理学行列式学习教案

1、会计学1理学理学(lxu)行列式行列式第一页，共84页。2二元线性方程组的求解二元线性方程组的求解(qi ji)(qi ji)（消元法）（消元法）. . a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1)(2)1 1 行列式的概念行列式的概念(ginin)(ginin)背景背景(bijng)：当当021122211aaaa时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解 211222111212112211222111222211,aaaababaxaaaaababx一般形式一般形式也可表示为也可表示为AXb其中其中111211212222,aaxbAXbaaxb第1页/共84页第二页，共8

2、4页。3定义定义(dngy)1.1 二阶行列式二阶行列式1112112212212122aaa aa aaa为了方便表示上述结果为了方便表示上述结果(ji gu)，引入下列定义，引入下列定义（1）等号右边的式子称为行列式的展开式等号右边的式子称为行列式的展开式（2）行列式的计算结果是一个数，称为行列式值。行列式的计算结果是一个数，称为行列式值。（3） 称为行列式的元素称为行列式的元素,右下标表示位置右下标表示位置（4）正确区分矩阵和行列式正确区分矩阵和行列式:矩阵是表矩阵是表,行列式是数行列式是数（5）二阶行列式也可以称为矩阵二阶行列式也可以称为矩阵 的行列的行列 式式ija11122122a

3、aAaa注意注意(zh y)：第2页/共84页第三页，共84页。4,222112112221211aaaaababx 111212211122122,ababxaaaa111221220aaaa 当当 时，有时，有其中，表示分母的行列式称为其中，表示分母的行列式称为(chn wi)系数行列式系数行列式第3页/共84页第四页，共84页。5同样，可以用消元法求解同样，可以用消元法求解(qi ji)三元一次线性方三元一次线性方程组程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3定义定义(dngy)1.211121321

4、2223313233aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 对角线法则(fz)三阶行列式三阶行列式系数系数行列行列式式第4页/共84页第五页，共84页。6 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa当系数当系数(xsh)行行列式列式333231232221131211aaaaaaaaaD ,0时时 相应相应(xingyng)的三元线性方的三元线性方程组程组方程组有唯一方程组有唯一

5、(wi y)解解,11DDx ,22DDx .33DDx 其中其中,3332323222131211aabaabaabD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 第5页/共84页第六页，共84页。7说明说明(shumng)：对角线法则只适用对角线法则只适用(shyng)(shyng)于二阶与三阶行列于二阶与三阶行列式式(1)项数：项数：2阶行列式含阶行列式含2项，项， 3阶行列式含阶行列式含6项项,这恰好这恰好(qiho)就就是是2!, 3!.(2)每项构成每项构成: 2阶和阶和3阶行列式的每项分别是位于阶行列式的每项分别

6、是位于不同行不同列的不同行不同列的2个和个和3个元素的乘积个元素的乘积.(3)各项符号各项符号: 2阶行列式含阶行列式含2项项,其中其中1正正1负负, 3阶阶行列式行列式6项项,3正正3负负.观察二阶行列式和三阶行列式：观察二阶行列式和三阶行列式：思考：四阶及四阶以上的行列式的展开式应该如何？思考：四阶及四阶以上的行列式的展开式应该如何？第6页/共84页第七页，共84页。8例例1 计算计算(j sun)行列式行列式. 542303241D例例2 解方程组解方程组12313231,22,3;xxxxxxx注意注意(zh y)：系数行：系数行列式为列式为111201 .011D 第7页/共84页第

7、八页，共84页。9n !定义定义(dngy(dngy)2.1)2.1由由n n 个不同的数字构成的一个有序数组个不同的数字构成的一个有序数组称为称为(chn(chn wi) wi)这这n n 个数字的一个个数字的一个n n 级排列级排列. .例如例如(lr)：1 2 3 4 55 1 2 3 45 3 2 1 4都是数都是数1 1，2 2，3 3，4 4，5 5构成的一个构成的一个5 5级排列级排列. .自然排列自然排列.按照由小到大的顺序排成的排列称为按照由小到大的顺序排成的排列称为定义定义2.22.22 2 n阶行列式的定义阶行列式的定义一一.排列的逆序数排列的逆序数 注：注：n个数的不同

8、排列有个数的不同排列有个个第8页/共84页第九页，共84页。10在一个在一个(y (y )排列中，若某个较大排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这的数排在某个较小的数前面，就称这个排列有一个个排列有一个(y (y )逆序逆序. .一个排列一个排列(pili)中出现的逆序的中出现的逆序的总数总数12()nk kk定义定义(dngy(dngy)2.3)2.3称为这个排列的称为这个排列的逆序数逆序数，排列排列 12nk kk的的逆序数逆序数通常记为通常记为 例如：排列例如：排列1212的逆序数为的逆序数为 ， 排列排列2121的逆序数为的逆序数为 ， 排列排列231231的的逆序数为的的

9、逆序数为 ， 排列排列213213的逆序数是的逆序数是 。0121第9页/共84页第十页，共84页。11定义定义2.4 2.4 逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列(pili)(pili)称为偶排列称为偶排列(pili)(pili)，逆序数为奇数的排列，逆序数为奇数的排列(pili)(pili)称为奇排列称为奇排列(pili)(pili)。 n 级排列级排列(pili)1 2ni ii的逆序数的逆序数(xsh)的的计算计算小的数的个数小的数的个数后面比后面比数数 11ii小的数的个数小的数的个数后面比后面比数数 22ii 小的数的个数小的数的个数后面比后面比数数 11 nnii或者或者)(21

10、nii i=第10页/共84页第十一页，共84页。12大的数的个数大的数的个数前面比前面比数数 nnii大的数的个数大的数的个数前面比前面比数数 11 nnii 大的数的个数大的数的个数前面比前面比数数 22ii 求排列求排列(pili) 32514 (pili) 32514 的逆序数的逆序数. .例例1例例2 求排列求排列(pili) 453162 (pili) 453162 的逆序数的逆序数. .例例3求排列求排列(pili) 423165 (pili) 423165 的逆序数的逆序数. .)(21niii=思考思考：由上面的例题你还能得到什么方法来计算排列的逆序数？由上面的例题你还能得到

11、什么方法来计算排列的逆序数？第11页/共84页第十二页，共84页。13定义定义(dngy)2(dngy)2.5.5把一个把一个(y (y )排列中的某两个数交换位置，排列中的某两个数交换位置，其余的数不动，这种交换称为一次对换其余的数不动，这种交换称为一次对换. .将相邻的两个数对换将相邻的两个数对换(du hun)(du hun)，称为相邻对换，称为相邻对换(du hun).(du hun).定理定理2.12.1 一次对换，改变排列奇偶性一次对换，改变排列奇偶性证明：（由特殊到一般）证明：（由特殊到一般）思考：思考：对排列进行一次对换，排列的奇偶性是否发生变化？对排列进行一次对换，排列的奇偶

12、性是否发生变化？例：排列例：排列132的逆序数是的逆序数是1，为奇排列。将数，为奇排列。将数1，2做一做一 次次对换变为排列对换变为排列231，其逆序数是，其逆序数是2，为偶排列。，为偶排列。第12页/共84页第十三页，共84页。14ab的逆序数不变的逆序数不变; ;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,1 ,当当 时时，ba 当当 时，时，ba 经对换后经对换后 的逆序数不变，的逆序数不变， 的逆序数减少的逆序数减少1.1.ab因此，一次相邻对换因此，一次相邻对换(du hun)(du hun)，排列改变奇偶性，排列改变奇偶性. .mlbbabaa11对换对换 ，abmlbbbaa

13、a11除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. .b ,a设排列设排列(pili)为为先证相邻先证相邻(xin ln)对换对换,第13页/共84页第十四页，共84页。15所以一个排列所以一个排列(pili)中的任意两个元素对换，排列中的任意两个元素对换，排列(pili)都改变都改变奇偶性奇偶性.次相邻对次相邻对换换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相次相邻对邻对换换12 m,111nmlcacbbbaa次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111nmlccbbbaaa111ab再证一般再证一般(ybn)对换对换设排列设排列(pili)为

14、为nmlcbcbabaa111现来对换现来对换 与与a.b第14页/共84页第十五页，共84页。16定理定理(dngl(dngl)2.2)2.22 n 时，时，n n 个数的所有排列个数的所有排列(pili)(pili)中，奇偶排列中，奇偶排列(pili)(pili)各占一半，各为各占一半，各为 个个. .2!n推论推论(tul(tuln)1n)1偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次对偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次对换改变排列的奇偶性。换改变排列的奇偶性。推论推论2 2任意一个任意一个n 级排列都可以经过一系列对换变成级排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换的次数与该排列有自

15、然排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性相同的奇偶性. .第15页/共84页第十六页，共84页。17三阶三阶(sn ji)行行列式列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明(shumng)：（1）项数与列标排列个数的关系）项数与列标排列个数的关系：三阶行列式三阶行列式共有共有 项，即项，即 项项6!3（2 2）每一项的结构每一项的结构：每项都是位于不同行不同列的三每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积个元素的乘积（3）每项的符号每项的符号： 每项

16、的正负号都取决于位于不同每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自然排列时）然排列时）二二. n阶行列式的定义阶行列式的定义第16页/共84页第十七页，共84页。18例如例如(lr)(lr)322113aaa列标排列列标排列(pili)(pili)的逆序数为的逆序数为 , 211312 322311aaa列标排列列标排列(pili)(pili)的逆序数为的逆序数为 , 101132 偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 1 231231 23111213()212223123()313233( 1)p p

17、 ppppp p paaaaaaa aaaaa因此因此, ,三阶行列式可写成下列形式三阶行列式可写成下列形式第17页/共84页第十八页，共84页。19det().ija记记作作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa由由 个数，组成的一个个数，组成的一个 行行 列的式子，用记号列的式子，用记号2nnnnnnnnnaaaaaaaaa212222111211其展开式为其展开式为表示表示(biosh),称为一个称为一个 阶行列式阶行列式n其中其中(qzhng)，1 2121 2()12()( 1)nnnp ppppnpp ppa aa第18页/共84页第十九页，共84页。20为这个

18、排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中 npppn2121 nnnnpppppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 即即连加号表示连加号表示(biosh)对所有这样的排列求和对所有这样的排列求和第19页/共84页第二十页，共84页。21说明说明(shumng):（1）行列式是一种）行列式是一种(y zhn)特定的算式，它是根据特定的算式，它是根据求解方求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而引入的引入的;（5） 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混

19、淆不要与绝对值记号相混淆;aa !n（6）上式称为）上式称为(chn wi)n阶行列式的完全展开式阶行列式的完全展开式.)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp占一半，行列式是一个数占一半，行列式是一个数;（2） 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和,其中正负项各其中正负项各n（3） 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积个元素的乘积;nn)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp)(21)1- (npppnnpppaaa2121(4)的符号是的符号是第20页/共84

20、页第二十一页，共84页。22行列式的等价行列式的等价(dngji)定义定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1( 第21页/共84页第二十二页，共84页。23例例1 1 在在6 6阶行列式中，下列阶行列式中，下列(xili)(xili)项应带什么符号项应带什么符号. .;651456423123aaaaaa解解:651456423123)1(aaaaaa431265的逆序数的逆序数(xsh)为为012201 , 6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.6514

21、56423123aaaaaa,655642312314aaaaaa651456423123)2(aaaaaa,566514234231aaaaaa342165的逆序数的逆序数(xsh)为为002301 , 6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa思考：上题还有第三种方法吗？思考：上题还有第三种方法吗？第22页/共84页第二十三页，共84页。24例例 2 计算计算4阶行列式阶行列式4443424133323122211100 00 0 0 aaaaaaaaaaD 解：解： 根据定义，根据定义，D是是4！24项的代数和，但每一项的代数和，但每一项的乘积项的乘积

22、中只要有一个元素为中只要有一个元素为0，乘积，乘积就等于就等于0，所以只需展开式中不明显为，所以只需展开式中不明显为0 的项。的项。njjjjaaaa4321321行列式展开式中不为行列式展开式中不为0的项只可能是的项只可能是a11a22a33a44，而列标排列而列标排列(pili)1234的逆序数为的逆序数为0，即此项符号为，即此项符号为正，因此行列式正，因此行列式Da11a22a33a44。 第23页/共84页第二十四页，共84页。25l 主对角线以上的元素全为零（即主对角线以上的元素全为零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为上三角行列式，它等于）的行列式称为上三角行列式，它等于(d

23、ngy)主主对角线上各元素的乘积。对角线上各元素的乘积。 l 行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零（即全为零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为）的行列式称为对角行列式对角行列式，它等于主对角线上元素的乘积。，它等于主对角线上元素的乘积。第24页/共84页第二十五页，共84页。26例例3 证明证明 11121121211 21111 211(),nn nnnnnnnnaaaa aaaaaa 上面的行列式中，未写出的元素都是上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证证: 行列式的值为行列式的值为121121nnjjnjjja aa若乘积若

24、乘积(chngj)非零，非零，j1j2jn只能是排列只能是排列n(n1)2 1， 它的逆序数它的逆序数(xsh)为为 1(1)(2)2 12nnnn 第25页/共84页第二十六页，共84页。27所以所以(suy)行列式的值为行列式的值为 12, 11,21211nnnnnnaaaa 4132231441323123222114131211000000aaaaaaaaaaaaaaD 例如例如(lr)第26页/共84页第二十七页，共84页。28n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明证明(zhngmng)(zhngmng)第27页/共84页第二十八页，共84页。29思考题思

25、考题 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x已知已知第28页/共84页第二十九页，共84页。30思考题解答思考题解答(jid)解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应对应(duyng)于于 4334221112431aaaa 44332211)1234(1aaaa ,1344332211)1234(xaaaa 343342211124321xaaaa . 13 的系数为的系数为故故 x第29页/共84页第三十页，共84页。313 行列式的性质行列式的性质(xngzh) ,212222111211nnnnnnaaaaaaaa

26、aD 112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa 记记行列式行列式DT 称为称为(chn wi)行列式行列式D的转置行列的转置行列式。式。性质性质1 行列式与它的转置行列式与它的转置(zhun zh)行列式行列式相等相等 。证证： 记记 111212122212,nnTnnnnbbbbbbDbbb 即即bijaji (i，j1，2，n) 121 2121nnTjjnjj jjDb bb121 2121nnjjj nj jja aaD第30页/共84页第三十一页，共84页。32性质性质(xngzh)2 互换行列式的两行（列），行列互换行列式的两行（列），行列式变号。式变号。 证证

27、 nnnqnpnnqpnqpaaaaaaaaaaaaD12222111111 交换交换(jiohun)第第p、q两列，得行列式两列，得行列式 nnnpnqnnpqnpqaaaaaaaaaaaaD122221111111 说明：说明： 行列行列(hng li)式中行与列具有同等的地位式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列(hng li)式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第31页/共84页第三十二页，共84页。33对于对于D中任一项中任一项 112121pqniii pi qi na aaaa在在D1中必有对应一项中必有对应一项 212121qpniii

28、 qi pi na aaaa与与 只经过一次对换只经过一次对换nqpiiii1npqiiii11211与与相相差差一一个个符符号号niqipiiinipiqiiinqpnpqaaaaaaaaaa21212121 所以所以(suy)对于对于D中任一项，中任一项，D1中必定有一项与它中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又的符号相反而绝对值相等，又D与与D1的项数相同。的项数相同。 1DD 推论推论(tuln) 若行列式有两行（列）元素对应相等若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。，则行列式为零。 第32页/共84页第三十三页，共84页。34性质性质3 行列式的某一行（列）中所有行列式

29、的某一行（列）中所有(suyu)元元素都乘以同一个数素都乘以同一个数k，等于用数，等于用数k乘以此行列式。乘以此行列式。 性质性质(xngzh)4 行列式中若有两行（列）元素对应成比例，行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。则此行列式为零。 推论推论(tuln) 行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。因子可以提到行列式的外面。nnnininaakakaaaD11111;11111nnnininaaaaaak第33页/共84页第三十四页，共84页。35性质性质5 若行列式的某行（列）的元素若行列式的某行（列）的元素(yun

30、s)都是两个都是两个数之和数之和nnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaaD2122112222111211 则行列式则行列式D等于等于(dngy)下列两个行列式之和：下列两个行列式之和： nnnniniinnnnnniniinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2121222211121121212222111211 例如例如(lr)第34页/共84页第三十五页，共84页。36性质性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另，加到另一行（列）对应一行（列）对应(duyng)的元素上去，行列式的值不变的元素上去，行列式的值不

31、变。 以数以数k乘以第乘以第i行上的元素行上的元素(yun s)加到第加到第j行对应元素行对应元素(yun s)上，有上，有111211112112121211221212()()()nniiiniiinjijjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaarkraaaakaakaakaaaaaaa第35页/共84页第三十六页，共84页。37例例1 计算四阶行列式计算四阶行列式ababaabbbbD000000 解解：ababaabbababaabbbbD2020000000000000 222(4)bab 例例2 计算四阶行列式计算四阶行列式abbbbabbDbbabbbba第

32、36页/共84页第三十七页，共84页。384 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开(zhn ki)定理定理 背景：低阶行列式比高阶行列式计算要简便背景：低阶行列式比高阶行列式计算要简便(jinbin)，能否把高阶行列式转化成低阶行列式，能否把高阶行列式转化成低阶行列式？如何转化？如何转化？以三阶以三阶(sn ji)行列式为例，容易行列式为例，容易验证：验证：333231232221131211aaaaaaaaa3332232211aaaaa3332131221aaaaa-+2322131231aaaaa可知：三阶行列式可以转化为二阶行列式可知：三阶行列式可以转化为二阶行列式第37页/共84

33、页第三十八页，共84页。39则则 Aij叫做叫做(jiozu)元素元素aij的代数余子的代数余子式。式。 显然显然(xinrn)，Aij与行列式中第与行列式中第i行、第行、第j列的元素列的元素无关。无关。 ijjiijMA )1(令令先看下面两个先看下面两个(lin )定义：定义：例如：三阶行列式中元素例如：三阶行列式中元素23221312aaaa31a的余子式的余子式31M=如：三阶行列式中元素如：三阶行列式中元素的代数余子式的代数余子式21a211221) 1 - (MA+=定义定义 设设 ， 划去元素划去元素aij所在的行和列，余所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的（下的元素按其

34、原有的位置构成的（n1）阶行列式叫）阶行列式叫做元素做元素aij的的余子式余子式，记为，记为Mij 。()ijn nAa第38页/共84页第三十九页，共84页。40引理引理 n阶行列式阶行列式D中，如果其中中，如果其中(qzhng)第第i行元素除行元素除aij外全部为零，则行列式等于外全部为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积与它的代数余子式的乘积，即，即DaijAij证证 先证先证i1，j1的情形的情形(qng xing) nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD3232323211)1(3212232221111000 nnnjjjnjjjjjjaaaa3

35、2323232)(111 11111111111111323333222322111AaMaMaaaaaaaaaaannnnnn 第39页/共84页第四十页，共84页。41设设 D 的第的第 i 行除了行除了ija外都是外都是 0 .nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把 D 的第的第i行依次与第行依次与第1 i行，行，第第2 i行，行，第第2行，第行，第1行交换；再将第行交换；再将第j列依次与列依次与第第1 j列列第第2 j列，列，第第2列，第列，第1列交换，这样共经过列交换，这样共经过2)1()1( jiji次交换行与交换列的步骤次交换行与交换列的步骤. 对一般情形，只要适

36、当交换对一般情形，只要适当交换(jiohun)D的行与列的的行与列的位置，即可得到结论。位置，即可得到结论。 第40页/共84页第四十一页，共84页。42得得nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1200)1( ijijjiMa )1(ijijAa=例例1：计算四阶行列式：计算四阶行列式002101-1-321010321第41页/共84页第四十二页，共84页。43定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其(yq)对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即 证证：nnnniniinaaaaaaaaaD21

37、21112110000000 ), 2 , 1( ), 2 , 1( 22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii 或或（按行展开）（按行展开）（按列展开）（按列展开）第42页/共84页第四十三页，共84页。44nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000 .2211ininiiiiAaAaAa nnnninnaaaaaaa211121100 第43页/共84页第四十四页，共84页。45例例 1 计算行列式计算行列式 1320010500134002 D解解 由定理由定理(dngl)3(dngl)3，按第一

38、行展开，按第一行展开 得得 1 11 41003102101041501231023D 86)156(42 也可以按其他也可以按其他(qt)行（或列）展开行（或列）展开说明：利用说明：利用(lyng)上述方法计算行列式也称为降阶法上述方法计算行列式也称为降阶法第44页/共84页第四十五页，共84页。46例例2 计算计算(j sun).621721744354353274274D621100744310053271004D解：解：62117443153271410017802116013271410017821161100)232178(100.5400第45页/共84页第四十六页，共84页。4

39、7例例3 计算行列计算行列式式 (加边法加边法)yyxxD 1111111111111111解解 当当x x0 0 或或y y0 0时，显然时，显然D D0 0， 现假设现假设(jish)x0(jish)x0，且，且y0y0，由定理知，由定理知 1111101111011110111101111xDxyy 22000000000000000011111yxyyxx 111111000100010001000 xxyy 第46页/共84页第四十七页，共84页。48推论推论 行列式一行行列式一行(yxng)(yxng)(列列) )的元素与另一行的元素与另一行(yxng)(yxng)(列列) )的对

40、应元素的代数余子式乘积之和等于零的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, ,即即 )(02211jiAaAaAajninjiji )(02211jiAaAaAanjnijiji 或或证证111111 niinjjnnnnaaaaaaaa1122jjjjjnjna Aa Aa A 第47页/共84页第四十八页，共84页。49当当i j, 将式中将式中ajk换成换成aik(k=1,2,n),可得可得111111 niiniinnnnaaaaaaaa同理可证同理可证02211 njnijijiAaAaAa1122ijijinjna Aa Aa A 0 第48页/共84页第四十九页，共84页。50代数代

41、数(dish)余子式的重要性质余子式的重要性质:10,;nikjkkDija Aij 当当当当10,;nkikjkDija Aij 当当或或当当例例4 已知求求2579123453170274A3132333441424334(1)234(2)234AAAAAMAA第49页/共84页第五十页，共84页。51定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 运算运算(yn sun)性质性质: ;1AAT ;2AkkAn 方阵方阵(fn zhn)的行列式的行列式第

42、50页/共84页第五十一页，共84页。521111111111110mmmmmnnnmnnnaaaaDccbbccbb 设设11111det(),mijmmmaaDaaa,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 下面下面(xi mian)证明证明设设定理定理4 4(),(),ijm mijn nAOAaBbA BCB则则第51页/共84页第五十二页，共84页。53证明证明(zhngmng):1111110;mmmmmpDpppp设设为为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22

43、,DkccDji 1121110.nnnnnqDqqqp设设为为,ijijDmrkrnckcD 对对的的前前行行作作运运算算，再再对对后后列列作作运运算算把把化化为为下下三三角角形形行行列列式式第52页/共84页第五十三页，共84页。5411111111110,mmmmnnmnnnpppDccqccqq 1111mmnnDppqq故故.21DD 推论推论2 设设1(),(),()m nijm mijn nOAAaBbA BBC 则则推论推论1 设设(),(),ijm mijn nACAaBbA BOB则则第53页/共84页第五十四页，共84页。55证明证明(zhngmng):构构造一个行列式造

44、一个行列式nnnnnnnnnbbbbaaaaD111111112110BEA 0A B 对上述行列式作行变换对上述行列式作行变换(binhun)，将第，将第n+1行的行的a11倍倍，第，第n+2行的行的a12倍，倍，第第2n行的行的a1n倍加到第一行，得倍加到第一行，得定理定理5 设设A , B是是 n 阶方阵，则阶方阵，则BAAB 第54页/共84页第五十五页，共84页。5611122121111100000011nnnnnnnnnnccaaDaabbbb 再依次再依次(yc)将第将第n+1行的行的ak1倍倍(k=2,3, ,n)，第，第n+2行行的的ak2倍，倍，第第2n行的行的akn倍加

45、到第倍加到第k行，得行，得第55页/共84页第五十六页，共84页。57111221212111100000011nnnnnnnnnccccDccbbbb 由定理由定理(dngl)4 的推论得的推论得1()n n nABAB 21()n nnDABE 证明证明(zhngmng)完完毕。毕。;ABA BB ABA 注：注：设设A , B是是 n 阶方阵阶方阵, 则则第56页/共84页第五十七页，共84页。58思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素求第一行各元素(yun s)的代数余子式之和的代数余子式之和.11211nAAA 第57页/共84页第五十

46、八页，共84页。59思考题解答思考题解答(jid)解解第一行各元素第一行各元素(yun s)的代数余子式之和可以表示成的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn第58页/共84页第五十九页，共84页。60例例1 1 计算计算5 5 行列式的计算行列式的计算(j sun)(j sun)一、对角线法则一、对角线法则(fz) 此时，要结合行列式的各种性质此时，要结合行列式的各种性质(xngzh)，加以简化计算。加以简化计算。二、化为三角形行列式二、化为三角形行列式axaaaaaxaaaaaxaaaaaxD 122nxnaxa () ()第59

47、页/共84页第六十页，共84页。61baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn 32132132132111312 rrrrrrn bbbbbbaaaban 000000321nccc 21例例2 2 计算计算bbbaaabaaann 000000000)(3221121)()( nnbbaaa第60页/共84页第六十一页，共84页。62例例3 3证明证明(zhngmng)(zhngmng)范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD三、数学三、数学(shxu)归

48、纳法归纳法 证明证明(zhn(zhngmnggmng) )用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx (1)(1)当当n=2=2时时, ,结论成立结论成立. ., )(12 jijixx第61页/共84页第六十二页，共84页。63(2) (2) 设对设对n n1 1阶范德蒙德行列式结论阶范德蒙德行列式结论(jiln)(jiln)成立成立，来证对，来证对n n阶范德蒙德行列式结论阶范德蒙德行列式结论(jiln)(jiln)也成立也成立. .112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211 nnrxr112rxr )()()(0)()()(00111

49、11213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn 第62页/共84页第六十三页，共84页。64,)(11提出提出因子因子列展开，并把每列的公列展开，并把每列的公按第按第xxi 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1-1阶阶范德蒙德范德蒙德行列式行列式)()()(211312jjininxxxxxxxx ).(1jjinixx 证毕证毕.有的行列式可以有的行列式可以(ky)利用范德蒙行列式的结论进行计算利用范德蒙行列式的结论进行计算例例4 4 计算计算(j (j sun)sun)222ab

50、cDabcbccaab 第63页/共84页第六十四页，共84页。65例例5计算计算(j sun).333222111222nnnDnnnn 222333nn312n312n312n312nnDn 2221111111312312312!nnnnnnn 第64页/共84页第六十五页，共84页。661!()!(21)(3 1)(1)(32)(42)(2)(1)!(1)!(2)!2!1!.nijn ijnDnnnnnn nnxx 例例6证明证明(zhngmng).coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 第65页/共84页第六十六页，共84页。67证明证明

51、(zhngmng):对阶数对阶数n用数学用数学(shxu)归归纳法。纳法。2212121221coscos,coscos,.( )nD 当当时时 结结论论成成立立2( ),.,nnnD假假设设对对阶阶数数小小于于 的的行行列列式式结结论论成成立立 下下证证对对于于阶阶数数等等于于 的的行行列列式式也也成成立立 现现将将按按最最后后一一行行展展开开 得得.cos221DDDnnn 212 ()()n-1nDcos n,Dcos n, 第66页/共84页第六十七页，共84页。68;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .结论成立结论成立所以对一切自

52、然数所以对一切自然数 n四、降阶递推法四、降阶递推法例例7 7 计算计算dcdcdcbababaDn 20000方法方法(fngf):降阶找递推公式降阶找递推公式.第67页/共84页第六十八页，共84页。69解解 按第按第1 1行展开行展开(zhn ki),(zhn ki),有有ddcdcbabaaDn00002 0000)1(12cdcdcbababn )1(2)1(2 nnbcDadD)1(2)( nDbcad第68页/共84页第六十九页，共84页。70递推公式递推公式(gngsh)2nD )1(21)( nDbcad)2(22)( nDbcad 121)( Dbcadn21)(Dbcad

53、n nbcad)( 例例8 81011nD, , 第69页/共84页第七十页，共84页。71 1nnDD11101 n 21)( nnDD )(211 nnnnDDDD )(322 nnDD )(122DDn 解解,)(22 D 1DnnnDD 1(1)121 nnnDD (2)212 DD(n-1)第70页/共84页第七十一页，共84页。722222111 nnnnnnDD)1()3()2()1(22 nn ).(122221 nnnnnnD五、加边升阶五、加边升阶(shn ji) 法法121212111nnnnaaaaaaDaaa 例例9 9 计算计算(j sun)(j sun)第71页/共84页第七十二页，共84页。731212121211010101nnnnnnaaaaaaaaaDaaa 1211110010101001nnaaa 12111010000100001nininaaaa 11niia 第72页/共84页第七十三页，共84页。74122221212111111111nnnnnnnxxxxxxDxxx 例例10 10 计算计算(j su