理论力学—平面任意力系学习教案

1、会计学1理论力学理论力学平面平面(pngmin)任意力系任意力系第一页，共74页。第1页/共73页第二页，共74页。BAFBAFFFBAFM力的平移定理逆步骤，变可把一个力的平移定理逆步骤，变可把一个(y )力和一个力和一个(y )力偶合成为一个力偶合成为一个(y )力。力。第2页/共73页第三页，共74页。力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶m，且，且m与与d有关，有关，m=Fd 力的平移定理是力系简化的理论基础。力的平移定理是力系简化的理论基础。说明说明(shumng)：第3页/共73

2、页第四页，共74页。OF1F2F3OF1F3F2F1 M1F2 M2F3 M3OFR MO第4页/共73页第五页，共74页。 iixiiyiiOOMFyFxFMMiRFF平面(pngmin)任意力系力的平移(pn y)定理=平面汇交力系+平面力偶系平面汇交力系的合力称为主矢，用 表示RF平面力偶系（原力偶和附加力偶）的合成结果为主矩第5页/共73页第六页，共74页。主矢等于平面任意力系中所有力(yul)的和；主矩值等于平面任意力系中所有力(yul)对简化中心的矩之和。平面(pngmin)任意力系=平面(pngmin)汇交力系+平面(pngmin)力偶系平面任意力系=主矢+主矩主矢值与简化中心无

3、关，作用于简化中心，主矩值与简化中心有关，作用于平面上。第6页/共73页第七页，共74页。AxFAAAAyFAM第7页/共73页第八页，共74页。四种(s zhn)情况：(1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO0 (1)平面任意(rny)力系简化为一个力偶的情形原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。()OOMM FF4F1F2F3ABCD四个力是否平衡？ FR0，MO0第8页/共73页第九页，共74页。OMRFRF(1)平面任意力系简化为一个合力(hl)的情形：合力(hl)矩

4、定理如果主矢不等于零，主矩等于零，平面(pngmin)任意力系简化为一个合力，合力通过简化中心。如果主矢不等于零，主矩也不等于零，力系可以进一步简化，简化为一个合力。OORFRF dRFO第9页/共73页第十页，共74页。 iOOROFMMFM第10页/共73页第十一页，共74页。简化简化(jinhu)中心：中心：A点点主矢主矢思考：三角形分布思考：三角形分布(fnb)载荷处理？载荷处理？qlqdxlxRl210主矩主矩2031qlqdxlxxmLlA简化简化(jinhu)最终结果最终结果lqlqlRLd3221312yxRmAdRxldxqlxR=qlR21 分布在较大范围内，不能看作集中力

5、的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。第11页/共73页第十二页，共74页。第12页/共73页第十三页，共74页。6341P2P3PABC 例 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离 单位cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？ 2、力系简化最后(zuhu)结果。解：1、建立(jinl)坐标系xy2、X=Fx=P3 =200NY=Fy=P1+ P2 =100+50 =150N 主矢NYXR2501502002222 8 . 0250200),cos(cosRXxR =36.9R cmN30065

6、06)(2PFmmiAA第13页/共73页第十四页，共74页。1P2P3PABCxyRcmN300Am2、简化(jinhu)最终结果LA =cm2 . 1250300RLhmARh主矢NR250 主矩最终(zu zhn)结果合力(hl)大小：NRR250 方向: =36.9位置图示：方向： =36.9第14页/共73页第十五页，共74页。00ROM F22()()()RxyOOiFFFMM F平面任意(rny)力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即第15页/共73页第十六页，共74页。22()() ,()RxyOOiFFFMM F即：平面任意力系平衡的解析条件是：力

7、系中所有(suyu)各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有(suyu)各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。 00()0 xiyiOiFFMF由于所以第16页/共73页第十七页，共74页。解：以刚架为研究(ynji)对象，受力如图。0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMA解之得：AxFqbAyFP221qbPaMA例1 求图示刚架的约束(yush)反力。APabqAPqFAyFAxMA第17页/共73页第十八页，共74页。第18页/共73页第十九页，共74页。(1) 二矩式0()0()0 xABFMMFF其中(

8、qzhng)A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。由后面两式知：力系不可能简化为一力偶(l u)，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。第19页/共73页第二十页，共74页。(2) 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF其中(qzhng)A、B、C三点不能在同一条直线上。注意注意(zh y)：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。数。 由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三(d sn)条件，力系只能简化为过A、B、

9、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。第20页/共73页第二十一页，共74页。例3 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN，拉杆CB的倾角a30，质量(zhling)不计，载荷Q7.5 kN。求图示位置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。第21页/共73页第二十二页，共74页。解：取横梁AB为研究(ynji)对象。ABEHPQFTFAyFAxa0 xFsin0(2)AyTFPFQ()0AMFcos0(1)AxTFF0yFsin0(3)2TllPFQa 从(3)式解出1()13.2 kNsin2TlFPQal代入(1)式解出cos11.43kNA

10、xTFF代入(2)式解出sin2.1kNAyTFQPF第22页/共73页第二十三页，共74页。CABEHPQFTFAyFAxasin0(2)AyTFPFQcos0(1)AxTFFsin0(3)2TllPFQa ()0BMF如果再分别取B和C为矩心列平衡(pnghng)方程得()0 (4)2AylPQlFla ()0CMFtan0(5)2AxFllPQa 有效的方程(fngchng)组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,5第23页/共73页第二十四页，共74页。 力的作用线在同一平面且相互(xingh)平行的力系称平面平行力系。Oxy 平面平行力系作为平面

11、任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标(zubio)，则Fx0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：0;()0yOFM F平面平行力系的平衡(pnghng)方程也可表示为二矩式：()0;()0ABMM FF其中AB连线不能与各力的作用线平行。F2F1F3Fn第24页/共73页第二十五页，共74页。例4 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载(kn zi)时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？第25页/共73页第二十六页，共74页。0)(FmB(6 2)

12、2(12 2)(2 2)0APQWN 0ANkN 75Q限制限制(xinzh)条件：条件：解：解： 首先考虑满载首先考虑满载(mnzi)时，起重机不向右翻倒的时，起重机不向右翻倒的Q：空载空载(kn zi)时，时，W=0由0)(FmA0) 22(2) 26(BNPQ限制条件为：限制条件为：0BN解得解得kN 350Q因此保证空、满载均不倒，因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：应满足如下关系：kN 350kN 75Q解得解得: :第26页/共73页第二十七页，共74页。04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA0yiF 0BANNWPQ210 kN870 kNABNN求当求当Q=

13、180kN，满载，满载W=200kN时，时，NA ,NB为多少为多少(dusho) 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得：第27页/共73页第二十八页，共74页。 由若干个物体通过(tnggu)约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。第28页/共73页第二十九页，共74页。 在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知

14、量的数目不超过独立平衡方程(fngchng)数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程(fngchng)数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程(fngchng)数之差称为静不定次数。第29页/共73页第三十页，共74页。 静不定(bdng)问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。静定静定(jn dn)(jn dn)（未知数三个）（未知数三个） 静不定（未知数四个静不定（未知数四个）第30页/共73页第三十一页，共74页。PPPPFPFPF判断各图的超静

15、定判断各图的超静定(jn dn)次数次数第31页/共73页第三十二页，共74页。例5 求图示三铰刚架的支座(zh zu)反力。解：先以整体(zhngt)为研究对象，受力如图。0:0 xAxBxFFFF0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqaaF可解得：3124ByFFqaCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF第32页/共73页第三十三页，共74页。再以AC为研究(ynji)对象，受力如图。()0:0CAxAyMF aF aF解得：1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF第33页/共73页

16、第三十四页，共74页。例6求图示多跨静定(jn dn)梁的支座反力。解：先以CD为研究(ynji)对象，受力如图。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整体(zhngt)为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD第34页/共73页第三十五页，共74页。第35页/共73页第三十六页，共74页。例8 组合结构如图所示，求支座(zh zu)反力和各杆的内力。解：先以整体(zhngt)为研究对象，受力如图。0:0 xAxD

17、FFF0:(2)0yAyFFqab212()0(2)0ADMF aqabF解之得：2(2)2DqabFa2(2)2AxqabFa (2)AyFqabaaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAy第36页/共73页第三十七页，共74页。130:cos450 xFFF230:sin450yFFF23(2)2qabFa 22(2)2qabFaF1F2F3Cxy451DFF再以铰C为研究对象(duxing)，受力如图，建立如图坐标。aaabDACEFBq123第37页/共73页第三十八页，共74页。例9 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力

18、P1和P2，且P1P2500 N，各杆自重(zzhng)不计，求F处的约束反力。解：先以整体为研究(ynji)对象，受力如图。()0:AMF214260BFPP解得：1000NBF 2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB第38页/共73页第三十九页，共74页。再以DF为研究(ynji)对象，受力如图。2()0:220EFyMPFF解得：2500 NFyFP 最后(zuhu)以杆BG为研究对象，受力如图。()0:GMF4220BFyFxFFF解得：1500 NFxF P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxFFyFFx2m2m2m2m

19、2m2mADEFGBCP1P2第39页/共73页第四十页，共74页。ABCD例10 三根等长同重均质杆(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平(shupng)，求绳EF的张力。解1：取AB分析(fnx)，受力如图。不妨设杆长为l。()0:BMFsin450(1)22AyTllF lWF再以整体为研究(ynji)对象，受力如图。0:yF30(2)AyDyFFWABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy第40页/共73页第四十一页，共74页。最后以DC为研究(ynji)对象，受力如图。0(3)2DylF lW联立求解(qi

20、 ji)(1)、(2)、(3)得：42TFW()0:CMFFCyFCxDCFDxFDyWABCD第41页/共73页第四十二页，共74页。解2：先以BC为研究(ynji)对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC为研究(ynji)对象，受力如图。0 xFFCxFCyFBxFByBCW()0:BMFFT0(5)DxCxFFABCD第42页/共73页第四十三页，共74页。联立求解(qi ji)(4)、(5)、(6)即可的同样结果。最后以整体(zhngt)为研究对象，受力如图。20(6)2DxlF lWWl()0:AMFABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD解2：先以BC为研

21、究(ynji)对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC为研究对象，受力如图。0 xF()0:BMF0(5)DxCxFF第43页/共73页第四十四页，共74页。例11 三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用(zuyng)一垂直力P，求铰链 E 处的反力。解：先以整体为研究(ynji)对象，受力如图。0:0 xAxFF2()0:03ABMF lPlF0:0yAyBFFFP解得：13AyFP23BFPPlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFB第44页/共73页第四十五页，共74页。EPD2l/3CB下面用不同的方法

22、(fngf)求铰链 E 的受力。方法1：先以DC为研究(ynji)对象。2()0:03DCylMFlP F23CyFP再以BDC为研究(ynji)对象。0:0yEyBCyFFFFP13EyFP ()0:0232CExEylllMFPFFExFP 类似地，亦可以DC为研究对象，求FDy，再以ACD为研究对象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy第45页/共73页第四十六页，共74页。方法2：分别以ACD和AC为研究(ynji)对象。()0:DMF20223AxExEylllF lFFP022AxAyExEyllF lF lFF联立求解以上(yshng)两方程即得

23、同样结果。类似(li s)地，亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEFAxFAyFExFEyFCxFCy()0:CMF第46页/共73页第四十七页，共74页。方法(fngf)3：分别以BD和AC为研究对象，受力如图。1202BEF lFl12 23EFP2202AxEAyF lFlF l2223EEFPF 用RE1、RE2表示(biosh)的约束反力和用FEx、FEy表示(biosh)的约束反力本质上是同一个力。CAEFAxFAyFExFEyFE2FE1DBEFDxFDyFE2FE1FB()0:DMF()0:CMF第47页/共73页

24、第四十八页，共74页。例12 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链(jiolin)，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链(jiolin)C的约束反力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解: (1) 取BC分析(fnx)()0:0BCyMMFl F2 kNCyMFl 求得结果为负说明与假设(jish)方向相反。第48页/共73页第四十九页，共74页。(2) 取CD分析(fnx)FCDFCxFCyFDxFDy2()0:03DCxlMFlF F24 kN3CxF

25、F 求得结果(ji gu)为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0第49页/共73页第五十页，共74页。第50页/共73页第五十一页，共74页。ABEDax1234EACBD例13 编号(bin ho)为1、2、3、4的四根杆件组成平面结构，其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂向下的力 F，试证明无论力 F 的位置 x 如何改变，其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。F解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为此(wi c)先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0

26、( )2222EABDMbbbbFFxFFaFb上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆2为研究(ynji)对象。FNB第51页/共73页第五十二页，共74页。ABFFAyFAxN()0:0CDMFbFxF取整体为研究(ynji)对象，受力如图。FNBxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平杆2为研究(ynji)对象，受力如图。NBFxFb代入（a）式得1AFF FA1为负值为负值(f zh)，说明杆，说明杆1受压，且与受压，且与x无关。无关。FFNDFCyFCx第52页/共73页第五十三页，共74页。F2F1ABCD4.54.53422习

27、题332 构架尺寸(ch cun)如图所示(尺寸(ch cun)单位为m)，不计各杆件自重，载荷F1=120 kN, F2=75 kN。求AC及CD两杆所受的力。F2F1ABCFCDFAxFAyFAD解：1.取三角形ABC分析，其中(qzhng)A、C处应带有销钉：()0:AMF214327.51240:55CDCDFFFF 43145.83kNCDF CD杆受压力。（教材参考答案是87.5 kN)第53页/共73页第五十四页，共74页。F2F1ABCD4.54.53422F1BCFBxFByFCAFCD2. 取BC分析，注意(zh y)在C处应带有销钉。()0:BMF122444.5990:

28、5124CDCAFFF 179.19 kNCAF第54页/共73页第五十五页，共74页。平面简单桁架平面简单桁架(hngji)(hngji)的内力分析的内力分析第55页/共73页第五十六页，共74页。工程中的桁架工程中的桁架(hngji)结构结构第56页/共73页第五十七页，共74页。第57页/共73页第五十八页，共74页。 桁架是由杆件彼此在两端用铰链连接形成的几何形状不变的结构(jigu)。桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架。桁架中的铰链接头称为节点。 为简化桁架计算，工程实际中采用以下几个假设： (1)桁架的杆件都是直杆； (2)杆件用光滑铰链连接； (3)桁架所受的力都作用

29、到节点上且在桁架平面内； (4)桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。这样的桁架，称为理想桁架。第58页/共73页第五十九页，共74页。 桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象(duxing)，求桁架杆件内力的方法即为节点法。第59页/共73页第六十页，共74页。 例14 平面桁架的尺寸和支座(zh zu)如图，在节点D处受一集中荷载F = 10 kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。解：先以整体为研究(ynji)对象，受力如图。0,0 xAxFF0,0yAyByFFFF()0, 240AByMFFF2mF2mABCD301

30、3425AB30134DC5 kNByF5 kNAyFFFByFAyFAx第60页/共73页第六十一页，共74页。再分别以节点A、C、D为研究(ynji)对象，受力如图。FAyFAxF1F2AFF3F2F5DF3F4F1C210,cos300 xAxFFFF10,sin300yAyFFF节点(ji din)A410,cos30cos300 xFFF3140,()sin300yFFFF节点C520,0 xFFF节点D解上述5个议程得1234510 kN,8.66 kN,10 kN10 kN,8.66 kNFFFFF 其中1，4杆受压。第61页/共73页第六十二页，共74页。三杆节点无载荷三杆节点

31、无载荷(zi h)、其中两杆在、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零力杆。一条直线上，另一杆必为零力杆。12SS且四杆节点无载荷、其中两两在四杆节点无载荷、其中两两在一条直线一条直线(zhxin)上，同一直线上，同一直线(zhxin)上两杆上两杆内力等值。内力等值。12SS34SS两杆节点无载荷两杆节点无载荷(zi h)、且两杆不在、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零力杆。一条直线上时，该两杆是零力杆。特殊杆件的内力判断特殊杆件的内力判断021 SS第62页/共73页第六十三页，共74页。例例13 已知已知 P d,求：求：a.b.c.d四杆的内力四杆的内力(nil)？ 解解：由零杆判式0adcSSS研究(ynji)A点： 0Y由045cosPSobPSb2第63页/共73页第六十四页，共74页。 用假想的截面将桁架截开，取至少包含(bohn)两个节点以上部分为研究对象，考虑其平衡，求出被截杆件内力，这就是截面法。第64页/共73页第六十五页，共74页。FAyFAxFBy例14 图示平面桁架，各杆长度(chngd)均为1m，在节点E，G，F上分别作用荷载FE10 kN， FG7 kN， FF5 kN。试求杆1、2、3的内力