第2章 模糊控制论

1、第第2章章 模糊控制论模糊控制论2.1 引言引言2.2 模糊集合论基础模糊集合论基础2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.4 模糊控制系统的组成模糊控制系统的组成2.5 模糊控制系统的设计模糊控制系统的设计2.6 模糊模糊PID控制器控制器2.7 模糊控制器的应用模糊控制器的应用2.12.1引言引言 所谓所谓“模糊模糊”，其意思是指客观事物彼此间的差异在，其意思是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不分明。中间过渡时，界限不分明。 在生产实验中，存在着大量的模糊现象，对于那些在生产实验中，存在着大量的模糊现象，对于那些无法获得数学模型或模型粗糙复杂的、非线性的

2、、时变无法获得数学模型或模型粗糙复杂的、非线性的、时变的或是耦合十分严重的系统，无论用经典控制，还是现的或是耦合十分严重的系统，无论用经典控制，还是现代控制理论的各种算法、都很难实现控制。代控制理论的各种算法、都很难实现控制。比如比如例如例如2.12.1引言引言p 我们把人的操作经验归纳成一系列的规则，存放在我们把人的操作经验归纳成一系列的规则，存放在计算机中，利用模糊集理论将它定量化，使控制器计算机中，利用模糊集理论将它定量化，使控制器模仿人的操作策略，这就是模糊控制器，用模糊控模仿人的操作策略，这就是模糊控制器，用模糊控制器组成的系统就是制器组成的系统就是模糊控制系统模糊控制系统。p 模糊

3、控制定义：模糊控制定义： 模糊控制器的输出是通过观察过程的状态和一些如模糊控制器的输出是通过观察过程的状态和一些如何控制过程的规则的推理得到的。何控制过程的规则的推理得到的。 2.12.1引言引言o 测量信息的模糊化测量信息的模糊化是将实测物理量转化为在是将实测物理量转化为在该语言变量相应论域内不同语言值的模糊子该语言变量相应论域内不同语言值的模糊子集。集。o 推理机制推理机制使用数据库和规则库，它的作用是使用数据库和规则库，它的作用是根据当前的系统状态信息来决定模糊控制的根据当前的系统状态信息来决定模糊控制的输出子集。输出子集。o 模糊集的精确化计算模糊集的精确化计算是将推理机制得到的模是将

4、推理机制得到的模糊控制量转化为一个清晰、确定的输出控制糊控制量转化为一个清晰、确定的输出控制量的过程。量的过程。模糊化模糊化推理机制推理机制精确化精确化被控对象被控对象数据库和规则库数据库和规则库给定值给定值+-模糊控制系统结构示意图模糊控制系统结构示意图2.22.2模糊集合论基础模糊集合论基础2.2.1模糊集的概念模糊集的概念o 经典集合经典集合（非此即彼非此即彼） ：一般指具有某种属性的、一般指具有某种属性的、确定的、彼此间可以区别的事物的全体。确定的、彼此间可以区别的事物的全体。o 基本集合或论域基本集合或论域(U):把所考虑的对象限制在一个把所考虑的对象限制在一个特定的集合，比如一个班

5、级、自然数等。特定的集合，比如一个班级、自然数等。o U的子集的子集A：U中的一部分中的一部分o U中的元素中的元素u：U中的对象中的对象o U的基数（的基数（ 或或#U）：）：有限集合有限集合U所含的不同元所含的不同元素的数目。素的数目。o 无限集合：无限集合：不是有限集合的集合。不是有限集合的集合。U经典集合的表示方式：经典集合的表示方式：o 列举法列举法o 定义法定义法适用于有很多元素而不能一一列举的集合：例如：U=u u为自然数且u5o 归纳法归纳法通过一个递推公式来描述一个集合通过一个递推公式来描述一个集合例如：例如：U=ui+1=ui+1，i=1，2，u1=1o 特征函数表示法特征

6、函数表示法o 通过某些集合的运算来表示的集合通过某些集合的运算来表示的集合隶属度函数隶属度函数以人对室温（以人对室温（0-40）的感觉为例：）的感觉为例：大部分人：大部分人： 15-25-舒适舒适 15以下以下-冷冷 25以上以上-热热按照经典集合论，按照经典集合论，14.9 也为冷，不符合人的感觉。也为冷，不符合人的感觉。而我们可以认为而我们可以认为14.9 属于冷的程度为属于冷的程度为0.1，1 属于冷的程度为属于冷的程度为0.95.因此因此,我们可以用一个在我们可以用一个在0-1之间取值的函数来表之间取值的函数来表示一件事属于我们所考虑的事件的程度示一件事属于我们所考虑的事件的程度,这个

7、函数就这个函数就叫叫隶属度函数隶属度函数。6 定义为有序对； 隶属函数在0和1之间； 其值的确定具有主观性和个人的偏好。隶属函数的性质定义定义2-1 2-1 模糊集合模糊集合(fuzzy sets)(fuzzy sets)论域论域U U中的模糊集中的模糊集F F用一个在区间用一个在区间0,10,1上取值的隶属上取值的隶属函数函数F F来表示来表示, , 即即 F F : U0,1 : U0,1F F( (u u)=1, )=1, 表示表示u u完全属于完全属于F FF F( (u u)=0, )=0, 表示表示u u完全不属于完全不属于F F00F F( (u u)1, )0的所有的所有u组成

8、的，即组成的，即o 定义定义2-3 2-3 模糊单点（模糊单点（singletonsingleton） 如果模糊集合如果模糊集合F F的支集在论域的支集在论域U U上只包含一个点上只包含一个点u0,u0,且且 F（u0）=1，则，则F就称为模糊单点。即就称为模糊单点。即0)(uUuSF1)(00uUuFF年龄隶属函数1.00.54590o 若若U U为离散域为离散域，其表示方法为：，其表示方法为：1.1.扎德表示法扎德表示法例例2-3 2-3 考虑论域考虑论域U=0U=0，1 1，2 2，1010和模糊集和模糊集“接近于接近于0 0的的整数整数”。求模糊数。求模糊数F F的离散隶属度函数扎德表

9、示法。的离散隶属度函数扎德表示法。解：解：F=1.0/0+0.9/1+0.75/2+0.5/3+0.2/4+0.1/5F=1.0/0+0.9/1+0.75/2+0.5/3+0.2/4+0.1/52.2.序偶表示法序偶表示法F F=(u1，（u1）)，（，（u2，（u2）) ， ，（，（un，（un）) 则上例：则上例：F=(0,1),(1,0.9),(2,0.75),(3,0.5),(4,0.2),(5,0.1)iniiFuuF/ )(13.3.向量表示法向量表示法 F=（u1）,（u2）, ,（un） 上例：上例：F=1,0.9,0.75,0.5,0.2,0.1 注意：向量表示法中元素要按次

10、序排列，隶属度值为零注意：向量表示法中元素要按次序排列，隶属度值为零的项不能省略。的项不能省略。2.2.2模糊集合的运算模糊集合的运算定义定义2-42-4 模糊集合相等模糊集合相等 若有两个模糊集合若有两个模糊集合A A和和B B，对于所有，对于所有 的的uU,uU,均有均有 ，则称模糊集合，则称模糊集合A A与模与模 糊集合糊集合B B相等，记作相等，记作A=B.A=B.定义定义2-52-5 模糊集合包含模糊集合包含 若有两个模糊集合若有两个模糊集合A A和和B,B,对于所有对于所有 的的uU,uU,均有均有 ，则称模糊集合，则称模糊集合A A包含包含 于模糊集合于模糊集合B B，或称，或称

11、A A是是B B的子集，记作的子集，记作A B.A B.定义定义2-62-6 模糊空集模糊空集 若对于所有若对于所有uU,uU,均有均有 ，则称，则称A A 为模糊空集，记作为模糊空集，记作A=A=定义定义2-72-7 模糊全集模糊全集 若对于所有若对于所有uU,uU,均有均有 ，则称，则称A A 为模糊全集为模糊全集 。)()(uuBA)()(uuBA0)(uA1)(uA模糊集合运算模糊集合运算定义定义2-82-8 模糊集合的并集模糊集合的并集 若有三个模糊集合若有三个模糊集合A A、B B 和和C C，对于所有的，对于所有的uUuU，均有，均有 = =max( , ) 则称则称C C为为A

12、 A与与B B的的并集并集. . 记为记为C CA AB B。定义定义2-92-9 模糊集合的交集模糊集合的交集 若有三个模糊集合若有三个模糊集合A A、B B和和 C C，对于所有的，对于所有的uUuU，均有，均有 = = =min( , ) 则称则称C C为为A A与与B B的的交集交集. .记为记为C CA AB B。定义定义2-102-10 模糊集合的补集模糊集合的补集若有若有两个模糊集合两个模糊集合A A和和B B， 对于所有的对于所有的uU,uU,均有均有 B(u)=1-A（u） 则称则称B B为为A A的补集，记为的补集，记为( )Cu( )Au( )Bu( )Au( )Cu(

13、)Au( )Bu( )Au( )Bu例例2-4 P19定义定义 设设 A,BF(U), 则则 1)A与与B的代数积记为的代数积记为A B,其运算规则为其运算规则为( )( )( )ABABuuu2) A A与与B B的代数和记为的代数和记为A B,A B,其运算规则为其运算规则为( )( )( )( )( )A BABABuuuuu定义定义 设A, BF(U),则 2) A与B的有界和记为A B, 运算规则为 ( )min(1,( )( )ABABuuu1) A与B的有界积记为A B, 运算规则为 ( )max(0,( )( )1)ABABuuu.3模糊集合运算的基本性质模糊集

14、合运算的基本性质1）幂等律 AA=A AA=A2）结合律 A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C3）交换律 AB= BA AB= BA4）分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)5) 同一律 AU=A, A =A6) 零一律 A = , AU=U定理定理2-12-1 设设U U为论域，为论域，A, B, CA, B, C为为U U中的任意模糊子集，则有：中的任意模糊子集，则有：7) 吸收律 A(AB)=A, A(AB)=A8) 摩根定律9) 双重否定律10) 互补律不成立(AB)=AB(AB)=ABAAAAUAA 2.2.4 2.2.4 隶属度函数的建立隶属度

15、函数的建立模糊集合是用隶属度函数来描述的模糊集合是用隶属度函数来描述的,所以隶属度函数在模糊所以隶属度函数在模糊控制中是很重要的。控制中是很重要的。一般来说,要按下面几个原则来确定隶属度函数. 表示隶属度函数的模糊集合必须是凸集合凸集合. . 隶属度函数通常应该是对称和平衡的 隶属度函数要符合语义自然顺序和避免不恰当的重叠 隶属度函数的选择需要考虑重叠指数几种确定隶属度函数的方法几种确定隶属度函数的方法1 模糊统计法模糊统计法 对论域上的一个元素u是否属于一个集合A作出判断. 比如对年轻人这个模糊集A.不同的人可能会有不同的划分,例如18-28岁, 20-30岁,20-35岁.那么22岁属于模

16、糊集A的隶属频率为=3/3=1 这样就可以得到：uAuAn的次数属于 的隶属频率试验次数(22)12 例证法例证法 比如设全体人为论域U, 模糊集A表示高个人, 例如高180, 175, 170, 165的人属于高个人这个模糊集的程度用 “真的” “大致真的” “似真似假” “大致假的” “假的”五种语言值来判断. 分别用 1, 0.75, 0.5, 0.25, 0来表示.那么有10.750.50180175170165A3 专家经验法专家经验法 这种方法是工程实践中常用的一种方法. 一般来说,是根据专家的实际经验,对模糊信息作出判断,给出它的隶属度函数值. 例如:炉温控制. 设定温度为20度

17、,专家的经验判断, (21)=0.2,(23)=0.3,(30)=1 等 4 二元对比排序法二元对比排序法 这种方法通过对多个事物之间的两两对比来确定这些事物对某个特征的隶属函数。我们主要介绍比较实用的相对比较法。 设ui相对于uk具有某种特征的程度为guk(ui), 设uk相对于ui具有某种特征的程度为gui(uk),论域U中的元素u1, u2, un, 一对元素(ui, uk),作对比，（i, k=1,2, , n）令 ( )(/)max( ),()kkiuiikuiukgug u ugug u设i=k时, g(ui/uk)=1. 那么可以得到一个相及矩阵12131412123242313

18、23431, (/), (/), (/),. (/)(/),1, (/), (/),. (/)(/), (/),1, (/),. (/).nnng uug uug uug uug uug uug uug uuGg uug uug uug uu1231.(/), (/), (/),. (/),1nnnnng uug uug uug uu对G的每一行取最小值,即gi=ming(ui/u1), g(ui/u2),g(ui/un)于是可以得到u1,u2,.,un对某特征的隶属函数.例例2-5: 设论域设论域U=(u1,u2,u3,u0), u1=长子长子, u2=次子次子, U3=三子三子, u0=父

19、亲父亲. 考虑相似问题考虑相似问题.1 长子和次子与父亲相似来说, 设长子与父亲相似的程度为0.8, 次子与父亲相似的程度为0.52次子和三子与父亲相似来说, 设次子与父亲相似的程度为0.4, 三子与父亲相似的程度为0.73 长子和三子与父亲相似来说, 设长子与父亲相似的程度为0.5, 三子与父亲相似的程度为0.3按谁象父亲这个原则来排序,有213231123122313123( ),()(0.8,0.5)(),()(0.4,0.7)( ),()(0.5,0.3)( )1()1()1uuuuuuuuugugugugugugugugugu1231231115 814 73 511uuuuuu在上

20、面的相及矩阵中,每行取最小值,得到 1 3/5 4/7得到结论长子最像父亲(1),三子次之(0.6),次子最不像父亲(0.57).隶属函数的大体形状也就知道了222)(),(cxecxfc), gaussmf(x,01234567891001trimf,P=3 6 8bacxcbaxf211),(c)b,a,gbellmf(x,01234567891001trimf,P=2 4 6)(11),(cxaecaxf)ca,sigmf(x,01234567891000.40.

21、0.91trimf,P=2 4dxdxccdxdcxbbxaabaxaxdcbaxf010),(d)c,b,a,trapmf(x,01234567891001trimf,P=1 5 7 8cxcxbbcxcbxaabaxaxcbaxf00),(c)b,a,trimf(x,01234567891001trimf,P=3 6 8 b)a,zmf(x,.5模糊关系模糊关系1.1.模糊关系的定义模糊关系的定义定义定义2-112-11 所谓所谓A,BA,B两个集

22、合的直积两个集合的直积 A AB B=(a,b)|aA,bB=(a,b)|aA,bB 中的一个模糊关系中的一个模糊关系R R，是指以，是指以A AB B为论域的一个模糊子为论域的一个模糊子集，序偶（集，序偶（a,ba,b）的隶属度为）的隶属度为R R(a,b).(a,b).模糊关系的表示：模糊关系的表示：（1 1）模糊集合表示法）模糊集合表示法 当当A AB B为连续有限域时，二元模糊关系为连续有限域时，二元模糊关系R R的模糊集合表的模糊集合表示方法为：示方法为：BbAababaRBAR,),/(),(可以推可以推广至广至n维维例例2-62-6 设论域设论域U=1, 5, 7, 9, 20

23、,U=1, 5, 7, 9, 20 ,现在来求现在来求U U上的上的”大得多大得多”的关系的关系R.R.序偶序偶(20, 1)中中,20远大于远大于1,所以认为它隶属于所以认为它隶属于”大得多大得多”的程度为的程度为1. 序偶序偶(9, 7)中中,9靠近于靠近于7,可以认为它隶属于可以认为它隶属于”大得多大得多”的程度为的程度为0.1. 用类似的考虑用类似的考虑,可以得到模糊关系可以得到模糊关系R10.10.3(5,1)(7,1)(9,1)(20,1)(7,5)(9,5)0.95(20,5)(9,7)(20,7)(20,9)R （2 2）模糊矩阵表示法）模

24、糊矩阵表示法当当 是有限集合时，则是有限集合时，则的模糊关系的模糊关系R R可用可用 阶矩阵来表示阶矩阵来表示njjmiibBaA, 2, 1, 2, 1,BAnmmnmjmminijiinjnjrrrrrrrrrrrrrrrrR2121222221111211式中，元素式中，元素 ，R R 称为称为模糊矩阵模糊矩阵),(jiRijbarn 例例2-72-7 设有七种物品，苹果、乒乓球、书、篮球、花、设有七种物品，苹果、乒乓球、书、篮球、花、 桃、菱形组成的一个论域桃、菱形组成的一个论域U U，并设，并设 分别表分别表 示这些物品，则论域示这些物品，则论域 。求物品两两之。求物品两两之间的相似

25、程度的模糊关系。间的相似程度的模糊关系。721,xxx,721xxxU解解 假设物品间完全相似者为假设物品间完全相似者为“1 1”、完全不相似者为、完全不相似者为“0 0”，其余按具体相似程度给出一个其余按具体相似程度给出一个0 01 1之间的数，就可确定出之间的数，就可确定出一个一个U U上的模糊关系上的模糊关系R R。R苹果苹果x1乒乓乒乓球球x2书书x3篮球篮球x4花花x5桃桃x6菱形菱形x7苹果x11.00.700乒乓球x20.71.000书x3001.00000.1篮球x40.70.901.00.40.50花x50.50.400.41.00.40桃

26、x60.60.500菱形x7000.10001o 对于模糊的控制系统，系统的输入与输出也存在某种模对于模糊的控制系统，系统的输入与输出也存在某种模糊关系。糊关系。o 假设有如下一条模糊规则：假设有如下一条模糊规则： 或或 IF A(u) THEN B(v)IF A(u) THEN B(v)其中条件部模糊集其中条件部模糊集A A定义为定义为A A(u)/uU(u)/uU，结论部模糊集，结论部模糊集B B定定义为义为B B(v)/vV.(v)/vV.则模糊关系：则模糊关系：A AB=B=U UV V min(min(A(u),A(u),B(v)/(u,v) B(v)/(u,v)

27、U UV V是序偶是序偶(u,v)(u,v)的集合的集合BAn 例例2-82-8 设设U=1,2,3;V=1,2,3,4;A(u)/u=1/1+0.7/2+0.2/3; B(v)/v=0.8/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4。求。求A和和B的直积的直积A AB B。n 解：解： A AB=B=0.8/(1,1)+0.6/(1,2)+0.4/(1,3)+0.2/(1,4) +0.7/(2,1)+0.6/(2,2)+0.4/(2,3)+0.2/(2,4) +0.2/(3,1)+0.2/(3,2)+0.2/(3,3)+0.2/(3,4)也可以使用模糊矩阵也可以使用模糊矩阵R来表示：来表示：u

28、v1234定义定义2-122-12 笛卡儿积笛卡儿积( ( 算子算子) )设设A1,A2,A1,A2,.An.An分别是论域分别是论域U1,U2,U1,U2,.Un.Un中的模中的模糊集糊集, ,那么它们的笛卡儿积是积空间那么它们的笛卡儿积是积空间U1U1U2U2. .UnUn中的一个模糊集中的一个模糊集, ,其隶属度函数为其隶属度函数为直积直积( (极小算子极小算子) )min:min:12.121212( ,. ,)min( ),(),.()AAAnAAAnnnu uuu uuuuu12.121212( ,. ,

29、)( )().()AAAnAAAnnnu uuu u uuuu代数积代数积AP :AP :对于连续情况，关系矩阵可以定义对于连续情况，关系矩阵可以定义为：为：),/()()(),/(),(vuvuvuvuBARBVUAVUR例例2-9 有模糊条件语句有模糊条件语句: 如果如果C是慢的是慢的,则则A是快的是快的.其中其中, C, A分别属于两个不同的论域分别属于两个不同的论域U, V.用隶属度函用隶属度函数法来表示数法来表示C, A如下：如下：A(快快)= 0/0 + 0/20 + 0.3/40 + 0.7/60 + 1/80 + 1/100C(慢慢)= 1/0 + 0.7/20 + 0.3/4

30、0 + 0/60 + 0/80 + 0/100那么它们的直积和代数积分别为那么它们的直积和代数积分别为min()( , )(1,0)(1,0)(1,0.3)(1,0.7)(1,1)(1,1)(0.7,0)(0.7,0)(0.7,0.3)(0.7,0.7)(0.7,1)(0.7,1).min.(0,0)(0,0)(0,0.3)(0,0.7)(0,1)(0,1)CACAu v000.30.711000.7000.3000000000000000000()( , )000.30.711000.210.490.70.7000.000000000

31、0000000000AP CACAu v2.2.模糊关系的合成模糊关系的合成o 对于有些系统，只依赖单一的条件和结论推理是不对于有些系统，只依赖单一的条件和结论推理是不够的。因此存在多重现象，如够的。因此存在多重现象，如 IF A THEN B, IF B THEN C 寻求寻求A与与C之间的关系的方法就是之间的关系的方法就是模糊关系的合成模糊关系的合成例如例如：A和和B是父子关系，是父子关系，B和和C是夫妻关系，是夫妻关系，则则A和和C就会形成一种新的关系，即公媳就会形成一种新的关系，即公媳=父子父子夫妻夫妻o 定义定义2-142-14 模糊关系的合成模糊关系的合成 如果如果R R和和S S

32、分别为笛卡尔空间分别为笛卡尔空间U UV V和和V VW W上的模糊关系，则上的模糊关系，则R R和和S S的合成是定义在笛卡的合成是定义在笛卡尔空间尔空间U UV VW W上的模糊关系，并记为上的模糊关系，并记为R R S.S.o 其隶属度函数计算方法如下：其隶属度函数计算方法如下：,),(),(supWwVvUuwvvuSRSRV模糊关系合成算子模糊关系合成算子Sup-min存在如下特性：存在如下特性：RRIIR000RRRRRmm1nmnmRRR)()()()()()()()()()()()(SRTRSTRSTSRSTRSRTRSTRSTSRSTR分配律TSRTSR)()(结合律RTRS

33、THENTSIF,包含TTTRSSR)(转置运算注：注：模糊关系的合成运算不满足交换律，即模糊关系的合成运算不满足交换律，即RSSR.1二值逻辑二值逻辑对一句话，如果能够判断它表述的意思是真是假时，就可以称为命题。一个简单的语句叫简单命题，用命题联结词把两个以上的简单命题联结起来叫复合命题。命题联结词有：析取 、合取 、否定 、蕴涵等价 2.3 2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成.1二值逻辑二值逻辑析取析取 ：意思是：意思是“或或” 。 复合命题复合命题P Q 只有在只有在P和和Q都是假时，才是假。都是假时，才是假。例如：例如：P她

34、喜欢吃雪糕，她喜欢吃雪糕， Q她喜欢喝可乐。她喜欢喝可乐。 P Q她喜欢吃雪糕或喜欢喝可乐。她喜欢吃雪糕或喜欢喝可乐。合取合取 ：意思是：意思是“与与” 。 复合命题复合命题P Q 只有在只有在P和和Q都是真时，才是真。都是真时，才是真。例如：例如：P她喜欢吃雪糕，她喜欢吃雪糕， Q她喜欢喝可乐。她喜欢喝可乐。P Q她喜欢吃雪糕和喝可乐。她喜欢吃雪糕和喝可乐。.1二值逻辑二值逻辑蕴涵蕴涵： 意思是意思是 “如果如果 . 那么那么 .”例如：例如：P是女孩子，是女孩子， Q她喜欢漂亮。她喜欢漂亮。P Q如果是女孩子那么她喜欢漂亮。如果是女孩子那么她喜欢漂亮。等价等价：意思是：意思

35、是“当且仅当当且仅当”例如：例如：P=A是等边三角形，是等边三角形， Q=A是等角三角形。是等角三角形。 P Q A是等边三角形当且仅当是等边三角形当且仅当A是等角三角形。是等角三角形。.2模糊逻辑的基本运算模糊逻辑的基本运算设设P、Q、R是三个模糊单命题是三个模糊单命题 1 模糊逻辑补：模糊逻辑补： 对命题否定，对命题否定， 1P P2 模糊逻辑析取：模糊逻辑析取： P Q max（P，Q） 3 模糊逻辑合取：模糊逻辑合取： P Q min（P，Q） 4 模糊逻辑蕴涵：模糊逻辑蕴涵： 如如P是真的，则是真的，则 Q也是真的。也是真的。 P Q（1PQ） 1 min 1, （1

36、PQ） 5 模糊逻辑等价：模糊逻辑等价： P Q（ P Q ） （ Q P ） .2模糊逻辑的基本运算模糊逻辑的基本运算PQPQ10max PQ10（ ）（ ， ）PQPQ1min PQ（ ） （ ， 1）模糊逻辑限界积：模糊逻辑限界积： 模糊逻辑限界和：模糊逻辑限界和： 模糊逻辑限界差：模糊逻辑限界差： PQPQ0（ ）例例2-112-11： P P她是个刁蛮的人，其真值她是个刁蛮的人，其真值P P0.80.8 Q Q她是个泼辣的人，其真值她是个泼辣的人，其真值Q Q0.60.6 那么那么 P Q min（P， Q）min(0.8 , 0.6)=0.6 那么那么 P Q ma

37、x（P， Q）max(0.8 , 0.6)=0.8 那么那么 P Q (1P Q） 1 (10.80.6) 1=0.8o 模糊逻辑是一种模拟人思维的逻辑。模糊逻辑是一种模拟人思维的逻辑。o 从广义角度，一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。从广义角度，一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。o 在不同的场合，某一模糊概念可以代表不同的含义。在不同的场合，某一模糊概念可以代表不同的含义。 如：如：“高个子高个子”，在中国大约为，在中国大约为1.75-1.851.75-1.85 在欧洲大约为在欧洲大约为1.80-1.901.80-1.90o 模糊语言逻辑：由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑模糊语言逻辑

38、：由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑定义定义2-152-15 模糊数模糊数 连续论域连续论域U U中的模糊数中的模糊数F F是一个是一个U U上的正规凸模上的正规凸模糊集。糊集。 即，以实数集合为全集合，一个具有连续隶属度函数的即，以实数集合为全集合，一个具有连续隶属度函数的正规正规有界凸模糊集合有界凸模糊集合就称为模糊数。就称为模糊数。 .3模糊语言逻辑模糊语言逻辑模糊数就是那些诸如模糊数就是那些诸如“大约大约5”、“10左右左右”等具有模糊概念的数值等具有模糊概念的数值o 定义定义2-162-16 语言值语言值 在语言系统中，那些在语言系统中，那些与数值有直接与数值有直接

39、联系的词联系的词，如长、短、多、少、高、低、重、轻、大、，如长、短、多、少、高、低、重、轻、大、小或者小或者由它们再加上语言算子由它们再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）（如很、非常、较、偏等）而而派生出来派生出来的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。为语言值。o 例如：成年男子身高的论域例如：成年男子身高的论域 E=130，140，150，160，170，180，190，200，210 =e1,e2, ,e9在论域在论域E上定义语言值上定义语言值 个子高个子高=0.2/e4+0.4/e5+0.6/e6+0.8/e7+1/e8+1/e9 个子矮

40、个子矮=1/e1+0.7/e2+0.5/e3+0.3/e4+0.1/e5o 定义定义2-172-17 语言变量语言变量 语言变量是用一个五元素的集合语言变量是用一个五元素的集合（X,T(X),U,G,MX,T(X),U,G,M）来表征的。其中：）来表征的。其中： X X是语言变量名；是语言变量名； T T（X X）为语言变量）为语言变量X X的项集合，即语言变量名的集合，的项集合，即语言变量名的集合， 且每个值都是在且每个值都是在U U上定义的模糊数上定义的模糊数F Fi i； U U为语言变量为语言变量x x的论域；的论域； G G为产生为产生x x数值名的语言值规则，用于产生语言变量值；数

41、值名的语言值规则，用于产生语言变量值； M M为与每个语言变量含义相联系的算法规则为与每个语言变量含义相联系的算法规则, ,在论域上在论域上定义定义1 1个模糊集等；个模糊集等；。.3模糊语言逻辑模糊语言逻辑o 为了对模糊的自然语言为了对模糊的自然语言形式化和定量形式化和定量化，进一步化，进一步区分和刻区分和刻画模糊值的程度画模糊值的程度，常常还借用自然语言中的修饰词，诸如，常常还借用自然语言中的修饰词，诸如“较较”、“很很”、“非常非常”、“稍微稍微”、“大约大约”、“有有点点”等来描述模糊值。等来描述模糊值。o 引入引入语言算子语言算子：语气算子、模糊化算子、判定化算子：语

42、气算子、模糊化算子、判定化算子 语气算子语气算子 用来表达语言中对某一个单词或词组的确定性用来表达语言中对某一个单词或词组的确定性程度。程度。 集中化算子或强化算子：集中化算子或强化算子：“很很”、“非常非常”等等 松散化算子或淡化算子：松散化算子或淡化算子：“较较”、“稍微稍微”等等o 记记 为语气算子运算符，定义为：对于原语言值为语气算子运算符，定义为：对于原语言值A经经语气算子语气算子 的作用下形成一个新的语言值的作用下形成一个新的语言值 则它的则它的隶属度函数满足隶属度函数满足o 常用的语气算子定义如下：常用的语气算子定义如下： “极极” ；“非常非常” ；“很很” ；“相当相当” “

43、比较比较” ；“略略” ；“稍稍” ；“有有点点” HH)(AHAAH)(4325 . 18 . 06 . 04 . 02 . 0o 例例2-122-12 以以“年老年老”这个词为例，来说明语气算子的作这个词为例，来说明语气算子的作用用求非常老，很老，比较老，有点老的隶属度函数。求非常老，很老，比较老，有点老的隶属度函数。50)50(51115000)(2xxxxx）（年老年老50)50(51115000)(32xxxxx）（非常老非常老50)50(51115000)(22xxxxx）（很老很老50)50(51115000)(8 . 02xxxxx）（比较老比较老50)50(51115000)

44、(2 . 02xxxxx）（有点老有点老.3模糊语言逻辑模糊语言逻辑()( )( , )( )F ARAc xxx cc 模糊化算子模糊化算子 设 模糊前的集合为A，模糊化算子为F，则模糊化变换可以为F（A），其隶属函数关系是 cxcxecxcxR0),(2)(相似变换函数判定化算子判定化算子 设判定化前的集合为设判定化前的集合为A A，它的隶属函数为，它的隶属函数为A A（x x）判定化算）判定化算子为子为P P，则判定化变换可以为，则判定化变换可以为P P（A A），其隶属函数关系是），其隶属函数关系是 01( )1211Px AAA (x) 0.4模糊逻辑

45、推理模糊逻辑推理扎德推理法扎德推理法 ()(1)ABABA1(1)ABAB ( , )( )( )1( )ABABAx yxyx玛达尼推理法玛达尼推理法 ABAB( , )( )( )ABABx yxy.4模糊逻辑推理模糊逻辑推理1 近似推理近似推理 广义肯定式推理广义肯定式推理 前提前提1： 如果如果x是是A， 则则y是是B 前提前提2： 如果如果x是是A ， 结论：结论： y是是B ，()BAAB( )( )( , )ABBAxyxx y 模糊关系矩阵元素模糊关系矩阵元素 的计算方法采用玛达尼推理：的计算方法采用玛达尼推理：那么其隶属度函数为那么其隶属度函数为模糊蕴含（模糊

46、关系矩阵）通常有两种计算方法：模糊蕴含（模糊关系矩阵）通常有两种计算方法： 模糊蕴含最小运算法模糊蕴含最小运算法 模糊蕴含积运算法模糊蕴含积运算法),(yxBABABA)(),()()(),(minyxyxyxRBABA)()(),(minyxyxRBABA)()(),(yxyxRBABAAP.4模糊逻辑推理模糊逻辑推理广义否定式推理广义否定式推理 前提前提1： 如果如果x是是A， 则则y是是B 前提前提2： 如果如果y是是B ， 结论：结论： x是是A ，BBAA)(),()()(yxyxBAByA模糊关系矩阵元素模糊关系矩阵元素 的计算方法采用扎德推理：的计算方法采用扎德推

47、理：或或 那么其隶属度函数为那么其隶属度函数为),(yxBA)1 ()()(ABABA)1 (1)(BABA)(1 )()(),(xyxyxABABA例例2-14 P42论域论域XY 1，2，3，4，5 , 在在X和和Y上有三个模糊子集上有三个模糊子集 “大大”、 “小小”、”较小较小“，分别如下：，分别如下：“大大”0.4/3 + 0.7/4 + 1/5“小小“1/1 + 0.7/2 + 0.3/3“较小较小”1/1 + 0.6/2 + 0.4/3 + 0.2/4规则为若规则为若x小，则小，则y大，大， 那么当那么当x较小时，较小时，y？YX XY（ ？）（ 较小）（ 小） （ 大）y?xx

48、y(y )()(,)xxy 较小小大较小？较小小大( )1 0.6x 较小( )1 0.7x 小( )0 0y 大xy(,)1xy13小大小大小小大 10.4 1-1=0.4xy(,)1xy11小大小大小小大 10 1-1=0000.40.70.71111111111R 小小大的关系矩阵大的关系矩阵R R ( )( )yyR较大较小1 0.6000.40.70.70.71 1111111111R 0.4 0.4 0.4 0.40.71( )12345y较大2 模糊条

49、件推理模糊条件推理 语言规则：语言规则： 如果如果x x是是A A，则，则y y是是B B，否则，否则y y是是C C。逻辑表达：逻辑表达： ()()ABAC()()RABA C( )( )(1( )( )ABACxyxy( , )RABACx y()()BARAABA C例例2-15 一个系统，当输入为一个系统，当输入为A时，输出为时，输出为B，否则输出，否则输出C。已知。已知 A1/x1 + 0.4/x2 + 0.1/x3B=0.8/y1 + 0.5/y2 + 0.2/y3C=0.5/y1 + 0.6/y2 + 0.7/y3问题：问题： 当输入当输入 A= 0.2/x1 + 1/x2 +

50、0.4/x3 时，输出时，输出D？()()RABA C( , )( )( )(1( )( )RABACx yxyxy000A CABR0.20.6DR3 多输入模糊推理多输入模糊推理 前提前提1 1： 如果如果A A且且B B， 那么那么 C C 前提前提2 2： 现在是现在是A A且且B B 结论：结论： )()(CBANDABANDAC()()CA andA andCAACBC ( )( )( )( )( )( )( )ACBCCABxyzxxzy

51、yz( )( )( )( )( )( )ACBCABxyxxzyyz( )( )AAAxxx()( )ABCz( )( )BBByyy( )( )ACBCzzo 性质性质1 若合成运算若合成运算“ ”采用极大采用极大-极小法或极大极小法或极大-代数代数法，连接词法，连接词“and”（且）采用求（且）采用求“并并”运算法，则运算法，则“ ”和和“and”的运算次序可以交换，即的运算次序可以交换，即o 性质性质2 若模糊蕴含关系采用极小算子若模糊蕴含关系采用极小算子Rmin，合成算子，合成算子采用极大采用极大-极小法，极小法，and算子采用求算子采用求“交交”法，则法，则ininiiRBandAR

52、BandA11)()()()(iiiiCBandABandAC)()(iiiiiCBBCAAC可写为可写为o 性质性质3 对于对于 的推理结果的推理结果可以用如下简洁的形式来表示可以用如下简洁的形式来表示 当模糊蕴含运算采用极小算子当模糊蕴含运算采用极小算子Rmin 当模糊蕴含运算采用代数算子当模糊蕴含运算采用代数算子RAP其中其中)()(iiiiCBandABandAC)()(zziiCiC)()(zziiCiC)()(max()()(max(yyxxBBAAi离散条件下模糊推理过程也可以用模糊关系矩阵的运算表述：离散条件下模糊推理过程也可以用模糊关系矩阵的运算表述： 比如：比如：已知已知

53、IF A and B then C 那么，当那么，当 A and B 时时 C？ 1.先求先求DAXB， 令令 ( )( )xyABdxy1111.nmmnddDdd得到得到2.将将D写成列矢量写成列矢量DT 1111TnmmnDTdddd3.求关系矩阵求关系矩阵R RDT X C 4.由由 A 和和 B 求出求出 D D=A X B 5将将D 写成行矢量写成行矢量DT 6.最后得到所求的最后得到所求的 C CDT R12123110.21ABCxxyyyzz设 且 ，则 1210.20ABCxxyyy已知： 及 ， 求0.10.510.10.50.

54、5DAB0.20.5RDTC例例2-1601 . 01 . 002 . 05 . 002 . 05 . 01 . 08 . 0BAD2 . 02 . 05 . 02 . 05 . 02 . 01 . 01 . 012 . 05 . 02 . 01 . 01 . 001 . 01 . 002 . 05 . 0C120.20.2Czz4.多输入多规则推理多输入多规则推理 ifand BthenC1ifm and BmthenCm ifand BthenC1ifand B2thenC2 ifm and B

55、mthenCm 否则 否则否则12iiiiiiC =CC.CC()()miAACBC 较一般的二输入多规则如下：较一般的二输入多规则如下：o 与传统的控制系统设计相对应的模糊系统设计也存在系与传统的控制系统设计相对应的模糊系统设计也存在系统的统的建模和控制建模和控制问题，对于有限域上的模糊关系问题，对于有限域上的模糊关系R R可以可以用模糊矩阵来表示，则模糊控制系统的建模和控制问题用模糊矩阵来表示，则模糊控制系统的建模和控制问题就转化为模糊关系方程的求解问题了。就转化为模糊关系方程的求解问题了。建模辨识问题：建模辨识问题：已知给定的已知给定的A A和和B B，求关系矩阵，求关系矩阵R R。系统

56、控制问题：系统控制问题：已知需控制的目标已知需控制的目标B B和关系矩阵和关系矩阵R R，求控制输入，求控制输入A A。.5模糊方程的解模糊方程的解BRABRA.5模糊方程的解模糊方程的解A R=B模糊方程 ij m nij m sij n sAF(UV) BF(UW) RF(VW) A=(a ) B=(b ) R=(r ) 设 12s12sA RA (R R . R )(B B . B )sjBRAjj, 2 , 1TnjjjjRRRR),(21TmjjjjBBBB),(211112111212222212.nnmmmnnmaaarbaaarbaaarb 11

57、1122111122()().().()().()nnmmmnnmarararbarararb 1122()().()iiinniarararb1122()().()iiiiinniarbarbarb 1122()().()iiiiinniarbarbarb ()()a, b, r0,1arbarb 和 的解, bab r= b,1a=b ab0,b(r)0,1abab12nW( ) ( )r ( )krrr12.nirWWW2.42.4模糊控制系统的组成模糊控制系统的组成o 把被控对象的测量值从数字量转化为模糊量，也即是模把被控对象的测量值从数字量转化为模糊量，也即是模糊化过程。糊化过程。由

58、模糊化接口和知识库来完成。由模糊化接口和知识库来完成。o 对所测的模糊量按给定的模糊逻辑推理规则进行模糊推对所测的模糊量按给定的模糊逻辑推理规则进行模糊推理，得出模糊控制器控制输出的推理结果。理，得出模糊控制器控制输出的推理结果。这部分由推这部分由推理决策和规则库完成。理决策和规则库完成。o 把推理输出结果的模糊量转化为实际系统能够接受的精把推理输出结果的模糊量转化为实际系统能够接受的精确数字量或模拟控制量。确数字量或模拟控制量。由精确化计算完成。由精确化计算完成。.1模糊化过程模糊化过程u 模糊化就是输入值匹配成语言值的过程。u 确定输入值对于相应语言变量语言值的隶属度。u

59、输入值x可以和语言值C相匹配，也可以和语言值D相匹配。相应于C模糊集的隶属度是c(x)，相应于D模糊集的隶属度是d（x)。相应于A，B，E模湖集的隶属度均为零，即a(x) b(x) e(x)0模糊子集的数目和范围必须遍及整个论域.2知识库知识库数据库 论域离散化 输入输出空间划分（启发式） 模糊子集隶属度函数规则库 输入输出变量的选择 模糊控制规则的建立论域离散化o 论域的离散化实质上是一个量化过程离散化实质上是一个量化过程。量化是将一个论域离散成确定数目的几小段（量化级），每一段用一个特定术语作为标记，这样就形成一个离散域离散域。o 在模糊控制系统中，变量的量化给出了控制器计

60、算的简化和控制值的平滑之间的一个折中，然而为了消除大的误差在量化级之间进行一些差值运算差值运算是必要的。o 差值运算一个简单的方法是引入一个权系数)(模糊子集隶属度函数o 通常有两种隶属度函数表示方式：通常有两种隶属度函数表示方式： 数字表示数字表示 函数表示函数表示如，输入值如，输入值u属于不同模糊子集的隶属度用一个矢量来表属于不同模糊子集的隶属度用一个矢量来表示。当模糊子集总数为示。当模糊子集总数为5并分别用并分别用ui表示时，即可写成表示时，即可写成51/)(iiiuau模糊规则的建立模糊规则的建立 基于模糊模型的控制：运用数学模型 专家经验：需要一些内涵的和客观的准则 观察法：通过观察