电力系统静态安全分析(20150612)

1、2022年6月19日星期日电力系统静态安全分析电力系统静态安全分析一、概述一、概述 二、潮流计算二、潮流计算三、静态等值三、静态等值四、预想事故评定四、预想事故评定五、安全控制策略五、安全控制策略2022年6月19日星期日目录目录一、概述一、概述 静态安全分析的目的和含义静态安全分析的目的和含义 电力系统运行状态及转换电力系统运行状态及转换 能量管理系统能量管理系统2022年6月19日星期日主要内容（主要内容（1）二、潮流计算二、潮流计算潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型潮流计算的基本方法潮流计算的基本方法 高斯高斯-赛德尔法，牛顿赛德尔法，牛顿-拉夫逊法，拉夫逊法，P-Q分解法分解

2、法直流法潮流计算直流法潮流计算保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法灵敏度分析灵敏度分析2022年6月19日星期日主要内容（主要内容（2）三、静态等值三、静态等值等值的作用和本质等值的作用和本质 WARD等值、等值、REI等值等值2022年6月19日星期日主要内容（主要内容（3）四、预想事故评定四、预想事故评定支路开断模拟：直流法、补偿法、灵敏度分析法支路开断模拟：直流法、补偿法、灵敏度分析法发电机开断模拟：直流法、静态频率特性法发电机开断模拟：直流法、静态频率特性法预想事故自动选择预想事故自动选择2022年6月19日星期日主要内容（主要内容（4）五、安全控制策略五、安全控制策略预防控制：最优潮

3、流预防控制：最优潮流校正控制校正控制紧急控制紧急控制2022年6月19日星期日主要内容（主要内容（5）参考书参考书 现代电力系统分析现代电力系统分析王锡凡王锡凡 主编主编电力系统稳态分析电力系统稳态分析陈珩陈珩 主编主编 电力系统状态估计电力系统状态估计于尔铿于尔铿 主编主编 电力系统静态安全分析电力系统静态安全分析吴际舜吴际舜高等电力网分析高等电力网分析 张伯明张伯明 电力系统故障分析电力系统故障分析刘万顺刘万顺参考书参考书 1、电力系统静态安全分析、电力系统静态安全分析 吴际舜吴际舜2、电力系统安全分析与控制、电力系统安全分析与控制 邹森邹森3、电力系统分析（上）、电力系统分析（上） 诸俊

4、伟诸俊伟4、高等电力网络分析、高等电力网络分析 张伯明张伯明5、现代电力系统分析、现代电力系统分析 王锡凡王锡凡6、中国期刊网上的文献、中国期刊网上的文献教材电子版下载地址：百度云盘教材电子版下载地址：百度云盘账号：账号：ee_密码：密码：nedu1234刘万顺刘万顺n随着系统总容量的增加，网络的不断扩大，系统出现故障的随着系统总容量的增加，网络的不断扩大，系统出现故障的可能性也日趋增加可能性也日趋增加。最终导致用户供电中断。最终导致用户供电中断。n为保证供电持续性，要求系统安全可靠。为保证供电持续性，要求系统安全可靠。n可靠性：在互连系统可靠性：在互连系统规划设计规划设计方面，当出现故障，系

5、统方面，当出现故障，系统保证对负荷持续供电的能力。是一个保证对负荷持续供电的能力。是一个长时间长时间的概念。的概念。n安全性：在互连系统的安全性：在互连系统的运行运行方面，当出现故障，保证对方面，当出现故障，保证对负荷持续供电的能力。是负荷持续供电的能力。是时变的或瞬时性时变的或瞬时性问题。问题。 60年代中期的年代中期的大停电事故大停电事故促进了安全分析进展促进了安全分析进展l1965年11月9日 美国东北部大停电 损失25000MW，停电13hl1967年6月5日 美国PJM系统大停电 损失10000MW，停电12h输电线路过负荷，导致连锁跳闸！输电线路过负荷，导致连锁跳闸！n安全分析的目

6、的：提高系统安全性。安全分析的目的：提高系统安全性。n必须从系统规划、系统调度操作、系统维修等必须从系统规划、系统调度操作、系统维修等方面统一考虑，最终体现在方面统一考虑，最终体现在系统运行条件系统运行条件上。上。n电力系统运行条件用四种状态来描述：电力系统运行条件用四种状态来描述：n安全正常状态安全正常状态n不安全正常状态不安全正常状态n紧急状态紧急状态n恢复状态恢复状态n对安全的解释，在实用中更确切地用正常供电对安全的解释，在实用中更确切地用正常供电情况下，是否能保持潮流及电压模值等在允许情况下，是否能保持潮流及电压模值等在允许的范围以内表示。的范围以内表示。 等式的约束形式：等式的约束形

7、式：g(x)=0.式中：式中：x为系统运行的状态量。可以认为是功为系统运行的状态量。可以认为是功率平衡。率平衡。 n在具有合格电能质量的条件下，有关设备的运行状在具有合格电能质量的条件下，有关设备的运行状态应处于其运行限值以内，即没有过负荷。态应处于其运行限值以内，即没有过负荷。 即即：UiminUiUimax PkminPiPkmax QkminQiQkmax 也可写成：也可写成：h(x) 0n综上所述：电力系统正常运行时应同时满足等式和综上所述：电力系统正常运行时应同时满足等式和不等式两种约束条件。这时处于运行的不等式两种约束条件。这时处于运行的正常状态正常状态。n正常状态正常状态的电力系

8、统可分为安全正常状态与不安的电力系统可分为安全正常状态与不安全正常状态。全正常状态。n已处于正常状态的电力系统，在承受一个合理的预想事故集已处于正常状态的电力系统，在承受一个合理的预想事故集（contingency set）的扰动之后，如果仍不违反等约束及不）的扰动之后，如果仍不违反等约束及不等约束，则该系统处于等约束，则该系统处于安全正常状态安全正常状态。n如果运行在正常状态下的电力系统，在承受规定预想事故集如果运行在正常状态下的电力系统，在承受规定预想事故集的扰动过程中，只要有一个预想事故使得系统不满足运行不的扰动过程中，只要有一个预想事故使得系统不满足运行不等式约束条件，就称该系统处于等

9、式约束条件，就称该系统处于不安全正常状态。不安全正常状态。n预防控制预防控制：使系统从：使系统从不安全正常状态不安全正常状态转变到转变到安全安全正常状态正常状态的控制手段。的控制手段。n电力系统安全分析就是应用预想事故分析的方电力系统安全分析就是应用预想事故分析的方法来预见知道系统是否存在隐患，即处于不安法来预见知道系统是否存在隐患，即处于不安全正常状态，采取相应的措施使之恢复到安全全正常状态，采取相应的措施使之恢复到安全正常状态。正常状态。n静态安全分析：用来判断在发生预想事故后系静态安全分析：用来判断在发生预想事故后系统是否会发生过负荷或电压越限等。统是否会发生过负荷或电压越限等。n暂态安

10、全分析：判断系统是否会失稳。暂态安全分析：判断系统是否会失稳。n紧急状态紧急状态：运行在只满足等式约束条件但不满：运行在只满足等式约束条件但不满足不等式的状态。足不等式的状态。n持久性的紧急状态：没有失去稳定性质，可通持久性的紧急状态：没有失去稳定性质，可通过过校正控制校正控制使之回到使之回到安全状态安全状态。n稳定性的紧急状态：可能失去稳定的紧急状态稳定性的紧急状态：可能失去稳定的紧急状态。通过。通过紧急控制紧急控制到到恢复状态恢复状态。n紧急控制一般包括甩负荷，切机，解列控制。紧急控制一般包括甩负荷，切机，解列控制。n系统经紧急控制后回到系统经紧急控制后回到恢复状态恢复状态，此时系统可能不

11、，此时系统可能不满足等式约束，而满足不等式约束，或一部分满足满足等式约束，而满足不等式约束，或一部分满足约束，另一部分不满足。约束，另一部分不满足。n对处于恢复状态的系统，一般通过对处于恢复状态的系统，一般通过恢复控制恢复控制使之进使之进入正常状态。入正常状态。n恢复控制是指系统发生故障，部分负荷停电甚至处恢复控制是指系统发生故障，部分负荷停电甚至处于解列状态乃至全网停电后，在尽量少的时间内，于解列状态乃至全网停电后，在尽量少的时间内，最大限度地恢复系统至新的正常运行状态的控制过最大限度地恢复系统至新的正常运行状态的控制过程。在数学上被描述为一个程。在数学上被描述为一个多目标、多阶段、非线多目

12、标、多阶段、非线性、并带多个约束条件的组合优化问题性、并带多个约束条件的组合优化问题。智能技术。智能技术、数值优化算法与传统控制方法的结合是解决恢复、数值优化算法与传统控制方法的结合是解决恢复控制问题的主要手段。控制问题的主要手段。版权所有n 包括包括SCADA、安全监控及其它调度管理与计划的、安全监控及其它调度管理与计划的功能系统。功能系统。基础：基础：SCADA、状态估计、安全分析、状态估计、安全分析运行控制：自动发电控制、负荷控制、电压控运行控制：自动发电控制、负荷控制、电压控制、调度员培训仿真等。制、调度员培训仿真等。电能管理：发电计划、经济调度、负荷预测、电能管理：发电计划、经济调度

13、、负荷预测、电能交易评估、运行规划等。电能交易评估、运行规划等。二、潮流计算二、潮流计算2022年6月19日星期日 电力系统潮流计算是研究电力系统稳电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的基本电气计算。态运行情况的基本电气计算。第一节第一节 概述概述n电力系统常规潮流计算：根据给定的电力系统常规潮流计算：根据给定的网络结构及运行条件，求出整个网络网络结构及运行条件，求出整个网络的运行状态。的运行状态。n运行状态包括：母线的电压、网络中运行状态包括：母线的电压、网络中的功率分布及功率损耗等。的功率分布及功率损耗等。离线计算离线计算: :规划设计规划设计; ;运行方式分析运行方式分析; ;其他

14、其他计算的配合计算的配合在线计算在线计算: :安全监控和安全分析安全监控和安全分析潮流计算是电力系统中应用最为广泛、潮流计算是电力系统中应用最为广泛、最基本和最重要的一种电气计算。最基本和最重要的一种电气计算。潮流计算的应用场合潮流计算的应用场合 潮流计算问题在数学上属于潮流计算问题在数学上属于多元非线多元非线性代数方程组的求解问题性代数方程组的求解问题，需要采用迭，需要采用迭代计算方法进行求解。代计算方法进行求解。 2020世纪世纪5050年代中期起，电力系统潮流年代中期起，电力系统潮流计算的研究就是如何使用电子计算机计计算的研究就是如何使用电子计算机计算电力系统的潮流问题。算电力系统的潮流

15、问题。 潮流计算的本质潮流计算的本质 对于潮流算法，其基本要求可归纳成对于潮流算法，其基本要求可归纳成以下四个方面：以下四个方面： （1 1）计算速度；）计算速度； （2 2）计算机内存占用量；）计算机内存占用量； （3 3）算法的收敛可靠性；）算法的收敛可靠性； （4 4）程序设计的方便性以及算法扩充）程序设计的方便性以及算法扩充移植等的灵活通用性。移植等的灵活通用性。潮流计算的基本要求潮流计算的基本要求 电力系统由发电机、变压器、输电线路电力系统由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成。及负荷等组成。 进行潮流计算时，发电机和负荷一般可进行潮流计算时，发电机和负荷一般可用接在相应节点上的一个

16、用接在相应节点上的一个电流注入量电流注入量表示。表示。 电力网络中的变压器、输电线路、电容电力网络中的变压器、输电线路、电容器、电抗器等元件可用集中参数表示的由线器、电抗器等元件可用集中参数表示的由线性电阻、电抗构成的等值电路模拟。性电阻、电抗构成的等值电路模拟。 第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 对这样的线性网络一般采用节点电压对这样的线性网络一般采用节点电压法进行分析。节点电压与节点注入电流法进行分析。节点电压与节点注入电流之间的关系为之间的关系为: :或或第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 IUYIZU式中：式中：nY是导纳矩阵，对角元是

17、节是导纳矩阵，对角元是节点点i的自导纳，非对角元是的自导纳，非对角元是节点间的互导纳。节点间的互导纳。1122 , U nnUIIUIIU.111212122212nnnnnnYYYYYYYYYY 分别是节点注入电流列分别是节点注入电流列向量及节点电压列向量向量及节点电压列向量第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 展开为展开为或或第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 niIUYinjjij, 2 , 11niIZUnjjiji, 2 , 11 在实际中，已知的节点注入量往往不在实际中，已知的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此用节点是节点电流

18、而是节点功率，为此用节点功率代替节点电流功率代替节点电流, ,得得 (1-6) 或或 (1-7) 第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 niUjQPUYiiinjjij, 2 , 11niUjQPZUnjjjjiji, 2 , 11 上两式是潮流计算问题的基本方程式上两式是潮流计算问题的基本方程式，是一个以节点电压为变量的非线性代，是一个以节点电压为变量的非线性代数方程组。而数方程组。而采用节点功率作为节点注采用节点功率作为节点注入量是造成方程组呈非线性的根本原因入量是造成方程组呈非线性的根本原因。由于方程组为非线性的，因此必须采。由于方程组为非线性的，因此必须采用迭代方

19、法进行数值求解。用迭代方法进行数值求解。 根据对方程组的不同处理方式，形成根据对方程组的不同处理方式，形成了不同的潮流算法。了不同的潮流算法。第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 对于电力系统中的每个节点，需要对于电力系统中的每个节点，需要P、Q 、U和相角四个变量才能确定其运和相角四个变量才能确定其运行状态。行状态。n个节点总共有个节点总共有4n个运行变量个运行变量。而基本方程式只有。而基本方程式只有n个个,将实部与虚部将实部与虚部分开，则形成分开，则形成2n个实数方程式，仅可解个实数方程式，仅可解得得2n个未知运行变量。必须将另外个未知运行变量。必须将另外2n个个变量

20、作为已知量而预先给定。也即对变量作为已知量而预先给定。也即对每每个节点，要给定两个变量为已知条件，个节点，要给定两个变量为已知条件，而另两个变量作为待求量。而另两个变量作为待求量。第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 根据电力系统的实际运行条件，按照根据电力系统的实际运行条件，按照预先给定的变量的不同，电力系统的节预先给定的变量的不同，电力系统的节点可分成点可分成PQPQ节点、节点、PVPV节点及平衡节点节点及平衡节点三三种类型。种类型。 对平衡节点来说，其对平衡节点来说，其电压相角一般作电压相角一般作为系统电压相角的基准为系统电压相角的基准。 第二节第二节 潮流计算问题

21、的数学模型潮流计算问题的数学模型 交流电力系统中的复数电压变量可交流电力系统中的复数电压变量可以用两种坐标形式表示以用两种坐标形式表示或或 而复数导纳为而复数导纳为第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 jiieUUiiijfeUijijijjBGY 将以上三式代入以导纳矩阵为基础的将以上三式代入以导纳矩阵为基础的式式(1-6)(1-6)，并将实部与虚部分开，可得，并将实部与虚部分开，可得到两种形式的潮流方程。到两种形式的潮流方程。第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 直角坐标形式直角坐标形式 (1-11) (1-12)极坐标形式极坐标形式 (1-13

22、) (1-14) 第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 nieBfGffBeGePijijjijjijijijjijii, 2 , 1)()(nieBfGefBeGfQijijjijjijijijjijii, 2 , 1)()(niBGUUPijijijijijjii, 2 , 1)sincos(sincos)1,2,iijijijijijj iQUUGBin 若以若以p、u、x分别表示扰动变量、控制分别表示扰动变量、控制变量、状态变量，则潮流方程可以用更变量、状态变量，则潮流方程可以用更简洁的方式表示为简洁的方式表示为 (1-15)(1-15) 根据式根据式(1-15)

23、(1-15)，潮流计算的含义就是，潮流计算的含义就是针对某个扰动变量针对某个扰动变量p p，根据给定的控制变，根据给定的控制变量量u u，求出相应的状态变量，求出相应的状态变量x x。第二节第二节 潮流计算问题的数学模型潮流计算问题的数学模型 0),(puxf一一 高斯高斯- -塞德尔法塞德尔法 以导纳矩阵为基础，并应用高斯以导纳矩阵为基础，并应用高斯- -塞塞德尔迭代的算法是电力系统应用德尔迭代的算法是电力系统应用最早最早的的潮流计算方法。潮流计算方法。 第三节第三节 潮流计算的基本方法潮流计算的基本方法 已知方程组已知方程组用高斯用高斯- -塞德尔求解（塞德尔求解（0.010.01）。）。

24、 解：（解：（1 1）将方程组）将方程组改写成迭代公式：改写成迭代公式：（2 2）设初值）设初值 ；代入上述迭代公式；代入上述迭代公式(1)( )( )112(1)( )( )21221331233kkkkkkxxxxxx (0)(0)120 xx直到直到|x(k+1)-x(k)| 7737.04815.0)2(2)2(1xx8167.05817.0)3(2)3(1xx6667.003333.0032)1(231)1(1xx三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法1122123210320 xx xxx x 讨论电力系统中除讨论电力系统中除1 1个平衡节点外，其个平衡节点外，其余都是余

25、都是PQPQ节点的情况。节点的情况。 由式由式(1-6)(1-6)可得可得 (1-16)(1-16) 式中：式中： 、 为已知的节点注入有功、无为已知的节点注入有功、无功功率。功功率。第三节第三节 潮流计算的基本方法潮流计算的基本方法 niUYUjQPYUnijjjijiiiiii, 2 , 111iPiQ 假定节点假定节点l l为平衡节点，其给定电压为为平衡节点，其给定电压为 。平衡节点不参加迭代。于是对应于这。平衡节点不参加迭代。于是对应于这种情况的高斯种情况的高斯- -塞德尔迭代格式为塞德尔迭代格式为 (1-17)(1-17) 上式是该算法最基本的迭代计算公式上式是该算法最基本的迭代计算

26、公式。 其迭代收敛的判据是其迭代收敛的判据是 第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 sU111(1)( )1121( )1(2,3,inkskkiiiiijiijijj ikiiiPjQUY UY UY UinYU kikiiUU1max 本算法的突出优点是原理简单，程序设本算法的突出优点是原理简单，程序设计容易。导纳矩阵对称且高度稀疏，因计容易。导纳矩阵对称且高度稀疏，因此占用内存非常节省。此占用内存非常节省。 该算法的主要缺点是收敛速度慢。该算法的主要缺点是收敛速度慢。由于各节点电压在数学上松散耦合，所由于各节点电压在数学上松散耦合，所以节点电压向精确值的接近非常缓慢

27、。以节点电压向精确值的接近非常缓慢。另外，算法的迭代次数随着网络节点数另外，算法的迭代次数随着网络节点数的增加而上升，因此在用于较大规模电的增加而上升，因此在用于较大规模电力系统的潮流计算时，速度显得非常缓力系统的潮流计算时，速度显得非常缓慢。慢。第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 为提高算法收敛速度，常用的方法是为提高算法收敛速度，常用的方法是在迭代过程中加入加速因子在迭代过程中加入加速因子 ，即取，即取 式中：式中： 是通过式是通过式(1-17)(1-17)求得的节点求得的节点i i电压的第电压的第k+1k+1次迭代值；次迭代值； 是修正后是修正后节点节点i i电压

28、的第电压的第k+1k+1次迭代值；次迭代值； 为加速为加速因子，一般取因子，一般取 。第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 kikikikiUUUU111 kiU1kiU21 对于具有下述所谓病态条件的系统，高对于具有下述所谓病态条件的系统，高斯斯- -塞德尔迭代法往往会发生收敛困难：塞德尔迭代法往往会发生收敛困难： (l)(l)节点间相位角差很大的重负荷系统；节点间相位角差很大的重负荷系统； (2)(2)包含有负电抗支路（如某些三绕组变包含有负电抗支路（如某些三绕组变压器或线路串联电容等）的系统；压器或线路串联电容等）的系统； (3)(3)具有较长的辐射形线路的系统；具

29、有较长的辐射形线路的系统； (4)(4)长线路与短线路接在同一节点上，而长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长度比值又很大的系统。且长短线路的长度比值又很大的系统。 此外，选择不同的节点为平衡节点，也此外，选择不同的节点为平衡节点，也会影响到收敛性能。会影响到收敛性能。第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 为克服基于节点导纳矩阵的高斯为克服基于节点导纳矩阵的高斯- -塞德尔塞德尔迭代法的这些缺点，现常用的是牛顿迭代法的这些缺点，现常用的是牛顿- -拉拉夫逊法。夫逊法。 目前基于节点导纳矩阵的高斯目前基于节点导纳矩阵的高斯- -塞德尔塞德尔法主要为牛顿法等对于待求量

30、的迭代初值法主要为牛顿法等对于待求量的迭代初值要求比较高的算法提供初值，一般只需迭要求比较高的算法提供初值，一般只需迭代代1 12 2次就可以满足要求。次就可以满足要求。 第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 二二 牛顿牛顿- -拉夫逊法拉夫逊法（一）牛顿（一）牛顿- -拉夫逊法的一般概念拉夫逊法的一般概念牛顿牛顿- -拉夫逊法在数学上是求解非线性代拉夫逊法在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常的线性方程式进行求解的过程

31、，即通常所称的所称的逐次线性化逐次线性化过程。过程。第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 牛顿法解非线性方程牛顿法解非线性方程原理：将非线性方程线性化原理：将非线性方程线性化 Taylor 展开展开取取 x0 x*，将将 f (x)在在 x0 做一阶做一阶Taylor展开展开:20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ， 在在 x0 和和 x* 之间。之间。将将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有看成高阶小量，则有：)*)()(*)(0000 xxxfxfxf )()(*000 xfxfxx 线性线性xyx*x0 x1)()(1kkkkxfxfxx 迭

32、代公式迭代公式：又称切线法。平方收敛性。又称切线法。平方收敛性。 )(kx)(ky)(xfy xyo)1( kx)(kx下一步下一步迭代迭代第第k+1k+1步步迭代迭代)2( kx21200 x 4()0.000003289f x 2( )120,( )2f xxfxx 1()201011()20oof xxxfx 1211()11110.9141414()22f xxxfx 2322()0.881517510.914141410.954526()2 10.9141414f xxxfx 3433()0.0016398810.95452610.954451()2 10.954526f xxxfx

33、 10ox 将非线性代数方程组将非线性代数方程组 (1-22)(1-22) 在待求量在待求量 的某一个初始估计值的某一个初始估计值 附附近，展开成泰勒级数并略去二阶及以上近，展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到线性化方程组的高阶项，得到线性化方程组 (1-24)(1-24) 称为牛顿法的修正方程式。称为牛顿法的修正方程式。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法0)(xfx)0(x(0)(0)(0)()()0f xfxx 由上式根据初值由上式根据初值 可求得第一次迭可求得第一次迭代的修正量代的修正量 (1-25)(1-25) 将将 和和 相加，得到变量的第一次相加，得到变量的第一次改进值改进值 。

34、 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法(0)(0)1(0)()()xfxf x )0(x)0(x)0(x)1(x 因此，应用牛顿法求解的迭代格式为因此，应用牛顿法求解的迭代格式为 (1-26)(1-26) (1-27) (1-27) 上两式中：上两式中： 是函数是函数 对于对于 的的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵 ，为，为迭代次数。迭代次数。 牛顿法当初值牛顿法当初值 和方程的精确解足和方程的精确解足够接近时，具有平方收敛特性。够接近时，具有平方收敛特性。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法( )( )( )()()kkkfxxf x )()()1(kkkxxx( )fx)(xfxJk

35、)0(x（二）牛顿潮流算法的修正方程式（二）牛顿潮流算法的修正方程式 将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时，由于所采用的数学表达式以及复题时，由于所采用的数学表达式以及复电压变量采用的坐标形式的不同，可以电压变量采用的坐标形式的不同，可以形成牛顿潮流算法的不同形式。形成牛顿潮流算法的不同形式。 以下讨论用得最广泛的以下讨论用得最广泛的 采用功率采用功率方程式模型，而电压变量分别采用极坐方程式模型，而电压变量分别采用极坐标和直角坐标的两种形式。标和直角坐标的两种形式。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法)(xf 1 1 极坐标形式极坐标形式 令令 ，对每个，对每个 节点

36、及节点及 节点节点，根据式，根据式(1-13)(1-13)，有，有 (1-28)(1-28) 对每个对每个 节点，根据式节点，根据式(1-14)(1-14)，有，有 (1-29)(1-29)牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法iiiUUPQPV0)sincos(iijijijijijjiiPBGUUPPQ0)cossin(iijijijijijjiiQBGUUQ 将上述方程式在某个近似解附近用泰将上述方程式在某个近似解附近用泰勒级数展开，略去二阶及以上的高阶项勒级数展开，略去二阶及以上的高阶项后，得到以矩阵形式表示的修正方程式后，得到以矩阵形式表示的修正方程式 (1-30)(1-30) 式中：式中： 为

37、节点个数，为节点个数， 为为 节点数，节点数，雅可比矩阵是雅可比矩阵是 阶非奇异方阵。阶非奇异方阵。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法1111PnnHNMLQU Unmnm nmPV22mn 雅可比矩阵各元素的表示式如下：雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法2(sincos) () (1-31) () (1-32) ijijijijjiiijiiiijUU GBj iPHU BQj i2(cossin ) (j i) (1-33) (j i) (1-34)ijijijijijiijjiiiijUU GBPNUUGPU2(cossin ) (j i) (1-35) (j i) (1-

38、36)ijijijijijiijiiiijUU GBQMU GP2(sincos ) (j i) (1-37) (j i) (1-38)ijijijijijiijjiiiijUU GBQLUU BQU 2 2 直角坐标形式直角坐标形式 令令 ，此时每个节点，都有两，此时每个节点，都有两个方程式。因此共有个方程式。因此共有 个方程式。个方程式。 对每个对每个PQPQ 节点，根据式节点，根据式(1-11)(1-11)和式和式(1-12)(1-12)有：有： (1-39)(1-39) (1-40) (1-40)牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法iiijfeU2(1)n()()0iiijjijjiijjijj

39、ij iPe G eB ff G fB eP ()()0iiijjijjiijjijiij iQf G eB fe G fB eQ 对每个对每个 节点，除了有与式节点，除了有与式(1-39)(1-39)相同的有功功率方程式之外，还有相同的有功功率方程式之外，还有 (1-41)(1-41) 采用直角坐标形式的修正方程式为采用直角坐标形式的修正方程式为 (1-42)(1-42)牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法PV2222()0iiiiUefU 21e11 f1nPHNnnmQMLnRSmU 雅可比矩阵各元素的表示式如下：雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法j i() (ji) (1-

40、43)() (ji) (1-44)ijiijiiijijjijjii iiiijG eB fPHG eB fG eB fe (ji) (1-45)() (ji) (1-46)ijiijiiijijjijjii iiiijj iB eG fPNG fB eB eG ff (ji) (1-47)() (ji) (1-48)ijiijiiijijjijjii iiiijj iB eG fQMG fB eB eG fej i (ji) (1-49)() (ji) (1-50)ijiijiiijijjijjiiiiiijG eB fQLG eB fG eB ff牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法20 (ji)

41、(1-51)2 (ji) (1-52)iijijURee20 (ji) (1-53)2 () (1-54)iijijUSfjif 分析以上两种类型的修正方程式，分析以上两种类型的修正方程式，可以看出两者具有以下的共同特点。可以看出两者具有以下的共同特点。 (1) (1) 修正方程式的数目分别为修正方程式的数目分别为 及及 个，在个，在 节点比例不大时，两节点比例不大时，两者的方程式数目基本接近者的方程式数目基本接近 个。个。 (2) (2) 雅可比矩阵的元素都是节点电压雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。重新形成。牛顿牛顿-

42、拉夫逊法拉夫逊法mn1212nPV12n (3) (3) 从雅可比阵非对角元素的表示式从雅可比阵非对角元素的表示式可见，某个非对角元素是否为零决定于可见，某个非对角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素相应的节点导纳矩阵元素 是否为零。是否为零。如将修正方程式按节点号的次序排列，如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵分块，把每个并将雅可比矩阵分块，把每个 阶子阶子阵阵 作为分块矩阵的作为分块矩阵的 元素，则按节点号顺序而构成的分块雅元素，则按节点号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。稀疏结构，是一个高

43、度稀疏的矩阵。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法ijY22等如ijijijijijijijijSRNHLMNH (4) (4) 和节点导纳矩阵具有相同稀疏结和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但由于由于 ，所以雅可比矩阵所以雅可比矩阵不是对称阵不是对称阵。 修正方程式的这些特点决定了牛顿法修正方程式的这些特点决定了牛顿法潮流程序特点，在设计算法时应重点考潮流程序特点，在设计算法时应重点考虑。虑。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法jiijjiijjiijjiijLLMMNNHH,n示例系统：示例系统：6节点系统，节点系统，3为为PV节点，节点，6为平衡

44、节点。为平衡节点。n导纳矩阵结构：导纳矩阵结构：1112131421222631333441434445545556626566YYYYYYYYYYYYYYYYYYYY1111112121313141411111121213131414221212222221212222331313333343423333344141434344444545441414343550000PHNHNHNHNQMLMLMLMLPHNHNQMLMLPHNHNHNVRSPHNHNHNHNQMLMLPQ1122334444445454545455555545455555efefefeMLMLfHNHNeMLMLf（三）

45、修正方程式的处理和求解（三）修正方程式的处理和求解 有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程序计算速度并降低内存需求量的关键。序计算速度并降低内存需求量的关键。 结合修正方程式的求解，目前实用的牛顿法结合修正方程式的求解，目前实用的牛顿法潮流程序的程序特点主要有以下三个方面，这些潮流程序的程序特点主要有以下三个方面，这些程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起着决定程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起着决定性的作用。性的作用。 1 1 对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非零对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非零元素，且只有非零元素才参加运算。元素，且只有非零元素才参

46、加运算。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法3 3 节点编号优化。经过消元运算得到节点编号优化。经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵，但由的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵，但由于消元过程中有新的非零元素注入，使于消元过程中有新的非零元素注入，使得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低。分析表明，新增非零元素的多少和消。分析表明，新增非零元素的多少和消元的顺序或节点编号有关。元的顺序或节点编号有关。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 节点编号优化的作用即在于找到一种节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案，使得按此构网络节点的重新编号方案

47、，使得按此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新增的非零元素数目能尽量减少。增的非零元素数目能尽量减少。 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 节点编号优化通常有三种方法：节点编号优化通常有三种方法：(1) (1) 静态法静态法按各节点静态连接支路数按各节点静态连接支路数的多少顺序编号。由少到多编号；的多少顺序编号。由少到多编号；(2) (2) 半动态法一按各节点动态连接支路半动态法一按各节点动态连接支路数的多少顺序编号；数的多少顺序编号；(3) (3) 动态法一按各节点动态增加支路数动态法一按各节点动态

48、增加支路数的多少顺序编号。的多少顺序编号。 消去节点后出现新支路数最少的节点消去节点后出现新支路数最少的节点。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 三种节点编号优化方法中动态法效果三种节点编号优化方法中动态法效果最好，但优化本身所需计算量也最多，最好，但优化本身所需计算量也最多，而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算来说，一般认为，采用半动态法似乎是来说，一般认为，采用半动态法似乎是较好的选择。较好的选择。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 第三节第三节 潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 P-

49、Q分解法分解法P-Q分解法原理分解法原理P-Q分解法分解法rx P-Q分解法分解法HP)/(UULQmn121n1mn2010ijijBGijijijijBGsin1cos；2/iiUQiiBiiiiBUQ2P-Q分解法分解法 P-Q分解法分解法ijjiijBUUHijjiijBUULHUB ULUB U/BB 及1n1mnP-Q分解法分解法P-Q分解法分解法P-QP-Q分解法的修正方程式分解法的修正方程式P-Q分解法分解法/()P UB U /Q UBU /BB 及P-Q分解法分解法/BBP-Q分解法分解法B P-Q分解法分解法/P UB/Q UBUBBP-Q分解法分解法222211;iji

50、jiiijijj ij ij ij iijijijiiioj iijijijijj iBxBBxxxBBbrxrx ijijBBijijxrP-Q分解法分解法1n1mnmn12 P-Q分解法分解法BBP-Q分解法分解法JBB图图1-3 1-3 牛顿法和牛顿法和P-Q分解法的典型收敛特性分解法的典型收敛特性NR牛顿法；牛顿法；FDLFP-Q分解法分解法 P-Q分解法分解法P-Q分解法分解法KP和和KQ分别表征有功及无功迭分别表征有功及无功迭代收敛收敛情况的记录单元，只代收敛收敛情况的记录单元，只有当二者均为有当二者均为0时时整个潮流计算整个潮流计算才算收敛。才算收敛。简单、快速、内存节省及简单、

51、快速、内存节省及较好的收敛可靠性形成了较好的收敛可靠性形成了快速解耦法的突出优点，快速解耦法的突出优点，成为当前使用最为普遍的成为当前使用最为普遍的潮流计算方法。潮流计算方法。不仅大量用在规划设计等不仅大量用在规划设计等离线计算离线计算的场合，也已广的场合，也已广泛地在安全分析等泛地在安全分析等在线计在线计算算中得到应用。中得到应用。P-Q分解法分解法XR R XP-Q分解法分解法XRXRXR 解决这个问题的途径主要有以下两种。解决这个问题的途径主要有以下两种。 1 1 对大对大 比值支路的比值支路的参数加以补偿参数加以补偿； 1 1 对大对大 比值支路的参数加以补偿比值支路的参数加以补偿 补

52、偿方法：分串联补偿法和并联补偿法补偿方法：分串联补偿法和并联补偿法两种。两种。P-Q分解法分解法XRXR (1) (1) 串联补偿法串联补偿法 这种方法的原理这种方法的原理见见图图1-61-6，其中，其中 为增为增加的虚构节点，加的虚构节点， 为新增的补偿电容。为新增的补偿电容。 数值的选择应满足数值的选择应满足 支路支路 的条件。的条件。P-Q分解法分解法mcjXcXmi RXXc)( P-Q分解法分解法 这种方法的缺点是如果原来支路的这种方法的缺点是如果原来支路的 比值非常大，从而使比值非常大，从而使 的值选得过大时的值选得过大时，新增节点，新增节点 的电压值有可能偏离节点的电压值有可能偏

53、离节点 及及 的电压很多，这种不正常的电压将的电压很多，这种不正常的电压将导致潮流计算收敛缓慢，甚至不收敛。导致潮流计算收敛缓慢，甚至不收敛。P-Q分解法分解法XRcXmij P-Q分解法分解法jBGjBjBBBjGYfffij)2121(1)(ji ji mmUfBji 图图1-7 1-7 对大对大R/XR/X比值支路的井联补偿比值支路的井联补偿(a) (a) 原支路；原支路；(b) (b) 补偿后支路补偿后支路 P-Q分解法分解法P-Q分解法分解法XRXRP-Q分解法分解法P-Q分解法分解法BXBBXBBXBBXXXRBBXXBXP-Q分解法分解法XRXRXR第四节第四节 保留非线性潮流算

54、法保留非线性潮流算法 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 222()()iijijijijijijijijj iiijijijijijijijijj iiiiPG eeB e fG f fB f eQG f eB f fG e fB eeUef 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 为推导方便，将上述潮流方程写成更普为推导方便，将上述潮流方程写成更普遍的齐次二次方程的形式。这里先定义：遍的齐次二次方程的形式。这里先定义： n维未知变量向量维未知变量向量 n维函数向量维函数向量 n维维函数给定值向量函数给定值向量

55、第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 Tnxxxx,21Tnxyxyxyxy)(,),(),()(21Tsnsssyyyy,21 一个具有一个具有n n个变量的齐次二次代数方个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为程式的普遍形式为 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 111 1121 211212 1222 2221122( ) ()()() ()()() ()()()iiin iniin inninninnn in ny xaxxaxxaxxax xax xax xax xax xax x(1-69)(1-69)于是潮流方程组可写成如下的矩阵形式：于是潮流方程组可

56、写成如下的矩阵形式： (1-70)(1-70)或或 (1-71)(1-71) 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 12( )snx xx xyy xAx x( )( )0sf xy xy 式式(1-70)(1-70)中，系数矩阵为：中，系数矩阵为： 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 11 112 11 121 122 12 11 12 1111 212 21 221 222 2221 22 22111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

57、( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnn nnnn nn nnnnn naaaaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaa2n nRA(1-72)(1-72)（二）泰勒级数展开式（二）泰勒级数展开式 对式对式(1-69)(1-69)在初值附近展开，可得到没在初值附近展开，可得到没有截断误差的精确展开式为：有截断误差的精确展开式为： (1-73)(1-73)即即 (1-74)(1-74) 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 2(0)(0)(0)1111()2nnnsiijjkjjkjjkyyyy xxxxxx xxxxx ！12(0)1()2snxxxxyy xJ

58、xHxx 式中：式中： 为修正量向量。为修正量向量。 为雅可比矩阵。为雅可比矩阵。第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 Tnxxxxxx,21)0(1111222212(0)12 nn nnnnnnyyyxxxyyyxxxJJRxxyyyxxx 是一个常数矩阵是一个常数矩阵( (海森矩阵海森矩阵) )，其阶数很，其阶数很高，但高度稀疏。高，但高度稀疏。 第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyxxyx

59、xyxxyxxyxxyxxyxxyH222122222212212212112222221222222222122221222122112221221211221222121212112211211122nnRH第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 12012snxxx ( )xxyy xJ xHx0s ( )yy xJ xyx第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 x)0(xx)()()0(1xyyxyJxs)()()()0(1) 1(kskxyyxyJx式中：为迭代次数；式中：为迭代次数； 按按 估计而得。估计而得。 进行第一次迭代时，进行第一次迭代时， ，令，令

60、 , ,同同牛顿法的第一次迭代计算完全相同。牛顿法的第一次迭代计算完全相同。 算法的收敛判据为算法的收敛判据为 (1-84)(1-84)也可以采用也可以采用 (1-85)(1-85)作为收敛判据作为收敛判据。 式式(1-85)(1-85)是比式是比式(1-84)(1-84)更合理的收敛判据更合理的收敛判据。第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 kJ)0(xx 0k0)()0(xy)()1(maxkikiixx)()1(maxkiikiiixyxy保留非线性快速潮流算法框图保留非线性快速潮流算法框图第四节第四节 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 ( )( )0sf xy xy1