电磁场与电磁波课件(王)第1章矢量代数

1、内 容1.1 1.1 矢量代数矢量代数1.2 1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理复杂现象的紧凑描述直观想象和运算变换矢量运算公式在电磁理论中其重要作用1.1 1.1 矢量代数矢量代数1. 1. 标量和矢量标量和矢量为矢量的单位矢量标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特

2、性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意：单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。 AAeA矢量的代数表示|AAAe AeA|AA其中为矢量的模2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 1.1 1.1 矢量代数矢量代数1）矢量的加减法：平行四边形法则平行四边形法则矢量的加减符合交换律和结合律交换律ABBA结合律()()ABCABC1.1 1.1 矢量代数矢量代数2）标量乘矢量AkAe kA3）矢量的标积（点积）A B标量积 是一标量, 其大小等于两个矢量模值相乘, 再乘以它们夹角 (取小角, 即 )的余

3、弦: A BcosA BABa cosA BaAB 物理意义物理意义：一个矢量的模与另一矢量在该矢量上投影的乘积。如果两矢量正交两矢量正交（垂直，又称为正交矢量正交矢量），则其点积为零；如果两矢量平行，则其点积的绝对值取最大值。1.1 1.1 矢量代数矢量代数矢量点积满足交换律A BB A()ABCA BA C()k A BkB AB kA0ABA B/ /ABA BAB两矢量正交两矢量正交两矢量平行两矢量平行1.1 1.1 矢量代数矢量代数4）矢量的矢积（叉积）A B 矢量积 是一个矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘, 再乘以它们夹角()的正弦, 其方向与 , 成右手螺旋关系, 为所在平面的

4、右手法线方向: A BABnesinnA Be AB意义意义：矢量的叉积可以表征两矢量间含有垂直分量（正交分量）成分的多少。如果两矢量正交，则其叉积有最大值；如果两矢量平行，则其叉积为零。ne5）三重积但不符合交换律。 由定义知, ABBA 矢量的矢积符合分配律：()ABCA CB C标量三重积：()()()AB CBCACA B矢量三重积：()()()AB CB A CC A B 1.1 1.1 矢量代数矢量代数nABA Be AB/ /0ABA B矢量平行矢量平行矢量正交矢量正交1.1 1.1 矢量代数矢量代数例1.1 若 ，是否意味着 ？ A BA C BC解： 由于A BA C 可以写

5、为()0ABC于是可作出如下结论：()ABC或A为零向量或0BCBC所以，只有0BC才有 。1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 矢量运算的图形表示只能进行一般性讨论，从数学的观点，把矢量分解成沿三个相互正交（垂直）方向上的分量来处理更为方便。对电磁学理论来说，虽然电磁定律不随坐标系变化，但是在求解实际问题时，还需要将这些定理得出的关系用一个跟已知问题的几何特征相适合的坐标系来表达。在三维空间中，一个点相当于三个面的交点。假定三个面用u1=常数、u2=常数、u3=常数来描述，其中u的值可以不是长度。当这三个面两两垂直时，可得到正交坐标系。在电磁理论中，最常用的坐标系为直角坐

6、标系、圆柱坐标系、球坐标系。1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系1. 1. 直角坐标系直角坐标系坐标变量：x,y,z坐标单位矢量： ， ，xeyeze位置矢量： xyzre xe ye z矢量运算：xxyyzzAe Ae Ae AxxyyzzBe Be Be B设 ,相互正交xyzeee0yzee zxyeee0 xye e yzxeee0zxe e 1xxe e 1yyee 1zze e 0 xxee0zzee0yyee()() ()()() xxyyzzxxyyzzxyzzyyzxxzzxyyxyzzxxyxyzyzzxxyxyzxyzxyzABe Ae Ae Ae B

7、e Be BeA BA BeA BA BeA BA BAAAAAAeeeBBBBBBeeeAAABBB1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系直角坐标系直角坐标系则有+()()()xxxyyyzzzA BeABeABeAB xxyyzzA BA BA BA B 1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系例1.2 求从点 到点 的距离矢量 。111,) (P x y z222 ,) (,Q xyz R121212( )xyzRxxyyeee zz例1.3 设 和 32xyzAeee32xyzBeee求 ，并求 的单位矢量 及其与z轴的夹角23CABCeC直角坐标系直

8、角坐标系1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 在电磁学研究中，常需完成线、面和体积分，需要关于长度、面和体微分元的知识。直角坐标系直角坐标系位置矢量微元：xyzdre dxe dye dzxeyeze注意 、 、 的方向不随x，y，z的变化而变化面元矢量：xxdSe dydzyydSe dxdzzzdSe dxdy体积元：dVdxdydz1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系2. 圆柱坐标系圆柱坐标系002z ,zee e zeeezeeezeee0ee0zee0zee1ee1ee1zzee0ee0ee0zzeer位置矢量：zre ze1.2 1.2 三种

9、常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系矢量 在柱坐标系中可用三个分量表示为 AzzAe Ae Ae AzzBe Be Be B若有则+()()()zzzA BeABeABeAB zzA BA BA BA B zzzeeeABAAABBB圆柱坐标系圆柱坐标系1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系注意：注意：圆柱坐标系中的坐标单位矢量圆柱坐标系中的坐标单位矢量 和和 都不是常矢都不是常矢量量ee位置矢量微元：()() zzdrdd e zdde dezee？cossinxyeeesincosxyeee 随 不同而变化(sincos )xydddeeee zeed

10、rdde dzddee e位置矢量：zre ze1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系面元矢量：dSed dz 体积元：dVdd dz dSe ddzzzdSedd 圆柱坐标系圆柱坐标系度量系数（拉梅系数）：1dhddhd 1zdzhdz长度元坐标微分 在电磁学中，经常要计算线积分、在电磁学中，经常要计算线积分、面积分和体积分。每一种情况都需要表示面积分和体积分。每一种情况都需要表示一个坐标微分变化对应的微分长度变化。一个坐标微分变化对应的微分长度变化。然而，有些坐标不是长度；而且需要一个然而，有些坐标不是长度；而且需要一个变换因子将微分变化变换因子将微分变化 转换成长度变化

11、转换成长度变化1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系zzxxyyzzAe Ae Ae Ae Ae Ae A圆柱坐标系圆柱坐标系cossin0sincos0001xyzzAAAAAA=cossin0sincos0001xyzzAAAAAA=矢量变换矢量变换：eexeye1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系3. 球坐标系球坐标系0002r sincos ,sinsincosxryrzr右旋法则右旋法则: : reeereeereee1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系矢量 在柱坐标系中可用三个分量表示为 ArrAe Ae Ae ArrBe

12、Be Be B若有则+()()()rrrA Be ABeABeAB rrA BA BA BA B rrreeeABAAABBB球坐标系球坐标系1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系位置矢量微元：()rrrdrdrdrdreee位置矢量：rre rsincossinsincosrxyzeeeesincosxyeee sinrddeede sinree rdrdrde rd球坐标系球坐标系球球坐标系中的坐标单位矢量坐标系中的坐标单位矢量 、 、 都不是常矢量都不是常矢量eerecoscoscossinsinxyzeeee1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系球坐

13、标系球坐标系面元矢量：2sinrrdSe rd d sinrdSe rd dredrdhh dSe rdrd体积元：2sin rdhVrdrd ddrddhh 拉梅系数：1rdrhdrrdhrdsinsinrdhrd 长度元坐标微分1.2 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系矢量变换矢量变换：rrxxyyzzAe Ae Ae Ae Ae Ae Asincoscos cossinsinsincos sincoscossin0 xryzAAAAAA=sincossinsincoscoscoscos sinsinsincos0rxyzAAAAAA=球坐标系球坐标系1.2 1.2 三种常用

14、的正交坐标系三种常用的正交坐标系4. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度标量场和矢量场标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。q 如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：静态标量场可表示为：( , , ) u x y z静态矢量场：( , , ) F x y z时变( , , , ) u x y z t时变(

15、 , , , ) F x y z t1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度1 1、标量场的等值面、标量场的等值面等值面: 标量场取得同一数值的点 在空间形成的曲面。等值面的特点：意义: 形象直观地描述了物理量 在空间的分布状态空间的分布状态。常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。 等值面方程：( , , )u x y zC标量场的等值面1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度方向导数标量场在场任一点附近沿不同方向的标量场在场任一点附近沿不同方向的空间变化率空间变化率 方向导数方向导数1.3 1.3 标量场

16、的梯度标量场的梯度2 2、方向导数、方向导数方向导数定义：定义：00limcoscoscoslMuuuuullxyz 标量场 在某点沿 方向的变化率称为 沿该方向的方向导数 。 它的值与所选取的方向 有关, 设 的方向余弦是 、 、 ，则有( , , ) u x y zlul/llcoscoscos特点特点：方向导数既与点 有关也与方向 有关l0M1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度方向导数意义：意义：方向导数表示场 在 点沿 方向的空间变化率()u Ml0M0ul场 沿 方向增加()u Ml0ul场 沿 方向减少()u Ml0ul场 沿 方向无变化()u Ml问题问题：在什么方向上变化率

17、最大、其最大的变化率为多少？l 的单位矢量 为：lecoscoscoslxyzeeee所以有因为 =lxyzeeeeuuuulxyz1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度梯度3 3、标量场的梯度、标量场的梯度grad xyzeeuuuuuxyze 意义意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向定义：定义： 哈密顿(W .R .Hamilton)引入倒三角算符号(读作“del(德尔)”或“nabla(那勃拉)”)表示矢量形式的微分算子: xyzeexyze grad uu zzzuuuuzuuuzeeehhheee 11 sinrrruuuuh rhhuuureeerreee 圆柱坐

18、标系 球坐标系1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度梯度梯度的性质：梯度的性质： 标量场的梯度是矢量场，它在空间 某点的方向表示该点场变化最大（增 大）的方向，其数值表示变化最大 方向上场的空间变化率。 标量场在某个方向上的方向导数， 是梯度在该方向上的投影。 标量场的梯度垂直于通过该点的等 值面（或切平面）1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度梯度梯度运算的基本公式：梯度运算的基本公式： 0()()CCuC uuvuvuvv uu vf ufuuu v 1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度梯度例1.3 设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量场。试求： (

19、1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。 (2) 求该函数 沿单位矢量 方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。ooocos60cos45cos60lxyzeeee解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为(1,1.1)22 22 22xyzPPxyzxyzeeeeeeeexyzxyxyez 1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度梯度表征其方向的单位矢量 22222222213332222( 1)xyzxyzxyzxyzeeeeeeeeeeeee (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿 方向的

20、方向导数为le121222221 22xyzxyzxylxeeeeyee对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为122Pl1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度梯度而该点的梯度值为 223xyzPeee 显然，梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成立。PPPl 1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度梯度例1.4 场点P(x, y, z)与源点P(x, y,z)间的距离为R, 试证： (1)(2)311RRRR rRRRR解：222()()()Rxxxxxx(1)()()() xyzxyzRRRRxyzxxyyzzRRReeeeReRe1.3 1.3 标量场的梯

21、度标量场的梯度梯度(2)222223111111 xyzxyzRRRRRxRyRzRRRRRReeeeReexyzR R 1111 xyzRxReezeyRR22111()xeRxxxRRxRR 33331()()() xyzxxyeeyzzRRRRReR11RR 而故有证毕1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度( , , )( , , )( , , )xyzdxdydzF x y zF x y zF x y z 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向

22、。( , , ) =( , , )( , , )( , , )xyxyzzF x y ze F x y ze F x y ze F x y z矢量场矢量场：1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 2. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念通量的概念neF开曲面上的面元 面元矢量：面元矢量：ndse dS为面元矢量大小dS为面元的法线方向单位矢量其中，ne右手螺旋的姆指方向dF dS矢量与面元矢量的点积：矢量与面元矢量的点积：表示表示 穿过面元穿过面元 的通量的通量( (穿越能力）。穿越能力）。FdSd1.4 1.4 矢量场的

23、通量与散度矢量场的通量与散度通量通量 将曲面S各面元上的 相加, 它表示 穿过整个曲面S的通量, 也称为 在曲面S上的面积分: SF dFFcosnssssdSdFF e dSFdS 如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是nSSdSe dFSF开曲面通量开曲面通量：闭曲面通量闭曲面通量：1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度通量通量 通量的物理意义通量的物理意义矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果000通过闭合曲面有净的矢量线穿出，这说明S内必定有矢量场的源有净的矢量线进入，说明S内有洞(负的源)。进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，

24、没有“源”和“洞” 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。与曲面内产生矢量场的源的关系。1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度散度散度 3. 矢量场的散度矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 在该点的散度，以 表示，即FFdivF0divlimSVSVFFd 式中V为封闭面S所包

25、围的体积。 矢量 的散度是标量, 是 通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。FFdiv0F div0F div0F 1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度散度散度 直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导不失一般性，令包围P点的微体积V 为一直平行六面体，如图所示。则000000(,)(,)22xxxPxx FF xy zF xy zx 000000(,)(,)22xxxPxx FF xy zF xy zx 由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为000000(,)(,)22xxxxxFF xy zF xy zy zx y zx 1.4 1.4 矢量场的通量与散

26、度矢量场的通量与散度散度散度 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为SyxzFFFFx y zx y zx y zxSydz 根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为0lidivmxzVySdSFFFFFxzVy因此散度可用哈密顿算符 表示为divxyzxzxyzyFeeee Fe Fe FFxyz 1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度散度散度 散度的表达式散度的表达式：yxzFFFFxyz直角坐标系圆柱坐标系111 ( )zzzzzFh Fh FFhhhh hzFhFFzh 22(1111si)()()()nsinsin()rrrr

27、rFFh h Fh Fh Fh hrFFFhhhrrrrr球坐标系1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度散度散度 散度的有关公式散度的有关公式：););););0;(CCfCfFkFFfFFfFGkFfG C 为常矢量C 为常矢量1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度散度定理散度定理 4. 散度定理散度定理 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。SVFFdVSd高斯（散度）定理高斯（散度）定理 1.4 1.4 矢量场的通

28、量与散度矢量场的通量与散度例1 .4 点电荷 在离其 处产生的电通量密度为 rq222 1/23,()4xyzqDrre xe ye zrxyxr 求任意点处电通量密度的散度 ，并求穿出r为半径的球面的电通量。D解：222 3/24()xyzxxyyzze xe ye zqDe De De Dxyz5222/522222/32222/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxDx例题例题 1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度例题例题 52252234,34rzrqzDryrqyDzy同理2222533()04yxzDDDqrxyzDxyzr 可见，除

29、点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。23224444DrsssqqqD dSr e dSdSrqrrr 这证明在此球面上所穿过的电通量 的源正是点电荷q。D1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度散度定理散度定理 例1 .5 球面S上任意点的位置矢量为 试利用散度定理计算sr dSxyzre xe ye z解：3xyzrxyz334 3343sVVr dSrdvdvrr 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度环流环流1. 环流环流 矢量 沿某封闭曲线的线积分, 定义为 沿该曲线的环流(或旋涡量、环量), 记为 FFCF dl 可见，若在闭合有向

30、曲线 C上，矢量场 的方向处处与线元 的方向保持一致，则环量 0；若处处相反，则 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。Fdl通量：矢量穿越曲面的能力，通量：矢量穿越曲面的能力， “突围突围”能力，能力， 沿法向投影的累计，沿法向投影的累计， 体现了矢量在法线方向分量的量度发散性；体现了矢量在法线方向分量的量度发散性；环量：矢量环绕曲线的闭合能力，环量：矢量环绕曲线的闭合能力，“包围包围”能力，沿切向投影的累计，能力，沿切向投影的累计， 体现了矢量在切线方向分量的量度涡旋性；体现了矢量在切线方向分量的量度涡旋性；1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度环流环流环流面密度环流

31、面密度环流面密度环流面密度 过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限ne称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度。ne01rotlimnCSFF dlS 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线C的绕行方向成右手螺旋关系。上述极限值对于不同的面元是不同的。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。ne2. 矢量场旋度矢量场旋度0max1rotlimCSFnF dlS 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的

32、环流与旋度 矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。即： 矢量 的旋度是一个矢量, 大小是矢量 在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是面元矢量的方向。FFrotrotnnFeF 任一取向面元的环流面密度，是该点最大环流面密度的投影：SCMFnerotFrotnF旋度旋度 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度矢量场的旋度的计算矢量场的旋度的计算rotxF 直角坐标系中 、 、 的表达式rotyFrotzF推导 的示意图如图所示。rotxFoyz yCMzx1234计算 的示意图 rotxF1234CllllFl

33、FlFlFlFlddddd1234()()yzyzFyFzFyFz而1()yyFF M2()zzzMFFF Myy3()yyyMFFF Mzz4()zzFF M于是yzCFFFlz yyzd旋度旋度 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度故得01rotlimyzxCSFFFF dlSyz 同理可得rotxzyFFFzxrotyxzFFFyxrot yyxxzzxyzxyzxyzFFFFFFFeeeyzzxxyeeexyzFFF所以有rot FF 物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。rotnnFeF性质：性质：旋度旋度 旋度计算公式旋度计算公式 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量

34、场的环流与旋度旋度的表达式旋度的表达式：xyzxyzeeeFxyzFFF直角坐标系圆柱坐标系球坐标系1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF1231231231231231231uuuuuuh eh eh eFh h huuuh Fh Fh F旋度计算公式旋度计算公式 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即CSFF dldS 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的

35、剖分方向相反大小相等结果抵消1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度4. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 0;0FF0;0FF0;0FF0;0FF例1 .5 点电荷 在离其 处产生的电场强度为 rq222 1/23,()4xyzqErre xe ye zrxyxr 求任意点处 电场强度的旋度 。E解：例题例题 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度0r 03334xyzeeeqExyzx ry rz r 33330334 xyzqyxzzeeyzzxrrrryxexyrr例题例题 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度因 353yzzyrr 353yy

36、zzrr 可见, 向分量为零; 同样, 向和 向分量也都为零。 故 xeyeze0E这说明点电荷产生的电场是无旋场。 解：例题例题 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度()()()()()()xyzxyzeeeFxyzx zyy xzz yxe zyexzeyx例1 .6 求矢量场()()(),xyzFe x zye y xze z yx 在点 处的旋度。以及沿 方向的环流面密度。1,0,1M263xyzneee因为2xyzMFeee例题例题 1.5 1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度而所以有 222263263777263xyznxyzeeeeeeerot263 (

37、2) ()777212317 =7777nnMxyzxyzFeFeeeeee1.6 1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，它产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F梯度的性质梯度的性质: 梯度的旋度恒为零梯度的旋度恒为零()0u 0dCFl性质： ，线积分与路径无关，是保守场。无旋场可以用标量场的梯度表示为0 FFu 例如：静电场0 EE 1.6 1.6 无旋场与无散场