东北大学考研课件函数,极限,连续

1、1、符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyo112、取整函数xy 当Znnxn,1,nxyo1342123、狄里克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数, 1,0,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散211.lim11nnn12.limcos1nnnn收敛数列的任一子列都收敛到同一极限。0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A思考: 若定理 中的

2、条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx如 0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .练习练习1. 若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 设函数)(xf且)(lim1xfx存在, 则. a3是否一定有1, 121,2xxxxa？Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且.)(li

3、mAxfnn有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xx1sinlim0不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列nxn21及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 当定义定义 . 若0 xx 时 , 函数,0)(xf则称

4、函数)(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小无穷小 .时为无穷小.)x(或说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1有限个有限个无穷小之和、之积仍为无穷小 . oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .,0limCk,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或

5、,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为x的k阶无穷小,则kxxxx320lim0 C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k,0时当 xxsinxtanxarc

6、sin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等价无穷小 ,1xex,1lnxx,ln1axaxxx arctan,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 231x221x.1cos1)1 (lim3120 xxx解解

7、:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式321解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx211211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由例例2 .求.)321 (lim1xxxx解解: 令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231则

8、)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfxMxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . 证证: 利用二项式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111n

9、x)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知nx记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为无理数 , 其值为590457182818284. 2e即有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n1sincosxxx圆扇形AOB的面积1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0

10、xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有分析分析:203cos1limxxx30 limxxxxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslimexxx)1(lim1证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回

11、结束 .)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx则 原式111)1 (limexxxlimx.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxax

12、axa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx型. )tan(sec

13、lim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxeln0lim0e1通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00nnnneln11. ) 1(limnnnn分析分析: 为用洛必达法则 , 必须改求. ) 1(lim121xxxx法法1

14、用洛必达法则型0但对本题用此法计算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0u1ue原式求下列极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0ttttttt21lim11021)1(xt 令令,12xt 则ttet50lim原式 =txet50lim0ttet4950lim2110001lim)2xxex

15、解解:tte!50lim(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x40(sinsinsin )sinlimxxxxx 拉格朗日中值定理 )()(bfaf 罗尔定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10) 1(! )

16、1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221) 1(limannnna计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式sin30limxxxeex.)21 (limsin30 x

17、xx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界机动 目录 上页 下页 返回 结束 1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtt

18、tt)2( 2xxsin12机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e则有)()(1lim0 xvxxxu复习复习: 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 .sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12li

19、m4101原式 = 1 (2000考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡

20、 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)

21、(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,xxexf111)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf) 1)()(xaxbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexx

22、eebxx1lim试确定常数 a 及 b .求的间断点, 并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类可去间断点)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷间断点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类跳跃间断点例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,

23、xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .介值定理介值定理定理定理2. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的