“杨辉三角”与二项系数的性质

1、 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.rnC展开式展开式二项式系数二项式系数rrnrnbaCr+1n+1nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 二项式定理二项式定理 )(Nn1rn rrrnabCTnnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 2.系数规律：系数规律

2、：nnnnnCCCC、 2102.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为各项的次数均为n；（2）二项和的第一项二项和的第一项a的次数由的次数由n逐次降到逐次降到0， 第二项第二项b的次数由的次数由0逐次逐次升到升到n.1.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1个项个项二项式定理二项式定理 )(Nn1615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25

3、5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn表中的每一个表中的每一个数等于它肩上数等于它肩上的两数的和的两数的和nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 11rrrnnnCCC012,nnnnnC C CC nba)(1.1.观察二项式系数表观察

4、二项式系数表（杨辉三角），你发现（杨辉三角），你发现 杨辉三角中的每一行都杨辉三角中的每一行都 具有那些特征？具有那些特征？性质性质1 1：在二项展开式中，与首末两端：在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两个的两个二项式系数相等二项式系数相等. .mnnmn CC2.2.在在(a(ab)b)2020展开式中，与第五项二项式系数展开式中，与第五项二项式系数 相同的项是相同的项是 A. A.第第1515项项 B.B.第第1616项项 C.C.第第1717项项 D.D.第第1818项项练习练习2.2.在在(a(ab)b)n n展开式中，与第展开式中，与第k k项二项式系数项二项式系数 相同的

5、项是相同的项是 A. A. 第第n-kn-k项项 B. B. 第第n-k-1n-k-1项项 C. C. 第第n-k+1n-k+1项项 C. C. 第第n-k+2n-k+2项项2661.,_.xCCx若则观察杨辉三角观察杨辉三角 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 11()ab2()ab3()ab4()ab5()ab1.1.增减性？增减性？左增右减左增右减2.2.在何处取得最大值？在何处取得最大值？性质性质2 2：当当n n是偶数时，展开式有是偶数时，展开式有n+1n+1项（项（ n+1n+1是奇数），中间项是奇数），中间项二项式系数最大二项式系数最大

6、. .当当n n是奇数时，展开式有是奇数时，展开式有n+1n+1项（项（ n+1n+1是偶数），中间两是偶数），中间两项二项式系数最大项二项式系数最大. .2Cnn21Cnn21Cnn2 2） 的展开式中，二项式系数的最大值的展开式中，二项式系数的最大值是是 ；是第；是第_项项. .3 3）若）若 的展开式中的第十项和第十一的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则项的二项式系数最大，则n=n= ；9()ab()nab_.1开项项数则n n)已)已知知（a+b）a+b）的的展展式式中中只只有有第第5 5的的二二式式系系最最大大，n =n =练习练习考点一、系数或二项式系数的最值问题考点一

7、、系数或二项式系数的最值问题例1、开项项数开项数项数项n n( (1 1+ +2 2x x) )的的展展式式中中第第6 6与与第第7 7的的系系相相等等，求求展展式式中中二二式式系系最最大大的的和和系系最最大大的的. .练习、练习、在在 的展开式中，的展开式中，1 1）求二项式系数最大的项；）求二项式系数最大的项； 2 2）系数的绝对值最大的项是第几项？）系数的绝对值最大的项是第几项？3 3）求系数最大的项；）求系数最大的项；4 4）求系数最小的项。）求系数最小的项。822()xx01122(1)nkknnnnnnnxCC xC xC xC x问题问题1 1：此展开式：此展开式二项式系数二项式

8、系数之和之和_._.问题问题2 2：此展开式：此展开式系数系数之和之和_._.二：求某二项式系数或系数之和二：求某二项式系数或系数之和（a+x)a+x)n n的二项式展开各项的系数和求的二项式展开各项的系数和求法：只要令自变量为法：只要令自变量为1 1即可。即可。赋值法求系数和考点二：求二项式展开式二项式系数或系数和考点二：求二项式展开式二项式系数或系数和. .2 2、（、（1+2x)1+2x)3 3的展开式的展开式各项系数各项系数之和为多少？之和为多少？1 1、（、（1+2x)1+2x)3 3的展开式的各项的展开式的各项二项式系数之和二项式系数之和分别分别 为多少？为多少？0122nnnnn

9、nCCCC令令x=1x=1, ,得所求展开式各项系数之和为得所求展开式各项系数之和为3 33 3=27=27 。项的系数为中含，则展开式和为的展开式中，各项系数、若）的系数和为（展开式中、练习：_2561322 .D 12 .C 12 . 12 . 1.1111212xxBnAxxxxnnnnn赋值法求系数和nnnnnnnnxCxCxCxCCx 3322101)(开数项项数数项项数n n即即在在（a a+ +b b） 的的展展式式中中， 奇奇的的二二式式系系的的和和 = = 偶偶的的二二式式系系的的和和 . .0213nnnnCCCC ？12n (a+b)(a+b)n n展开式中，奇数项的二项式系数和展开式中，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数的和的关系。与偶数项的二项式系数的和的关系。2010