经济学专业数学导数的运算配套课件

1、2022年年6月月20日星期一日星期一1第二节 导数的运算 第二章第二章 三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则一、几个初等函数的导数一、几个初等函数的导数 四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则八、小结与思考题八、小结与思考题 五、隐函数的导数五、隐函数的导数 六、参数方程确定的函数的导数六、参数方程确定的函数的导数七、基本导数公式与求导法则七、基本导数公式与求导法则 2022年年6月月20日星期一日星期一2Cxf)(C 为常数) ，则 证证:yxCCx0lim0即0)(C设设函数)N()(nxxfn 1nfxnx证

2、证:0limxyx ( )fx11201lim2nnnxn nnxxxx 1nnxxxfxxf)()(0limx 设函数一、几个初等函数的导数一、几个初等函数的导数1常数的导数常数的导数0)(C2幂函数的导数幂函数的导数则则2022年年6月月20日星期一日星期一3对一般幂函数yx( 为常数) 1()xx 例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）说明：说明：2022年年6月月20日星期一日星期一4类似可证得类似可证得: :(cos )sinxx 证证: :0sin()sin(sin )limhxhxxh 0sin2limc

3、os()22hhhxhcos . x(sin )cos .xx44(sin )cosxxxx2.2即即3正弦函数与余弦函数的导数正弦函数与余弦函数的导数2022年年6月月20日星期一日星期一5证证: :haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax ()ln .xxaaa即即特别的，特别的，(e )e .xx 4指数函数的导数指数函数的导数2022年年6月月20日星期一日星期一6证：证：0log ()loglimaahxhxyh 1(log).lnaxxa .1)(lnxx 0log (1)1limahhxhxx01limlog (1)xhahhxx1.lnxa即即5对数

4、函数的导数对数函数的导数2022年年6月月20日星期一日星期一7 利用导数的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：(sin )cosxx （3）(cos )sinxx （4）()ln(0,1)xxaaaaa （5）(e )exx （6）1(log)(0,1)lnaxaaxa （7）1(ln )xx （8）( )0C （1）()sinxx （2）2022年年6月月20日星期一日星期一8但是，但是，对于比较复杂的函数，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它直接根据定义求它们的导数往往很困难们的导数往往很困难. 例如，例如，求下列函数的极限：为此，为此，我们有必要研究一下函数的求导法则

5、函数的求导法则！2022年年6月月20日星期一日星期一9二、函数的和、差、积、商的求导法则定理定理1 具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、积、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv2022年年6月月20日星期一日星期一10此法则可推广到任意有限项的情形.设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh

6、)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.例如例如,证证: （1）()uvwuvw2022年年6月月20日星期一日星期一11vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数 )（2）2022

7、年年6月月20日星期一日星期一12)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2uu vuvvv证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2CCvvv( C为常数 )（3）2022年年6月月20日星期一日星期一1332cosxyxax的导数. 例例1 求函数答案：答案：23ln2sinxyxaax tanyx和例例2 求函数

8、的导数. cotyx2(tan )secxx 答案：答案：2(cot )cscxx secyx和例例3 求函数的导数. cscyx(sec )sectanxxx 答案：答案：2(csc )csc cotxx 2022年年6月月20日星期一日星期一14三、反函数的求导法则 )( xf定理定理2 y 的某邻域内单调可导, 证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf1

9、12022年年6月月20日星期一日星期一15例例4 求反三角函数的导数。1解解: 设,arcsin xy 则,sin yx )(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则2022年年6月月20日星期一日星期一16四、复合函数的求导法则在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理定理3 )(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy ( )g x且d( )( )dyf u g xx在点 x 可导,证证

10、:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有( )( )f u g xuy)(uf( )(0)yuuf uxxxx 2022年年6月月20日星期一日星期一17 说说 明：明：2022年年6月月20日星期一日星期一18例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.（3） 此法则可推广到多个中间变量的情形.2022年年6月月20日星期一日星期一191 2exy的导数. 例例5 求函数答案：答案：221xyx ln| |,yx.y求例例6 设提示：

11、提示：分情况讨论。答案：答案：1(ln |)xx由此可见，由此可见，即即|(n)l|f x)ln(f x( )( )fxf x答案：答案：( )( )( )( )ln ( )( ) .( )v xv xyu xv xu xu xu x2022年年6月月20日星期一日星期一20, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?ddfx)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同例例8 设练习练习（习题（习题22 10 ）2022

12、年年6月月20日星期一日星期一21五、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）31xy若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y2022年年6月月20日星期一日星期一2203275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(

13、dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数例例9 求由方程2022年年6月月20日星期一日星期一23191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx例例10 求椭圆2022年年6月月20日星期一日星期一24)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlnc

14、os(sinxxxxxyx例例11 求2022年年6月月20日星期一日星期一25二、由参数方程所确定的函数的导数（Derivative of Function Determined by Parametric Equation）若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22tt则( )0t时, 有ddyxxttyddddtxtydd1dd( )( )tt关系,( )( )tt( )0t时, 有ddxyyttxddddtytxdd1dd(此时看成 x 是 y 的函数 )2022年年6月月20日星期一日星期一26)(, )(tt二阶可导,

15、22ddyx)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt ( ) t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxytddxt)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得若上述参数方程中2022年年6月月20日星期一日星期一27点击图中任意点动画开始或暂停2022年年6月月20日星期一日星期一28解：解：0 x22sina1 ;2a0y21cosaa2022年年6月月20日星期一日星期一29而而ddyxttyx (1cos ) (sin )ata ttsin,1costt所以，所以，k2sin1costtt

16、1于是所求切线方程为于是所求切线方程为121aayx 即即(2).2yxa2022年年6月月20日星期一日星期一30解：解：ddyxttyx( sin )( cos )btatcos( sin )btatcot bta (0,2)t 22ddyxddddyxxddcotddbtttax21cscbtxtadd21csscinbtaat23sinbat (0,2).t 2022年年6月月20日星期一日星期一31七、基本求导法则与导数公式1. 常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxsinx )(tan xx2sec )(cot

17、x2csc x )(secxxxtansec )(cscxcsc cotxx )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x2022年年6月月20日星期一日星期一322. 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 反函数的求导法则反函数的求导法则单调可导, ,)()(1的反函数为设yfxxfy1( )fyy邻在 的某域1( )0fy ，且

18、则则 )( xf1 )(1yf4. 复合函数求导法则复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd5. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数2022年年6月月20日星期一日星期一33内容小结1. 掌握函数求导的法则掌握函数求导的法则四则运算的求导法则四则运算的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导 .2. 记住一些基本初等函数的导数公式记住一些基本初等函数的导数公式

19、2022年年6月月20日星期一日星期一343. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导4. 对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数5. 参数方程求导法参数方程求导法6. 相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式2022年年6月月20日星期一日星期一35课后练习习题习题2-2 1单数题；单数题；2单数题；单数题；5（2）（）（4）；）； 6（2）；）；7；9思考与练习思考与练习1y2y,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y