第五节含绝对值的不等式

1、第五节含绝对值的不等式第五节含绝对值的不等式第六章不等式、推理与证明第六章不等式、推理与证明 考考 纲纲 要要 求求1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：(1)|axb|c；(2)|axb|c；(3)|xa|xb|c.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理二、绝对值的运算性质二、绝对值的运算性质1|a|b|ab|a|b|(注意等号成立的条件注意等号成立

2、的条件)2|a|b|ab|a|b|(注意等号成立的条件注意等号成立的条件)以上二式中，左边分别在以上二式中，左边分别在ab0(0)时取得等号，右边分时取得等号，右边分别在别在ab0(0)时取得等号时取得等号3|ab|a|b|.4. .三、解绝对值不等式的思路三、解绝对值不等式的思路1若若a0，xR，则，则|x|ax2a2axax2a2xa.若若aR，则需对，则需对a进行分类讨论：进行分类讨论：|x|a2|f |g g f g ，|f |g f g 或或f g .3|f |g |f2 g2 f g 0.4含有多个绝对值符号的不等式，例如：形如含有多个绝对值符号的不等式，例如：形如|xa|xb|c

3、、|xa|xa|c或或|xa|xb|c的不等式的求解通的不等式的求解通常采用常采用“零点分段讨论法零点分段讨论法”求解，也可利用绝对值的几何意义求解，也可利用绝对值的几何意义去求解去求解5含有参数的不等式的求解，通常要对参数分类讨论含有参数的不等式的求解，通常要对参数分类讨论 x x x x x x x x x x x x x x x x x四、解答含绝对值问题的常用策略四、解答含绝对值问题的常用策略(1)定义策略；定义策略；(2)平方策略；平方策略；(3)定理策略；定理策略；(4)等价转化等价转化策略；策略；(5)分段讨论策略；分段讨论策略；(6)数形结合策略数形结合策略五、证明绝对值不等式

4、的方法五、证明绝对值不等式的方法证明绝对值不等式的基本思想和基本方法有转化思想和证明绝对值不等式的基本思想和基本方法有转化思想和比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等基础自测基础自测1(2012天津五区县期末天津五区县期末)若命题若命题p：|x1|2，命题，命题q：x22x，则，则綈綈p是是綈綈q的的()A必要不充分条件必要不充分条件 B充分不必要条件充分不必要条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：解解|x1|2得得3x1，p：3x1，綈綈p：x3或或x1；解；解x22x得得2x1，q：2x1，

5、綈綈q：x2或或x1.显然显然綈綈p綈綈q，而，而綈綈q推不出推不出綈綈p.綈綈p是是綈綈q的充分不必要条件故选的充分不必要条件故选B.答案：答案：B2(2011三明市三校联考三明市三校联考)已知实数集已知实数集R，集合，集合Mx|x2|2，N ，则，则M( RN) () Ax|4x0 Bx|1x0Cx|1x0 Dx|x2解析：解析：由由|x2|22x224x0，M ，由由 1 0 x2，N ， RN ，M( RN) .故选故选C.答案：答案：C| x4x03x12xx1x2x1| x x1x2或|- x1x2|- x1x03(2012肇庆市一模肇庆市一模)|x|22|x|150的解集是的解集

6、是 _.解析：解析：|x|22|x|150，|x|5或或|x|3(舍舍去去)x5.答案：答案：(，5)(5，)4(2011咸阳市检测咸阳市检测)设函数设函数f(x)x3，则，则f(2)_；若；若f(x)5，则，则x的取值范围是的取值范围是_.解析：解析：f(2) 236；f(x)5 x35 1x1.所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为1,1答案：答案：61,1- -4 1-2x 1考考 点点 探探 究究考点一考点一解含有一个绝对值符号的不等式解含有一个绝对值符号的不等式【例【例1】解不等式：解不等式：(1) 4； (2) 4.+2x 1-x 2思路点拨：思路点拨：解含绝对值的不等式，需先去

7、掉绝对值符解含绝对值的不等式，需先去掉绝对值符号当只含一个绝对值符号时，可直接利用公式号当只含一个绝对值符号时，可直接利用公式0)axa(a0)xa去掉绝对值符号去掉绝对值符号(注意：当注意：当不等号是不等号是“”或或“”，则解集也要相应的改变，也含有等，则解集也要相应的改变，也含有等号号)当然也可按定义去绝对值符号当然也可按定义去绝对值符号解析：解析：(1) 42x14或或2x14，解得，解得x .所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是 .(2) 44x242x6.所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是 .+2x 15232-x 2点评点评：解含绝对值的不等式，需先去掉绝对值符号：解含绝

8、对值的不等式，需先去掉绝对值符号变式探究变式探究1(1)(2012肇庆市期末肇庆市期末)不等式不等式|3x4|4的解集是的解集是_(2)(2012山东卷山东卷)若不等式若不等式|kx4|2的解集为的解集为x|1x3，则实数则实数k_.考点二考点二 解解 g(x)或或 1)，的解集为，的解集为_解析：解析：(1)原不等式原不等式 x2或或1x3.原不等式的解集为原不等式的解集为x|x2或或1x3/a4a2xx22/a4a2xx22答案：答案：(1)x|x2或或1x3(2)变式探究变式探究2(1)不等式不等式 的解集是的解集是()A(0,2) B(，0)C(2，) D(，0)(0，)(2)不等式不

9、等式2x的解集是的解集是_考点三考点三解含有两个解含有两个(或两个以上或两个以上)绝对值符号的不等式绝对值符号的不等式【例【例3】(1)(2012江西卷江西卷)在实数范围内，不等式在实数范围内，不等式|2x1|2x1|6的解集为的解集为_(2)(2012梅州中学月考梅州中学月考)函数函数f(x)|2x1|x4|的最小的最小值是值是_思路点拨：思路点拨：含有两个绝对值符号的不等式的求解含有两个绝对值符号的不等式的求解可用零点分类讨论法外，也可以利用绝对值的几何意可用零点分类讨论法外，也可以利用绝对值的几何意义义数轴来求解；后者有时用起来会事半功倍体数轴来求解；后者有时用起来会事半功倍体现考纲中要

10、求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等式值不等式变式探究变式探究3(1)(2011江西卷江西卷)对于对于xR，不等式，不等式|x10|x2|8的解集为的解集为_(2)(2012佛山市顺德区检测佛山市顺德区检测)已知已知f(x) |x| |x-1| ，则，则 f(x)_，f(x)2时时x的取值范围为的取值范围为_解析：解析：(1)(法一法一)零点分段讨论法零点分段讨论法当当x2时，原不等式可化为时，原不等式可化为 x10 x28,128，恒成立，恒成立，于是得于是得x2.综上，得综上，得x0，所以原不等式的解集为，所以原不等式的解集为x| x0

11、(法二法二)用绝对值的几何意义所求问题可以看成到两点用绝对值的几何意义所求问题可以看成到两点10和和2的距离差大于或等于的距离差大于或等于8的所有点的集合，画出数轴线，的所有点的集合，画出数轴线，找到找到0到到10的距离为的距离为d110，到，到2的距离为的距离为d22，d1d28，并当，并当x往右移动，距离差会大于往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的，所以满足条件的x的范的范围是围是x0，即原不等式的解集为，即原不等式的解集为x | x0 答案：答案：(1)(2)1 考点四考点四求含有参数的绝对值不等式的参数的取值范围求含有参数的绝对值不等式的参数的取值范围【例【例4】(2012合肥一中

12、质检合肥一中质检)不等式不等式|x3|x1|a23a对任意实数对任意实数x恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围为的取值范围为()A1,4 B(，25，)C(，1)4，) D2,5解析：解析：令令f(x)|x3|x1|，|x3|x1|x3(x1)|4，f(x)的最小值为的最小值为f(x)min4.要使原不等式恒要使原不等式恒成立，只需成立，只需a23af(x)min，即，即a23a40，解得，解得1a4.故选故选A.答案：答案：A变式探究变式探究4关于关于x的不等式的不等式|x2|xa|2a在在R上恒成立，则上恒成立，则实数实数a的最大值是的最大值是_解析：解析：因为因为|x2|xa|a2|

13、，即即(|x2|xa|)min|a2|，依题意有，依题意有，|a2|2a，解得，解得a ，所以，实数所以，实数a的最大值是的最大值是.答案：答案：2323考点五考点五绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式的应用【例【例5】(2012江西师大附中、鹰潭一中联考江西师大附中、鹰潭一中联考)若存在实若存在实数数x满足满足|x3|xm|5，则实数，则实数m的取值范围是的取值范围是_解析：解析：|x3|xm|x3(xm)|m3|，原不等式变为原不等式变为|m3|5，即，即5m35，得，得2m8.答案：答案：(2,8)变式探究变式探究5(2011华师附中检测华师附中检测)对任意对任意xR，不等式，不等式a

14、24a恒成立，则恒成立，则a的取值范围是的取值范围是_解析：解析：|2x|3x|(x2)(x3)|5，a24a5，1a5.a的取值范围是的取值范围是1,5答案：答案：1,5课时升华课时升华1解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号常用的方法是：绝对值符号常用的方法是：(1)由定义分段讨论由定义分段讨论(简称零点分区间法简称零点分区间法)；(2)利用绝对值不等式的性质利用绝对值不等式的性质(题型法题型法)；(3)平方法；平方法；(4)数形结合法等数形结合法等2解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不

15、等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论注等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论注意：意：(1)要考虑参数的总取值范围；要考虑参数的总取值范围；(2)用同一标准对参数进行用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏划分，做到不重不漏3灵活运用绝对值不等式两个重要性质灵活运用绝对值不等式两个重要性质理理 ，特别关注等号成立的条件，特别关注等号成立的条件.感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考1(2012陕西卷陕西卷)若存在实数若存在实数x使使|xa|x1|3成立，成立，则实数则实数a的取值范围是的取值范围是_解析：解析：|a1|xa|x1|3，解得，解得2a4.答案：答案：2a42(2012天津卷天津卷)已知集合已知集合AxR|x2|3，集，集合合BxR|(xm)(x2)0，且，且AB(1，n)，则，则m_，n_.解析：解析：AxR|x2|3x|5x1，Bx|(xm)(x2)0，又又AB(1，n)，画数轴可知，画数轴可知m1，n1.答案：答案： 11高考预测高考预测1(2012佛山一中期中佛山一中期中)不等式不等式|2x1|x2|的解