/323Pa/32 小小 结结 本章讨论了本章讨论

60、了虚功原理虚功原理以及以及应用虚功原理来求解结构的位应用虚功原理来求解结构的位移移。虚功原理又分为。虚功原理又分为虚位移原理虚位移原理和和虚力原理虚力原理，它们都是虚功，它们都是虚功原理的具体应用。前者用于求内力和反力，后者用于求位移原理的具体应用。前者用于求内力和反力，后者用于求位移。在应用虚功原理时要涉及两个量：。在应用虚功原理时要涉及两个量：力系和位移力系和位移。这两者是。这两者是彼此无关的，但却需满足一定的条件。力系必须是平衡的；彼此无关的，但却需满足一定的条件。力系必须是平衡的；位移必须是符合约束条件的、无限小的连续位移。由于力与位移必须是符合约束条件的、无限小的连续位移。由于力与位