信号的统计滤波技术

1、2022-6-19大连理工大学1第第13章章信号的统计滤波技术信号的统计滤波技术大连理工大学硕士研究生校管课程大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部电子信息与电气工程学部邱天爽邱天爽2013年年12月月 内容概要内容概要 13.1 13.1 概述概述 13.2 13.2 维纳滤波技术维纳滤波技术 13.3 13.3 卡尔曼滤波技术卡尔曼滤波技术 13.4 13.4 统计滤波技术的应用举例统计滤波技术的应用举例13.1 概述概述 信号滤波信号滤波（filtering） 根据输入信号根据输入信号x(t)在当前时刻和以前时刻的在当前时刻和以前时刻的状

2、态估计状态估计输出信号。输出信号。 信号预测信号预测（prediction） 根据输入信号根据输入信号x(t)在当前时刻和以前时刻的状态来估在当前时刻和以前时刻的状态来估计其在未来某个时刻的状态。计其在未来某个时刻的状态。 信号平滑信号平滑（smoothing）或插值或插值（interpolation） 滤波器根据滤波器根据x(t)在在t时刻以外的数据估计出时刻以外的数据估计出x(t)在在t时刻时刻的数据。的数据。2022-6-19大连理工大学42022-6-19大连理工大学5 经典滤波器和现代滤波器经典滤波器和现代滤波器 经典滤波器经典滤波器 一般假定输入信号一般假定输入信号x(n)中的有用

3、成分和希望去除的成分各中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的自占有不同的频段；频段； 如果有用信号与噪声干扰等无用成分的频谱相互重叠时，如果有用信号与噪声干扰等无用成分的频谱相互重叠时，经典滤波器就经典滤波器就无能为力。无能为力。 现代滤波器现代滤波器 不依靠信号与噪声的频率差别来进行不依靠信号与噪声的频率差别来进行噪声抑制噪声抑制和信号和信号提取；提取； 依据某些统计最优准则，从带噪声的观测信号中对与有用依据某些统计最优准则，从带噪声的观测信号中对与有用信号或信号的参数进行信号或信号的参数进行估计；估计； 维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测器和自适应滤波器维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预

4、测器和自适应滤波器等。等。2022-6-19大连理工大学6 维纳滤波器的概念维纳滤波器的概念 是一类线性最优滤波器的统称；是一类线性最优滤波器的统称； 目的是从噪声中提取有用信号。目的是从噪声中提取有用信号。 根据滤波器输出信号与期望根据滤波器输出信号与期望信号之差信号之差的均方值最小的的均方值最小的最小均方误差准则最小均方误差准则，求得最优线性滤波器的系数，求得最优线性滤波器的系数2022-6-19大连理工大学7 卡尔曼滤波器的概念卡尔曼滤波器的概念 是一种以卡尔曼的名字命名的用于线性时变系统的递是一种以卡尔曼的名字命名的用于线性时变系统的递归滤波器。归滤波器。 将过去的测量估计误差合并到新

5、的测量误差中来估计将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差，可以用包含正交状态变量的微分方程来将来的误差，可以用包含正交状态变量的微分方程来描述。描述。 卡尔曼滤波器的首次实现是由施密特（卡尔曼滤波器的首次实现是由施密特（Schmidt）完成）完成的。卡尔曼在美国航空航天（的。卡尔曼在美国航空航天（NASA）研究中心访问）研究中心访问时，发现卡尔曼滤波器对于解决阿波罗计划的轨道预时，发现卡尔曼滤波器对于解决阿波罗计划的轨道预测很有意义，并且后来在阿波罗飞船的导航电脑中实测很有意义，并且后来在阿波罗飞船的导航电脑中实现上使用了这种滤波器。现上使用了这种滤波器。13.2 维纳滤波技

6、术维纳滤波技术2022-6-19大连理工大学9 思路思路 设计维纳滤波器的过程，即是在设计维纳滤波器的过程，即是在最小均方误差准则最小均方误差准则下，寻求滤波器的单位脉冲响应，或系统传递函数。下，寻求滤波器的单位脉冲响应，或系统传递函数。2022-6-1910 因果维纳滤波器因果维纳滤波器 设线性离散系统的单位脉冲响应为设线性离散系统的单位脉冲响应为h(n)，若，若h(n)是因果的是因果的,其输其输入信号入信号x(n)是有用信号是有用信号s(n)与观测噪声与观测噪声v(n)的线性组合的线性组合 维纳滤波器的任务是使输出维纳滤波器的任务是使输出y(n)是是s(n)的估计。若的估计。若h(n)是因

7、果是因果的，则输出的的，则输出的 可以看作是由当前时刻的观测值与可以看作是由当前时刻的观测值与过去时刻的观测值过去时刻的观测值x(n-1),x(n-2),的线性组合来估计的。的线性组合来估计的。( )( )( )x ns nv n( )( )y ns n0( )( )* ( )( ) ()my nx nh nh m x nm2022-6-1911 因果维纳滤波器（续）因果维纳滤波器（续） 误差函数的最小均方误差准则表示为：误差函数的最小均方误差准则表示为： 为了使均方误差达到最小，对上式各为了使均方误差达到最小，对上式各h(m),m=0,1,求偏导，求偏导，并令导数为并令导数为0，有，有 用用

8、相关函数表示上式，则得到相关函数表示上式，则得到维纳维纳-霍夫方程霍夫方程的离散形式的离散形式220( )( ( )( ) () mE e nE s nh m x nm002 ( )( ) ()()0, 0,1,. ( ) ()( ) () (), 0,1,.mmEs nh m x nmx nllE s n x nlh m E x nm x nll0( )( )(), 0,1,.xsxxmRlh m Rlml2022-6-19大连理工大学12 因果维纳滤波器（续）因果维纳滤波器（续） 从维纳从维纳-霍夫方程中解出系统单位脉冲响应霍夫方程中解出系统单位脉冲响应h(n)，这就是最小，这就是最小均方

9、误差意义上的最优均方误差意义上的最优 ，并得到最小均方误差为，并得到最小均方误差为opth2022-6-19大连理工大学13 维纳维纳霍夫方程的求解霍夫方程的求解 （1 1）有限脉冲响应求解法）有限脉冲响应求解法 设设h(n)的序列长度为的序列长度为N，则则改写改写为为 （6.27） 将式（将式（6.27）对）对h(m)求导数，并令导数等于求导数，并令导数等于0，得：，得：则，则，有有 （6.30）10( )( )* ( )( ) ()Nmy nx nh nh m x nm1220( )( ( )( ) () NmE e nE s nh m x nm10 ( ) ()( ) () (), 0,

10、1,.,1NmE s n x nlh m E x nm x nllN10( )( )(), 0,1,.,1NxsxxmRlh m RlmlN0( )( )* ( )( ) ()my nx nh nh m x nm2022-6-19大连理工大学14 于是可以得到于是可以得到N个线性方程，即个线性方程，即 写成矩阵形式写成矩阵形式2022-6-19大连理工大学15 若满足自相关阵是非奇异的，则通过矩阵求逆有若满足自相关阵是非奇异的，则通过矩阵求逆有 最小均方误差为：最小均方误差为： 若已知自相关函数若已知自相关函数 和互相关函数和互相关函数 ，则可以，则可以求出最优系统的单位脉冲响应求出最优系统的

11、单位脉冲响应 。 若信号和噪声满足互不相关的条件，即若信号和噪声满足互不相关的条件，即 则：则：1xxxsHR R12min0( )(0)( )( )NssoptxsmE e nRhm Rm( )xxRm( )xsRmopth( )( )0svvsRmRm2022-6-19大连理工大学16 2022-6-19大连理工大学172022-6-19大连理工大学18 维纳维纳霍夫方程的求解霍夫方程的求解 （2 2）预白化求解法（略）预白化求解法（略） 方法关键是利用预白化滤波器将输入信号方法关键是利用预白化滤波器将输入信号x(n)转化转化为白噪声过程为白噪声过程w(n),并进一步求解维纳并进一步求解维

12、纳-霍夫方程霍夫方程 只要求得白化滤波器只要求得白化滤波器 ，就可以实现预白化，就可以实现预白化，并进一步确定对输入信号的最优估计。随机信号并进一步确定对输入信号的最优估计。随机信号x(n)可以看做白噪声激励一个线性系统所产生的响可以看做白噪声激励一个线性系统所产生的响应。应。()jwwHe2022-6-19大连理工大学19 设该线性系统的设该线性系统的z域系统函数为域系统函数为 其中其中 ， 表示随机信号表示随机信号x(n)自功率谱密度函数的自功率谱密度函数的z域域形式；形式； 和和 分别对应分别对应 中极点、零点在中极点、零点在单位圆内和单位圆外的部分。单位圆内和单位圆外的部分。 由于由于

13、 的零点和极点均在单位圆内，是一个物理可实的零点和极点均在单位圆内，是一个物理可实现的最小相位系统，现的最小相位系统，1/B(z)也是一个物理可实现的最小也是一个物理可实现的最小相位系统。相位系统。 把把x(n)作为系统的输入，作为系统的输入，w(n)作为系统的输出，从而实作为系统的输出，从而实现输入信号现输入信号x(n)的预白化处理。的预白化处理。( )B z21( )( ) ()xxwRzB z B z( )xxRz( )B z1()B z( )xxRz2022-6-19大连理工大学20 虚线框的部分记为虚线框的部分记为 由图由图6.3有：有： 1( )( )( )W zX zB z1(

14、)( )WHzB zopt( )hnopt( )( )( ) ( )( )WG zHzHz G zB z0( )( )( ) ()my ns ng m w nm2022-6-19大连理工大学21均方误差为均方误差为其中其中 表示表示 的单位脉冲响应的单位脉冲响应将将 代入上式，代入上式，使均方误差使均方误差 最小，等价于令最小，等价于令于是有于是有220000( )( ( )( ) () (0)2( )( )( )( )()msswswwmmrE e nE S ng m w nmRG m Rmg mg r Rmr( )g n( )G z2( )( )wwwRmm 2( )E e n( )( )

15、0wswwRmg m2( )( ),0wsoptwRmgmm2022-6-19大连理工大学222022-6-19大连理工大学232022-6-19大连理工大学24【例例】2022-6-19大连理工大学252022-6-19大连理工大学26 关于维纳滤波的说明关于维纳滤波的说明 维纳滤波从理论上完美地解决了在最小均方误差条维纳滤波从理论上完美地解决了在最小均方误差条件下的信号最佳估计问题。件下的信号最佳估计问题。 但是，从实际应用角度来看，却存在不足：但是，从实际应用角度来看，却存在不足： 为了得到维纳滤波器的单位冲激响应，必须知道观测信号为了得到维纳滤波器的单位冲激响应，必须知道观测信号的自相

16、关函数与互相关函数。的自相关函数与互相关函数。 自相关函数可以利用观测信号进行估计。自相关函数可以利用观测信号进行估计。 互相关函数则需要信号的更多的信息。互相关函数则需要信号的更多的信息。 即使即使得到得到上述两个相关函数，求解维纳上述两个相关函数，求解维纳霍夫方程仍是比霍夫方程仍是比较复杂的过程。较复杂的过程。13.3 卡尔曼滤波技术卡尔曼滤波技术2022-6-19大连理工大学28 卡尔曼卡尔曼 卡尔曼（卡尔曼（Rudolf E. Kalman），匈牙利数学家；），匈牙利数学家； 1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机

17、工程学士及硕士年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位；年于哥伦比亚大学获得博士学位； 19641971年任职斯坦福大学。年任职斯坦福大学。19711992年任年任佛罗里达大学数学系统理论中心主任。佛罗里达大学数学系统理论中心主任。1972起任起任瑞士苏黎世联邦理工学院数学系统理论中心主任瑞士苏黎世联邦理工学院数学系统理论中心主任. 2009年获美国国家科学奖章。年获美国国家科学奖章。 卡尔曼滤波器源于他的博士论文和卡尔曼滤波器源于他的博士论文和1960年发表的年发表的论文论文A New Approach to Linear Filtering

18、 and Prediction Problems2022-6-19大连理工大学29 卡尔曼滤波器的基本原理卡尔曼滤波器的基本原理 卡尔曼滤波器（卡尔曼滤波器（Kalman filter）可以认为）可以认为是维纳滤是维纳滤波器的推广波器的推广； 它不仅可以适用于平稳过程，而且可以它不仅可以适用于平稳过程，而且可以适用于非平适用于非平稳过程稳过程； 不仅可以用于线性滤波问题，还可以用于不仅可以用于线性滤波问题，还可以用于非线性控非线性控制问题制问题，甚至可以用于，甚至可以用于多输入多输入- -多输出系统多输出系统。其其基本特点基本特点是在时域内分析，并且应用是在时域内分析，并且应用状态空间分状态空

19、间分析方法析方法。2022-6-19大连理工大学30 卡尔曼滤波器的进一步说明卡尔曼滤波器的进一步说明受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确值，但可对它进行一系列观测，并依据一组观测值，值，但可对它进行一系列观测，并依据一组观测值，按某种统计观点对它进行估计。按某种统计观点对它进行估计。使估计值尽可能准确地接近真实值，这就是最优估使估计值尽可能准确地接近真实值，这就是最优估计。真实值与估计值之差称为估计误差。若估计值计。真实值与估计值之差称为估计误差。若估计值的数学期望与真实值相等，这种估计称为无偏估计。的数学期望与真实值相等，这种估计称为无偏

20、估计。卡尔曼提出的递推最优估计理论，卡尔曼提出的递推最优估计理论，采用状态空间描采用状态空间描述法，在算法采用递推形式述法，在算法采用递推形式，卡尔曼滤波能处理多，卡尔曼滤波能处理多维和非平稳的随机过程。维和非平稳的随机过程。2022-6-19大连理工大学31 卡尔曼滤波器的卡尔曼滤波器的通俗解释通俗解释简单来说，卡尔曼滤波器是一个简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal optimal recursive data processing algorithmrecursive data processing algorithm（最优化（最优化自回归数据处理算法）自回归数据处理算法）”。对于

21、解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。至是最有用的。它的广泛应用已经超过它的广泛应用已经超过3030年，包括机器人导航，控年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。图像分割，图像边缘检测等等。2022-6-19大连理工大学32 卡尔曼滤波器的通俗解释（卡尔曼滤波器的通俗解释（2） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会

22、应为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。 但是，他的但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那了他的那5条公式。条公式。2022-6-19大连理工大学33 卡尔曼滤波器的通俗解释（一个例子）卡尔曼滤波器的通俗解释（一个例子） 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。假设我们要研究的对象是一个房间的温度。

23、根据经验根据经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。钟来做时间单位）。 假设你对你的经验不是假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分布（关系的而且符合高斯分布（Gaussian Distribution

24、）。）。 另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不是绝对准确不是绝对准确的，测量值会的，测量值会比真实值有偏差比真实值有偏差。我们也把。我们也把这些偏差也看成是高斯白噪声这些偏差也看成是高斯白噪声。2022-6-19大连理工大学34 卡尔曼滤波器的通俗解释（例续）卡尔曼滤波器的通俗解释（例续） 现在对于某一分钟有现在对于某一分钟有2个该房间的温度个该房间的温度值值：（：（1）你你根据经验根据经验的预测值（的预测值（系统的预测值系统的预测值）；（）；（2）温度计）温度计的值（的值（测量值测量值）。要要用这两个值结合其各自的噪声来估算出房间

25、的实际温度值。用这两个值结合其各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 若若我们要估算我们要估算k时刻时刻的实际的实际温度值。先要根据温度值。先要根据k-1时刻的温度值时刻的温度值来预测来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到到k时刻的温度预测值是与时刻的温度预测值是与k-1时刻的一样时刻的一样，例如例如是是23度度。 同时该值的高斯噪声的同时该值的高斯噪声的偏差是偏差是5度度（5这样得到：如果这样得到：如果k-1时刻时刻估算出的最优温度值的偏差是估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是，你对自己预测的不确定度是4度度，二

26、者的平方，二者的平方相加再开方，就是相加再开方，就是5，相当于是协方差相当于是协方差）。）。 然后，你从温度计那里得到了然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是时刻的温度值，假设是25度度，同时该值的同时该值的偏差是偏差是4度度。2022-6-19大连理工大学35 卡尔曼滤波器的通俗解释（例续）卡尔曼滤波器的通俗解释（例续） 由于我们用于估算由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值时刻的实际温度有两个温度值，分别是，分别是23度（预测值）和度（预测值）和25度（测量值）。度（测量值）。 究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟

27、相信谁多一点，我们可以用他们的呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。来判断。 因为因为Kg=52/(52+42)，所以，所以Kg=0.61，我们可以，我们可以估算出估算出k时刻的实际温度值时刻的实际温度值是：是：23+0.61*(25-23)=24.22度度。 可以看出，因为温度计的可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的计的值，为值，为24.22度。度。2022-6-19大连理工大学36 卡尔曼滤波器的通俗解释（例续）卡尔曼滤波器的通俗解释（例续）

28、 现在我们已经得到现在我们已经得到k时刻的最优温度值了时刻的最优温度值了，下一步，下一步就是要进入就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。时刻，进行新的最优估算。 在进入在进入k+1时刻之前，我们还要算出时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优时刻那个最优值（值（24.22度）的偏差。度）的偏差。 算法如下：算法如下：(1-Kg)*52)0.5=3.12。这里的。这里的5就是上就是上面的面的k时刻你预测的那个时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出度温度值的偏差，得出的的3.12就是进入就是进入k+1时刻以后时刻以后k时刻时刻估算估算出的最优温出的最优温度值的偏差（对应于上面的度值的偏差（对应于上

29、面的3）。）。2022-6-19大连理工大学37 卡尔曼滤波器的通俗解释卡尔曼滤波器的通俗解释 这样，卡尔曼滤波器不断地把这样，卡尔曼滤波器不断地把covariance递归，从递归，从而估算出最优的温度值。而估算出最优的温度值。 它运行的很快，而且它只保留了上一时刻的它运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。 上面的上面的Kg，就是，就是卡尔曼增益卡尔曼增益（Kalman Gain）。他）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！奇！2022-6-19大连理工大学38 卡尔曼滤波器的介绍卡尔曼滤波器的介绍 现描述源于现描述

30、源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器，会涉及一些基本的的卡尔曼滤波器，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（概念知识，包括概率（Probability），随机变量（），随机变量（Random Variable），高斯或正态分布（），高斯或正态分布（Gaussian Distribution）还有）还有State-space Model等等。等等。 引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（分方程（Linear Stochastic Difference Equation）描述：）描述： X(k)=A X(k-1)+B U(k

31、)+W(k) 再加上系统的测量值：再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k)2022-6-19大连理工大学39 卡尔曼滤波器的介绍卡尔曼滤波器的介绍 上两式子中，上两式子中，X(k)是是k时刻的系统状态，时刻的系统状态，U(k)是是k时刻对时刻对系统的控制量。系统的控制量。A和和B是系统参数，对于多模型系统，他是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。们为矩阵。Z(k)是是k时刻的测量值，时刻的测量值，H是测量系统的参数是测量系统的参数，对于多测量系统，对于多测量系统，H为矩阵。为矩阵。W(k)和和V(k)分别表示分别表示过过程程噪声噪声和测量噪声和测量噪声。他们被假设成高斯白噪声。

32、他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的，他们的covariance 分别是分别是Q，R（这里（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。我们假设他们不随系统状态变化而变化）。 对于满足上面的条件（线性随机微分系统，过程和测量对于满足上面的条件（线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声），卡尔曼滤波器是最优信息处理器。都是高斯白噪声），卡尔曼滤波器是最优信息处理器。 下面我们结合他们的下面我们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。出（类似上一节那个温度的例子）。X(k)=A X(k-1)+B

33、 U(k)+W(k)Z(k)=H X(k)+V(k)2022-6-19大连理工大学40 卡尔曼滤波器的介绍卡尔曼滤波器的介绍（1 1）预测系统的状态：）预测系统的状态： 现利用系统的过程模型，来预测系统的下一状态：现利用系统的过程模型，来预测系统的下一状态： 假设假设现在的系统状态是现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以，根据系统的模型，可以基于系统的基于系统的上一状态上一状态而预测而预测现在的状态现在的状态： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1) 式式(1)中，中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态

34、最优的结果，是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为的控制量，如果没有控制量，它可以为0。2022-6-19大连理工大学41 卡尔曼滤波器的介绍卡尔曼滤波器的介绍（2 2）预测状态的协方差：）预测状态的协方差： 到现在为止，我们的系统到现在为止，我们的系统结果结果已经更新了，可是，已经更新了，可是，对应于对应于X(k|k-1)的的covariance还没更新。我们用还没更新。我们用P表表示示covariance： P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A+Q (2) 式式(2)中，中，P(k|k-1)是是X(k|k-1)对应的对应的covari

35、ance，P(k-1|k-1)是是X(k-1|k-1)对应的对应的covariance，A表示表示A的转置矩阵，的转置矩阵，Q是系统过程的是系统过程的covariance。式式(1)和和(2)就是就是卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就个公式当中的前两个，也就是对是对系统状态的预测（或称为估计）。系统状态的预测（或称为估计）。2022-6-19大连理工大学42 卡尔曼滤波器的介绍卡尔曼滤波器的介绍（3 3）计算当前状态）计算当前状态 我们有了现在状态的我们有了现在状态的预测预测结果，然后我们再收集现结果，然后我们再收集现在状态的在状态的测量值测量值。结合预测值和测量值，我们可以。

36、结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态得到现在状态(k)的最优化估算值的最优化估算值X(k|k)： X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1) (3)（4 4）计算当前时刻的卡尔曼增益）计算当前时刻的卡尔曼增益 Kg为卡尔曼增益为卡尔曼增益(Kalman Gain)： Kg(k)= P(k|k-1) H / (H P(k|k-1) H + R) (4)2022-6-19大连理工大学43 卡尔曼滤波器的介绍卡尔曼滤波器的介绍（5 5）计算当前时刻状态的协方差）计算当前时刻状态的协方差 到现在为止，我们已经得到了到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算状态

37、下最优的估算值值X(k|k)。但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行。但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下状态下X(k|k)的的covariance： P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5) 其中其中I 为单位矩阵，对于单模型单测量，为单位矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系。当系统进入统进入k+1状态时，状态时，P(k|k)就是式就是式(2)的的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。这样，算法就可以自回归的运算下去。2022-6-19大连理工大学44 卡尔曼滤波器的介绍卡尔曼滤波器的

38、介绍 卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式1，2，3，4和和5就是其就是其5 个基本公式。个基本公式。 根据这根据这5个公式，可以很容易用计算机编程实现。个公式，可以很容易用计算机编程实现。 卡尔曼滤波的卡尔曼滤波的实质实质是由量测值重构系统的状态向量是由量测值重构系统的状态向量。它以。它以“预测预测实测实测修正修正”的顺序递推，根据系的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。来面目。2022-6-19大连理

39、工大学45 状态方程与观测方程（又称输出方程）状态方程与观测方程（又称输出方程） 其中：其中： 为状态矢量，是被估计的量；为状态矢量，是被估计的量； 是输入信号；是输入信号； 是观测数据；是观测数据； 表示表示 时刻的状态矩阵；时刻的状态矩阵； 表示系统白噪表示系统白噪声；声； 表示系统噪声影响各状态的程度；表示系统噪声影响各状态的程度； 表示量测矩阵；表示量测矩阵； 为输入矩阵。为输入矩阵。 噪声噪声 和和 为互不相关的为互不相关的0 0均值白噪声，满足：均值白噪声，满足：( )(1)(1)(1)kkkkkkkxA xB u w( )( )( )kkx kkyCv( )kx( )ku( )k

40、ykAk( )kwkkCkB( )kw( )kv22,wkvkQR2022-6-19大连理工大学46 卡尔曼滤波的基本思路与步骤卡尔曼滤波的基本思路与步骤卡尔曼滤波采用递推算法；卡尔曼滤波采用递推算法；第一步第一步：先不考虑系统噪声：先不考虑系统噪声 的影响，由的影响，由 时时刻的状态变量估计值刻的状态变量估计值 估计状态变量和输出信估计状态变量和输出信号的初步估计值：号的初步估计值：这样，初步估计输出值与实测输出值的误差为：这样，初步估计输出值与实测输出值的误差为：( )kw1k (1)k x( ,1)(1)(1)kkk kkkxA xB u( )( ,1)kkk kyC x( )( )kk

41、yy2022-6-19大连理工大学47第二步第二步：用第一步得到的输出信号的误差加权后校：用第一步得到的输出信号的误差加权后校正状态变量的估计值，即按照以下卡尔曼滤波方程正状态变量的估计值，即按照以下卡尔曼滤波方程求得滤波结果：求得滤波结果：式中，加权矩阵（增益矩阵）为：式中，加权矩阵（增益矩阵）为：预测误差的方差矩阵定义为：预测误差的方差矩阵定义为：可以证明：可以证明：( )( ,1) ( )( )kkk kkkxxL yyT1( ,1)( ,1)kkkkkk kk kLPCC PCRTT111( ,1)(1)kkkkkk kkPA PAQT( ,1) ( )( ,1) ( )( ,1) k

42、 kEkk kkk kPxxxx2022-6-19大连理工大学48其中其中 时刻的误差方差矩阵定义为时刻的误差方差矩阵定义为而它与而它与 的关系为的关系为卡尔曼滤波的关键卡尔曼滤波的关键：是计算加权矩阵：是计算加权矩阵 的最佳值，的最佳值，使状态变量估计的误差最小。使状态变量估计的误差最小。只要只要 满足：满足：就可以实现上述目标。就可以实现上述目标。T( ) ( )( ) ( )( ) kEkkkkPxxxxk( ,1)k k P( ) ( ,1)kkkk kPIL C PkLkLT1( ,1)( ,1)kkkkkk kk kLPCC PCR2022-6-19大连理工大学49T1TT111(1) ( ,1)(1)(1)(2) ( )( ,1)(3) ( )( ,1) ( )( )(4) ( ,1)( ,1)(5) ( ,1)(1)(6) ( ) ( ,1)kkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkk kkk kkkk kk kk kkkk kxA xB uyC xxxL yyLPCC PCRPA PAQPIL C P计算公式：计算公式：计算流程计算流程2022-6-19大连理工大学50 【例例】 假定随机信号假定随机信号 是由一个是由一个0均值白噪声序列均值白噪声序列 激激励的一阶递归系统所产生的广义马尔可夫过程，