物理学下第五版马文蔚复习PPT(精简版) 1机械振动(总)

1、1第九章第九章 振动振动9.1 简谐运动简谐运动9.2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位9.3 旋转矢量法旋转矢量法9.4 简谐运动的能量简谐运动的能量9.5 简谐运动的合成简谐运动的合成摆动摆动29.1 简谐运动简谐运动1. 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程(1) 弹簧弹簧振子moxF受力受力 F=kx由牛顿第二定律由牛顿第二定律22d xkxmdt令令mk 2 则则0222 xdtxd 凡满足以上特征的运动叫凡满足以上特征的运动叫简谐运动简谐运动.物体受线性恢复力的作用物体受线性恢复力的作用; 或或加速度与位移大小加速度与位移大小成正比成正比,而方向

2、相反而方向相反; 或或有简谐运动的微分方程有简谐运动的微分方程.022xmkdtxd3(2) 单摆单摆PF忽略空气阻力，质点在平衡忽略空气阻力，质点在平衡点附近点附近(5)往复运动往复运动mAlO重力矩重力矩：M=mgl sin根据转动定律：根据转动定律：22ddtJM 而而 J= ml 2222ddsintmlmgl 小角度条件下小角度条件下 sin ( 5)022 lgdtd2gl令2220ddt 质点作简谐运动。质点作简谐运动。单摆的周期单摆的周期取决于摆长和重力加速度。取决于摆长和重力加速度。42. 振动状态振动状态简谐运动微分方程的解为简谐运动微分方程的解为:)cos( tAx那么速

3、度为那么速度为:sin()dxvAtdt cos()2mvt式中式中vm=A为速度振幅为速度振幅加速度为加速度为:)cos(2 tAdtdvacos()mat式中式中am= 2A 为为加速度振幅加速度振幅A、 为待定系数为待定系数0222 xdtxd 5运动曲线运动曲线xt.vt,at运动曲线图如下：运动曲线图如下：xt/2/oA-AtvotoaA-A2A-2A弹簧振子弹簧振子69.2 简谐运动中的振幅简谐运动中的振幅 周期周期 频率和相位频率和相位1) 振幅振幅A由由)cos( tAx其中其中A为振幅为振幅简谐运动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值简谐运动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值速

4、度振幅速度振幅: vm=A加速度振幅加速度振幅:am=2A2) 周期周期 频率频率 圆频率圆频率周期周期T:物体作一次完全振动所经历的时间物体作一次完全振动所经历的时间)cos()(cos)cos( TtATtAtAx 2 T 2 T所以所以弹簧振子弹簧振子:kmT 2 单摆单摆:glT 2 73) 相位和初相位相位和初相位频率频率f : 单位时间内物体所作的完全振动的次数单位时间内物体所作的完全振动的次数1(:Hz)2fT单位2f或圆频率圆频率 :物体在单位时间内所作的完全振动次物体在单位时间内所作的完全振动次数的数的2倍倍(又叫角频率又叫角频率) 单位单位: rad/s弹簧振子弹簧振子12

5、kfmmk 固有频率固有频率相位相位(t + ):决定物体在任意时刻的振动状态决定物体在任意时刻的振动状态 初相位初相位 :决定初始时刻振动物体的运动状态决定初始时刻振动物体的运动状态相位即可以决定振动状态相位即可以决定振动状态,也常用来比较两个谐振也常用来比较两个谐振动是否同步动是否同步89.3 旋转矢量法旋转矢量法（用几何方法表示简谐振动）（用几何方法表示简谐振动） t+ PoxyM0Mx对任意时刻对任意时刻t，作矢量，作矢量A, 使它在使它在oxy平面上绕平面上绕o点点沿逆时针角速度沿逆时针角速度转动转动, 其矢量的端点其矢量的端点M在在x轴上轴上的投影点坐标为位移的投影点坐标为位移x.

6、 oM与与x轴正方向的夹角轴正方向的夹角为为t+ 。)cos( tAx t =0 时时,矢端在矢端在M0点点同理速度矢量同理速度矢量v, 加速度矢量加速度矢量a 也可用旋转矢量表示也可用旋转矢量表示amvm) 2cos( tvvm)cos( taamAM匀速转动匀速转动, P点也随之作简谐运动。点也随之作简谐运动。旋转矢量旋转矢量9相位差相位差:111222cos()cos()xAtxAt21()()tt21(或或2 的整数倍）的整数倍） （或（或 的奇数倍）的奇数倍） x2 比比 x1 超前超前 3 /2我们说我们说x2 比比 x1 超前超前/223210 00步调一致步调一致 步调相反步调

7、相反或说或说x1 比比 x2 超前超前 （一般用此说法）（一般用此说法）21或或 x1 比比x2 落后落后 注意：注意：一般使用一般使用的说法！的说法！10) 2cos( tvvm)cos( taam各量作简谐振动的关系是各量作简谐振动的关系是: v比比x超前超前/2; a比比v超前超前/2; a与与x反相反相.)cos( tAxoxyamvmA11运动曲线运动曲线xt.vt,at运动曲线图如下：运动曲线图如下：xt/2/otvotoa v比比x超前超前/2; a比比v超前超前/2; a与与x反相反相.12旋转矢量法的优点旋转矢量法的优点(1)把简谐振动转化为匀速圆周运动把简谐振动转化为匀速圆

8、周运动.(2)利用该方法可方便地画出利用该方法可方便地画出x t, v t, a t 图图(3)可方便地比较两个振动的相位可方便地比较两个振动的相位,方便地求初相位方便地求初相位(4)方便地进行两个振动的合成方便地进行两个振动的合成例例1. 试画出试画出x=Acos(t+/4)的的xt 图线图线oxotxa/4a b T/8b cc dd ee T/25T/8T13ox例题例题3.一 轻 弹 簧 的 右 端 连 着 一 物 体一 轻 弹 簧 的 右 端 连 着 一 物 体 , 弹 簧 的 劲 度 系 数 为弹 簧 的 劲 度 系 数 为k=0.72N/m, 物体的质量物体的质量m =20g.

9、(1)把物体从平衡位置向把物体从平衡位置向右拉到右拉到x = 0.05m 处停下后再释放处停下后再释放, 求简谐运动方程求简谐运动方程; 解解（1）先求角频率先求角频率 、振幅振幅A、初相位初相位 1s0 . 602. 072. 0 mk 0.05mA由旋转矢量图知由旋转矢量图知 =0所以运动方程为：所以运动方程为：)SI()6cos(05. 0tx A14由运动方程由运动方程由旋转矢量图知第一次经过由旋转矢量图知第一次经过A/2时时3 toxAA/2/3As /m26. 0sin tAv 设设 x = A cos(6t+ )由旋转矢量图知由旋转矢量图知t=0时时cos0.05sin0.3/A

10、mAm s0.05 2m,4A ：得0.05 2cos(6)(SI)4xtoxA -/4(2)求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速率处时的速率; (3)如果物体在如果物体在x = 0.05m处时速度不等于零处时速度不等于零, 而是具有向而是具有向右的初速度右的初速度v0= 0.30m/s, 求其运动方程求其运动方程.AAAA15 例例4：一质量为一质量为0.01kg的物体作简谐运动的物体作简谐运动,其振幅为其振幅为0.08m,周期为周期为4s,起始时刻在起始时刻在x=0.04m处处,向向ox轴负方向轴负方向运动运动.试求试求:(1)t=1.0s时时,物体所

11、处的位置和所受的力物体所处的位置和所受的力;(2)由起始位置运动到由起始位置运动到x=0.04m处所需要的最短时间处所需要的最短时间.解解:已知已知 A=0.08m 1s22 T3)32cos(08. 0 tx得得(1) t=1.0s时，由上式知时，由上式知x=0.069mF=kx=m2x=1.70103N 或用或用F=ma(2)由旋转矢量图知由旋转矢量图知t=/3/32s0.667s/ 23t解得受力为受力为oxAA/2/3由旋转矢量图知由旋转矢量图知t=0 时时16质点沿质点沿x轴作简谐振动，振动方程为：轴作简谐振动，振动方程为：从从t=0时起，到质点位置在时起，到质点位置在x=-2cm处

12、，且向处，且向x轴正方向轴正方向运动的最短时间间隔为多少？运动的最短时间间隔为多少？0.04cos(2/3)()xtSI17 例例5. 一物体沿一物体沿 X 轴作简谐振动，轴作简谐振动，A = 12 cm T = 2s 当当 t = 0 时，时，X0 = 6 cm ，且向，且向 X 正正方向运动方向运动.由旋转矢量看由旋转矢量看Xcm0 t121 1 3 2 3 （2）t=0.5s 时，物体的时，物体的位置、速度、加速度位置、速度、加速度.)tcos(A )sin( tA)cos(2 tA6cos12 )( 410cm )(9181 s)scm(103x22 2 求求（1） 初位相初位相06a

13、xv时，时， 635 . 0t s5 . 0t, 18（3）在在 x = - 6cm 处且向处且向 X 负负方向运动时，物体的方向运动时，物体的速度速度 、加速度、加速度以及从这一位置回到平衡位置需的以及从这一位置回到平衡位置需的时间。时间。32sin12 )scm(361 )scm(622 avXcm6 2/3)sin( tAvxa2 )cos( tAx 32t 将将 代入代入 v , a 的解析式，求得：的解析式，求得：32t )6(2 19从这一位置回到平衡位置所需的从这一位置回到平衡位置所需的时间：时间： t6523 )(83306565s tXcm6 2/3t （4）从初始时刻开始，

14、第二次通过平衡位置的时刻从初始时刻开始，第二次通过平衡位置的时刻23 611)(611s t t=Xcm0 t ttt 209-4 简谐运动的能量简谐运动的能量)cos( tAx)sin( tAv以弹簧振子为例：以弹簧振子为例：当其位移为当其位移为x，速度为，速度为v时时系统的动能系统的动能)(sin21212222k tAmmvE系统的势能系统的势能)(cos2121222p tkAkxE利用利用k = m2 总能总能222pk2121kAAmEEE moxv弹簧振子的总能量与振幅的平方成正比弹簧振子的总能量与振幅的平方成正比.k、A都是常量，因此都是常量，因此总能量守恒总能量守恒. 但动能

15、、势能相互转换但动能、势能相互转换.21例：弹簧振子中，物体质量为例：弹簧振子中，物体质量为0.10kg，以振幅，以振幅1.0102m作简谐振运动，其最大加速度为作简谐振运动，其最大加速度为4.0m/s2，求，求:(1)振振动的周期动的周期;(2)通过平衡位置时的动能通过平衡位置时的动能;(3)总能量总能量;(4)物物体在何处其动能与势能相等体在何处其动能与势能相等?解解: (1)12ms20100 . 10 . 4 Aa sT314. 02 (2) 物体通过平衡位置时速度最大物体通过平衡位置时速度最大22max2max,k2121AmmvE=2.0103J(3) 总能量总能量E = Ek,m

16、ax= 2.0103J(4) 当当Ek = Ep时时 , Ep=1.0103J得得由由2222121xmkxEp 242220.5 10 mpExm即即 x=0.707cm 229-5 简谐运动的合成简谐运动的合成1.两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成设两个谐运动同方向设两个谐运动同方向(x), 同频率同频率(). 运动方程分别为运动方程分别为:)cos(111 tAx)cos(222 tAx合位移应在同一方向上合位移应在同一方向上(x) x = x1 + x2 旋转矢量法旋转矢量法oxx2x1xx2 1A1 2A2 A)(cos2122122212 AAAAA)cos(212212221 AAAA)cos(21 tAxxx22112211coscossinsin AAAAtg 仍为仍为简谐振动简谐振动, 角频率与分振动相同角频率与分振动相同,振幅振幅A、初相、初相 如上如上.23讨论讨论(1)若相位差