第2章逻辑代数基础(3)

1、2 32 32 3 1 1 1电子技术2 32 32 3 2 2 2内容回顾：内容回顾： 熟练掌握熟练掌握逻辑代数的一些常用逻辑代数的一些常用公式、基本公式、基本定理，要求公式、基本公式、基本定理，要求会灵活运用；会灵活运用；2 32 32 3 3 3 32010199188A+B C=(A+B)(A+C)17A(B+C)=A B+A C7A+(B+C)=(A+B)+C16A (B C)=(A B) C6A+B=B+A15A B=B A5144133A+0=A12A 1=A2A+1=1110 A=01AAA 0 AA B ABA）（A) A(1001;AAA 1 AA B ABA）（B AAB

2、BA B AABBA逻辑代数的基本公式表逻辑代数的基本公式表2 32 32 3 4 4 4常用异或和同或运算公式常用异或和同或运算公式 A A AA B B)BA( )BA( 2 32 32 3 5 5 5逻辑代数的常用公式逻辑代数的常用公式序号序号212122222323242425252626公 式公 式ABABAABAA)(CABABCCABA ABAABABAA )()(ABAABABAACABABCDCABA 2 32 32 3 6 6 6逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1.代入定理代入定理 任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变

3、量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。个规则称为代入规则。2.反演定理反演定理 对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的，若将其中所有的“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，0换成换成1，1换成换成0,原变量换成反原变量换成反变量，反变量换成原变量变量，反变量换成原变量,则得到的结果就是则得到的结果就是Y。2.4.3 对偶定理对偶定理 对于任何一个逻辑式对于任何一个逻辑式Y，若将其中的，若将其中的“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，0换成换成1，1换成换成0，则得到的一个新逻，则得到的一个新逻辑式辑式YD

4、，这个就是，这个就是Y的对偶式。的对偶式。2 32 32 3 7 7 72.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.1 逻辑函数逻辑函数 任何一件具体的因果关系都可以用一任何一件具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来描述。个逻辑函数来描述。 以逻辑变量为输入，运算结果为输出，以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入输出间的关系称为逻辑函数。则输入输出间的关系称为逻辑函数。2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表真值表函数式函数式时序图形时序图形逻辑图逻辑图卡诺图卡诺图写作写作 Y=F(A,B,C,D)2 32 32 3 8 8 8BACYY = F ( A , B ,

5、C )例如，右图是一个举重裁判例如，右图是一个举重裁判电路，若以电路，若以1表示开关闭合，表示开关闭合，0表示开关断开；以表示开关断开；以1表示灯表示灯亮，亮，0表示灯暗，则指示灯表示灯暗，则指示灯Y是开关是开关A，B，C的二值逻辑的二值逻辑函数，即函数，即2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法一、一、 逻辑真值表逻辑真值表ABCY00000101001110010111011100000111真值表：将输入、输真值表：将输入、输出的所有可能状态一出的所有可能状态一一对应地列出。一对应地列出。2 32 32 3 9 9 9直观明廖。输入确定后，可从真直观明廖。输入确定后，可从真值表直

6、接查到对应输出，集成电值表直接查到对应输出，集成电路（路（IC）手册常用它描述器件的）手册常用它描述器件的逻辑功能。逻辑功能。能方便得将实际问题抽象为数学能方便得将实际问题抽象为数学问题。问题。不适用于变量较多的情况。不适用于变量较多的情况。2 32 32 3 101010 n个变量可以有个变量可以有2n个组合，一般个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。一一对应，列出所有可能的状态。2 32 32 3 111111BACY二、二、 逻辑函数式逻辑函数式 把逻辑函数输入、输出之间的关系写成把逻辑函数输入、输出之间的关系写成与与、或或

7、、非非等逻辑运算的组合式，即等逻辑运算的组合式，即逻辑代逻辑代数式数式，又称为，又称为逻辑函数式逻辑函数式，通常采用，通常采用“与或与或”的形式。的形式。Y = A （B + C）2 32 32 3 121212便于用逻辑图实现。便于用逻辑图实现。不如真值表直观。不如真值表直观。书写简单、方便；书写简单、方便；便于利用公式定理进行运算、变换；便于利用公式定理进行运算、变换；2 32 32 3 131313三、三、 逻辑图逻辑图 把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。表示出来。【例【例】 Y = A （B + C） 更接近于工程实际，与实际使用更接近于工程实际

8、，与实际使用的电路器件有明显的对应关系。的电路器件有明显的对应关系。2 32 32 3 141414四四 波形图法波形图法: 一种表示输入输出变量动态变化的图形，一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随时间变化的规律，也称时序图。反映了函数值随时间变化的规律，也称时序图。如图表示异或逻辑关系的波形。如图表示异或逻辑关系的波形。 除上面介绍的四除上面介绍的四种逻辑函数表示方法种逻辑函数表示方法外，还有卡诺图法、外，还有卡诺图法、点阵图法及硬件描述点阵图法及硬件描述语言等。在后面的课语言等。在后面的课程中将重点介绍卡诺程中将重点介绍卡诺图法。图法。2 32 32 3 151515ABY1

9、Y4Y2Y3与与或或与非与非或非或非时序图形时序图形A、B为电路为电路的输入信号，的输入信号，Y1、Y2、Y3、Y4分别为与、分别为与、或、与非、或或、与非、或非门的输出信非门的输出信号，画出对应号，画出对应门电路的输出门电路的输出信号波形。信号波形。2 32 32 3 161616五、各种表示方法间的互相转换五、各种表示方法间的互相转换1. 从真值表写出逻辑函数式从真值表写出逻辑函数式这种方法一般分为下面三步：这种方法一般分为下面三步：首先首先，找出真值表中使逻辑函数，找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变的输入变量取值组合；量取值组合；其次其次，每组输入变量取值的组合对应一个乘，每组输入变量

10、取值的组合对应一个乘积项，其中取值为积项，其中取值为1的写入原变量，取值为的写入原变量，取值为0的写如反变量；的写如反变量；最后最后，将这些乘积项相加，即得到，将这些乘积项相加，即得到Y的逻辑函的逻辑函数式。数式。2 32 32 3 171717ABCY00000101001110010111011100100101【例】写出下列真值表对应的函数式。【例】写出下列真值表对应的函数式。第一步，找出使第一步，找出使输出输出Y Y=1=1的各组合。的各组合。第二步，各组合第二步，各组合写成乘积项形式。写成乘积项形式。ABCCBA CBAABCCBACBAY第三步，各乘积第三步，各乘积项相加。项相加。

11、2 32 32 3 181818A BC DY00000000111111110000111100001111001100110011001101010101010101011 110111011100000【练习】写出下列真值表对应的【练习】写出下列真值表对应的最简最简函数式。函数式。DCBADCBADCBADBCADCBADCBADCBADCBADCBAY)()()()(CDABDCBADCBDCADBCBDACAY2 32 32 3 1919192. 从逻辑式列出真值表从逻辑式列出真值表将输入变量取值的所有组合状态逐将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值，列成表。一代入逻辑

12、式求出函数值，列成表。2 32 32 3 202020ABCY00000101001110010111011100111111【例【例1】已知逻辑函数】已知逻辑函数求它对应的真值表。求它对应的真值表。CBACBAY2 32 32 3 212121A BC DY0000000011111111000011110000111100110011001100110101010101010101111111DBCACDBADCABDCBABCDADCABY 【例【例2】已知逻辑函数】已知逻辑函数求它对应的真值表。求它对应的真值表。0 0000000002 32 32 3 2222223. 从逻辑式画出逻

13、辑图从逻辑式画出逻辑图用图形符号代替逻辑式中的运算符号，用图形符号代替逻辑式中的运算符号，方法：先从最后一级运算画起。方法：先从最后一级运算画起。 将式中所有的与，或，非运算符号用将式中所有的与，或，非运算符号用图形符号代替，并依据运算优先顺序将图形符号代替，并依据运算优先顺序将它们连接起来。它们连接起来。【例】已知逻辑函数为【例】已知逻辑函数为试画出对应的逻辑图。试画出对应的逻辑图。BCABY 解：解：2 32 32 3 232323 )(CADBBCABY 【例】已知逻辑函数为：【例】已知逻辑函数为：ABCDBACY2 32 32 3 2424244. 从逻辑图写出逻辑式从逻辑图写出逻辑式

14、从输入端到输出端逐级写出每个图形符号从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式。对应的逻辑式。【例】写出【例】写出右图的逻辑右图的逻辑函数式。函数式。先写出符号对应先写出符号对应的逻辑式子的逻辑式子 )()(BABAYBA )( BA)( BAA B BABABABABABABAY )()()(2 32 32 3 252525【例】写出下图的逻辑函数式。【例】写出下图的逻辑函数式。BCA)(CBBC)(CBBCA(B+C) CBACBCBACBCBACBBCACBBCACBBCAY )()()()()(2 32 32 3 2626265.波形图得到与真值表波形图得到与真值表 根据所给的波

15、形根据所给的波形,列出各输入变量组合所列出各输入变量组合所对应的输出值对应的输出值例：已知逻辑函数例：已知逻辑函数Y的输出波形如图所示，试分析的输出波形如图所示，试分析其逻辑功能。其逻辑功能。ABttOOYtO图2.5.6 例2.5.7的波形图2.5.6 例2.5.7的波形解：由所给的波形解：由所给的波形写出输入输出的真写出输入输出的真值表，如表所示值表，如表所示2 32 32 3 272727由真值表可知，当输入变量由真值表可知，当输入变量A、B取值相同时，取值相同时，输出输出Y1； A、B取值不同时，输出取值不同时，输出Y0。故。故输出和输入是同或关系。其逻辑函数式为输出和输入是同或关系。

16、其逻辑函数式为ABttOOYtO图2.5.6 例2.5.7的波形图2.5.6 例2.5.7的波形YBA111001010100输出输出输入输入ABBAY2 32 32 3 2828286.由真值表画出波形图由真值表画出波形图按照真值表的输入取值，画出输入输出的波形。按照真值表的输入取值，画出输入输出的波形。例例3: 已知逻辑函数的真值表如表所示，试画出输入已知逻辑函数的真值表如表所示，试画出输入输出波形和输出端的逻辑函数式。输出波形和输出端的逻辑函数式。输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010111001000表表2.5.9解：由真值表画出输入输出波形如图所示解：

17、由真值表画出输入输出波形如图所示ABCYttttOOOO图2.5.9 例2.5.9的波形图2.5.9 例2.5.9的波形2 32 32 3 292929输出端的逻辑式为输出端的逻辑式为输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010111001000表表2.5.9CBACBACBAY2 32 32 3 303030例例:已知如图所示是某个数字逻辑电路的输入已知如图所示是某个数字逻辑电路的输入输出波形，试画出该输出波形，试画出该逻辑电路图逻辑电路图，并判断其逻，并判断其逻辑功能辑功能解解:由波形得出真值表如表所示由波形得出真值表如表所示ABCYttttOOOO图2.5.7

18、例2.5.8的波形图2.5.7 例2.5.8的波形输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010101101001表表2.5.82 32 32 3 313131由真值表写出输出逻辑式由真值表写出输出逻辑式CBACBACBABCCBACBCBAABCCBACBACBAY)()()()(输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010101101001表表2.5.8由真值表可知，当输入有由真值表可知，当输入有奇数个奇数个“1”时，输出为时，输出为“1”。故此电路为。故此电路为“判奇判奇电路电路”，其逻辑图如图所，其逻辑图如图所示示2 32 32 3 323232各种表示方法间的互相转换各种表示方法间的互相转换1. 从真值表写出逻辑函数式从真值表写出逻辑函数式2. 从逻辑式列出真值表从逻辑式列出真值表将输入变量取值的所有组合状态逐将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值，列成表。一代入逻辑式求出函数值，列成表。3. 从逻辑式画出逻辑图从逻辑式画出逻辑图用图形符号代替逻辑式中的运算符号。用图