物理化学实验讲座2

1、玉溪师范学院玉溪师范学院间接测量结果的误差间接测量结果的误差实验数据的表示法实验数据的表示法列表法列表法作图法作图法最小二乘法最小二乘法平均值法平均值法开始上课开始上课间接测量结间接测量结果的误差果的误差设直接测量的数据分别为设直接测量的数据分别为x、y，最后测量结果，最后测量结果为为u，其函数关系为：，其函数关系为：u = f（x，y）平均误差平均误差设直接测量数据的误差分别为设直接测量数据的误差分别为dx、dy，测量结，测量结果的误差为果的误差为du。则：。则：du = dx + dydfdxydfdyx标准误差标准误差设直接测量数据的标准误差分别为设直接测量数据的标准误差分别为x、 y，

2、测，测量结果的误差为量结果的误差为u。则：。则：u = x2 + y2dfdxydfdyx22du = dx + dydfdxydfdyx考虑到最不利的情况考虑到最不利的情况各正、负各正、负误差不能相互抵消，并引起误差误差不能相互抵消，并引起误差累积。累积。例某学生用蒸气密度法测量某学生用蒸气密度法测量CCl4的相对分子质量，得到如的相对分子质量，得到如下结果。下结果。温度温度T/ 质量质量W1/g 质量质量W2/g 气压气压P/atm 体积体积 V/L 96 1 35.31 35.30.1 34.10.1 34.10.1 0.8300.1 0.8300.005 0.2840.005 0.28

3、40.0020.002求测量结果的误差。求测量结果的误差。求平均误差求平均误差 MCCl4= RT(W1- -W2) PVdMdT =R(W1- -W2)PV = 0.42dMdW1 = - -RTPV = 128dMdW2 =dMdP = - -RT(W1- -W2) P2V = - -186dMdV = - -RT(W1- -W2) PV2 = - -543测量结果的平均误差测量结果的平均误差M = 28测量结果测量结果MCCl4=154 28du = dx + dydfdxydfdyx求标准误差求标准误差u = x2 + y2dfdxydfdyx22dMdT 2 = 0.422 = 0.

4、18dMdW1 = = 1282 = 1.64104dMdW2 2 2dMdP =（- -186）= 3.46104 2 2dMdV =（- -543）= 2.95105 2 2T2 = 12 =1W12 = W22 = 0.01P2 = 2.510- -5V2 = 410- -6M = 18测量结果的标准误差测量结果的标准误差测量结果测量结果MCCl4=154 18实验数据的实验数据的表示法表示法列表法列表法列表法是常见的实验数据表示法之一。用列表列表法是常见的实验数据表示法之一。用列表法表示实验数据时应注意：法表示实验数据时应注意：表格应有简明完备的名称表格应有简明完备的名称表中每一列（行

5、）应有详细的名称、单位、因次表中每一列（行）应有详细的名称、单位、因次表中数字的排列要整齐，位数、小数点对齐表中数字的排列要整齐，位数、小数点对齐表中数字的有效位数合理表中数字的有效位数合理例某学生测量丙酮沸点与其蒸气压的关系得到如下数据：某学生测量丙酮沸点与其蒸气压的关系得到如下数据：测量序号测量序号 温度温度 1/T103 压强压强 lgP i T/K (1/K) P/Pa 1 276.7 3.614 3.045 2 291.2 3.434 3.346 3 307.2 3.255 3.647 4 313.1 3.194 3.748 5 318.5 3.140 3.836 6 323.1 3

6、.095 3.908 7 326.8 3.060 3.963作图法作图法作图法是常见的实验数据表示法之一。用作图法表作图法是常见的实验数据表示法之一。用作图法表示实验数据时应注意：示实验数据时应注意：坐标纸的选择坐标纸的选择常见的坐标纸有：直角坐标纸、三角坐标纸、对数常见的坐标纸有：直角坐标纸、三角坐标纸、对数坐标纸和半对数坐标纸。最常用的是直角坐标纸。坐标纸和半对数坐标纸。最常用的是直角坐标纸。直角坐标纸直角坐标纸坐标比例尺的选择坐标比例尺的选择坐标比例尺的选择，要注意以下两条基本规则：坐标比例尺的选择，要注意以下两条基本规则：坐标比例尺的选择是作图法的关键。若比例尺的选择不坐标比例尺的选择

7、是作图法的关键。若比例尺的选择不当，有可能得出错误的结论。当，有可能得出错误的结论。必须能表示出全部的有效数字，使作图法中求得结果必须能表示出全部的有效数字，使作图法中求得结果的准确度与测量值的准确度相适应。的准确度与测量值的准确度相适应。为了便于迅速地读数和计算，坐标图中每小格所对应为了便于迅速地读数和计算，坐标图中每小格所对应的数值一般取的数值一般取1、2、5等，切忌取等，切忌取3、7、9等。等。例某学生测量某物理量某学生测量某物理量x与与y的关系得到如下数据。根据数据的关系得到如下数据。根据数据作作x与与y的关系的关系测量序号测量序号 x y 1 1.0 6.0 2 1.5 6.1 3

8、2.0 6.0 4 2.5 5.8 5 3.0 5.9 6 3.5 6.2 7 4.0 5.81.02.03.04.0yx5.56.06.5图图1 x与与y为直线关系为直线关系5.86.06.2图图2 x与与y为曲线关系为曲线关系lgPT1103作图的基本方法作图的基本方法根据数据关系选择坐标纸、确定函数坐标根据数据关系选择坐标纸、确定函数坐标例某学生测量丙酮沸点与其蒸气压的关系得到如下数据：某学生测量丙酮沸点与其蒸气压的关系得到如下数据：测量序号测量序号 温度温度 1/T103(1/K) 压强压强 lgP i T/K P/Pa 1 3.614 3.045 2 3.434 3.346 3 3.

9、255 3.647 4 3.194 3.748 5 3.140 3.836 6 3.095 3.908 7 3.060 3.963根据数据及其误差大小确定比例尺数值根据数据及其误差大小确定比例尺数值描绘数据点，用平滑曲线连接数据点描绘数据点，用平滑曲线连接数据点3.003.103.203.303.403.503.603.203.403.603.80lgPT11033.003.103.203.303.403.503.603.203.403.603.80（3.545，3.140）（3.150，3.800）截距截距a = y bx = 9.063 斜率斜率b= = - -1.67110- -3y2-

10、 -y1x2- -x1课间休息平均值法平均值法平均值法是数学方程式法表示实验数据、求解方程式平均值法是数学方程式法表示实验数据、求解方程式常数的常用方法之一。该方法的操作步骤为：常数的常用方法之一。该方法的操作步骤为：将实验中各变量（数据）间的关系用函数形式表示将实验中各变量（数据）间的关系用函数形式表示y = f（x，z，）为了使寻求方程式中的常数方便，常将上述函数关系直线化。为了使寻求方程式中的常数方便，常将上述函数关系直线化。y = a + bx + cx2 +依据实验各组数据将其分为两组方程式依据实验各组数据将其分为两组方程式yi = a + bxiyj = a + bxj（对于直线方

11、程（对于直线方程y = a + bx）(a + bxi - - yi ） = 0依据各组测量结果的依据各组测量结果的“残差残差”之和为零之和为零，将两组方程式，将两组方程式各自相加得两个方程（联立）各自相加得两个方程（联立）（a + bxj yj ） = 0（i i j）解此联立方程，即可求得解此联立方程，即可求得a、b值，将值，将a、b值代入便可得值代入便可得出具体的函数关系。出具体的函数关系。y = a + bx例以某生测量丙酮沸点与其蒸气压关系的实验数据为例；以某生测量丙酮沸点与其蒸气压关系的实验数据为例；测量序号测量序号 温度温度 1/T103(1/K) 压强压强 lgP i T/K

12、P/Pa 1 3.614 3.045 2 3.434 3.346 3 3.255 3.647 4 3.194 3.748 5 3.140 3.836 6 3.095 3.908 7 3.060 3.963方程组方程组1（y = lgP； x = 1/T103 ）y = a + bx方程组方程组2a + 3.614b 3.045 = 0a + 3.434b 3.346 = 0a + 3.255b 3.647 = 0+）3a + 10.303b 10.038 = 0a + 3.194b 3.748 = 0a + 3.140b 3.836 = 0a + 3.095b 3.908 = 0+）a + 3

13、.060b 3.963 = 04a + 12.489b 15.455 = 03a + 10.303b 10.038 = 04a + 12.489b 15.455 = 0解解a = 9.099b = - -1.671则：则： lgP = 9.047 1.660 10- -31T最小二乘法最小二乘法基本原基本原理理最小二乘法是数学方程式法表示实验数据、求解方程最小二乘法是数学方程式法表示实验数据、求解方程式常数的常用方法之一，该方法的结果较为可靠。式常数的常用方法之一，该方法的结果较为可靠。各组测量结果各组测量结果 “残差残差”的平方和为最小的平方和为最小。(a + bxi ) - - yi2 =

14、 最小最小( ) = na2+2abxi 2a ay yi2b bxi y yi +b+b2xi2+yi2 要使为要使为“”极小的必要条件为：极小的必要条件为： d da d db= 2na+2bxi 2y yi = 0= 2axi 2xi y yi +2b+2bxi2 = 0解此联立方程得：解此联立方程得：a = b = nxi2 (xi )2 xi2 y yi xi xi y yi nxi2 (xi )2 nxiy yi xi y yi 例以某生测量丙酮沸点与其蒸气压关系的实验数据为例：以某生测量丙酮沸点与其蒸气压关系的实验数据为例：a = b = nxi2 (xi )2 xi2 y yi

15、 xi xi y yi nxi2 (xi )2 nxiy yi xi y yi = 9.037= 1.657 10- -3则：则： lgP = 9.037 1.65710- -31T序号序号 1/T103 xi2 106 lgP xi yi 103 yi2 i (1/K) 1 3.614 13.06 3.045 11.00 9.272 2 3.434 11.79 3.346 11.49 11.20 3 3.255 10.60 3.647 11.87 13.30 4 3.194 10.20 3.748 11.97 14.05 5 3.140 9.860 3.836 12.05 14.71 6 3

16、.095 9.579 3.908 12.10 15.27 7 3.060 9.364 3.963 12.13 15.71（y = lgP； x = 1/T ）y = a + bx 22.792 74.45 25.493 82.61 93.51平均值法与平均值法与最小二乘法最小二乘法间的比较间的比较现仍以某学生测量丙酮沸点与其蒸气压的关现仍以某学生测量丙酮沸点与其蒸气压的关系所得结果为例。系所得结果为例。测量序号测量序号 1/T103 lgP ( a+bxi-yi ) i (1/K) 作图法作图法 平均值法平均值法 最小二乘法最小二乘法 1 3.614 3.045 +0.003 +0.004 2

17、 3.434 3.346 +0.001 +0.001 3 3.255 3.647 - -0.003 - -0.003 4 3.194 3.748 - -0.003 - -0.003 5 3.140 3.836 - -0.001 - -0.002 6 3.095 3.908 +0.001 +0.001 7 3.060 3.963 +0.004 +0.004 =0.016 = 0.018用作图法求解所得结果准确度与作图者的熟练情况有关；平均用作图法求解所得结果准确度与作图者的熟练情况有关；平均值法与最小二乘法在数据偏差不太大、数据较少的情况下，差值法与最小二乘法在数据偏差不太大、数据较少的情况下，差别不大。别不大。问题讨论某学生在常压下测得碳氢化合