D对坐标曲面积分

1、目录 上页 下页 返回 结束 意大利总理贝卢斯科尼被打了。老贝满脸鲜血意大利总理贝卢斯科尼被打了。老贝满脸鲜血,让电视机前的无数观众看得目瞪口呆让电视机前的无数观众看得目瞪口呆,幸灾乐祸者有之幸灾乐祸者有之,心生怜悯者亦有之。但是心生怜悯者亦有之。但是,热闹看过之后热闹看过之后,大都该干什么干什么。大都该干什么干什么。 那不勒斯市的一个玩具生产商却从热闹当中寻觅到商机。他猜测那不勒斯市的一个玩具生产商却从热闹当中寻觅到商机。他猜测,老贝近来负面新闻老贝近来负面新闻不断不断,被打是意料之外被打是意料之外,却是情理之中却是情理之中,于是迎合一部分民众心理于是迎合一部分民众心理,他设计出一款新型玩偶

2、。他设计出一款新型玩偶。该该玩偶夸张地用绷带将贝卢斯科尼的头部包裹得严严实实玩偶夸张地用绷带将贝卢斯科尼的头部包裹得严严实实,脸上血迹斑斑脸上血迹斑斑,将他受伤当天的情将他受伤当天的情形淋漓尽致地再现出来。在老贝受伤的第三天形淋漓尽致地再现出来。在老贝受伤的第三天,“绷带玩偶绷带玩偶”便横空出世便横空出世,售价售价38美元美元,并不并不便便宜。然而宜。然而,这款别出心裁的玩偶却受到广大顾客的追捧这款别出心裁的玩偶却受到广大顾客的追捧,光顾店铺的人大都会被光顾店铺的人大都会被“贝卢斯科贝卢斯科尼尼玩偶玩偶”吸引。随着订单的增加吸引。随着订单的增加,玩具厂不得不加班生产玩具厂不得不加班生产,工厂繁

3、忙的景象工厂繁忙的景象,一举赶走出了此一举赶走出了此金融危机带来的阴霾。金融危机带来的阴霾。 印度的一个小伙子也被老贝的鲜血激发出灵感。他开发了一款印度的一个小伙子也被老贝的鲜血激发出灵感。他开发了一款“拳击老贝拳击老贝”的游戏软的游戏软件件,玩家只需点击鼠标玩家只需点击鼠标,就可以操控电脑左侧一个粗壮的拳头就可以操控电脑左侧一个粗壮的拳头,而而“老贝老贝”站在人群中间来回晃站在人群中间来回晃动动,只要击中一次只要击中一次,“老贝老贝”就会龇牙咧嘴就会龇牙咧嘴,满嘴鲜血。这款制作简单的小游戏满嘴鲜血。这款制作简单的小游戏,很受上班族的欢很受上班族的欢迎迎,大家都喜欢在空闲的时候玩几把。短短几周

4、内大家都喜欢在空闲的时候玩几把。短短几周内,已有上百万人玩过这个游戏。这款游戏虽已有上百万人玩过这个游戏。这款游戏虽然随着老贝伤情的好转而热度减退然随着老贝伤情的好转而热度减退,但如此小的制作却在短期内为网站赚了个盆满钵满。但如此小的制作却在短期内为网站赚了个盆满钵满。 还有更绝的。意大利北部小城的一名大学生还有更绝的。意大利北部小城的一名大学生,毕业后四处投简历毕业后四处投简历,全都泥牛入海全都泥牛入海,不见不见回音。老贝被打之后回音。老贝被打之后,他灵机一动他灵机一动,将自己的简历背景图案做成将自己的简历背景图案做成“老贝受难记老贝受难记”,在招聘市场在招聘市场上上赚足了眼球。一家接纳他的

5、公司经理说赚足了眼球。一家接纳他的公司经理说,我们需要这样头脑灵活而富有创意的学生。世界我们需要这样头脑灵活而富有创意的学生。世界上每天都有出人意料的事情发生上每天都有出人意料的事情发生,而且而且,没有什么事和你无关。看了老贝挨打后发生的一切没有什么事和你无关。看了老贝挨打后发生的一切,相信你会赞同这个观点相信你会赞同这个观点没什么事和你无关没什么事和你无关。目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联

6、系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 目录 上页 下页 返回 结束 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 0 0 0外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(为

7、前侧为后侧为右侧为左侧为上侧为下侧目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcos|vSnvSnv目录 上页 下页 返回 结束 对一般的有向曲面 ,用“分割,近似替换,求和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xzii

8、iiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 目录 上页 下页 返回 结束 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQ

9、zyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义：定义：目录 上页 下页 返回 结束 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面 上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面 上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd3. 性质性质(1) 积分曲面可加性(2) 用 表示 的反向曲面, 则 目录 上页 下页 返回 结束 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面yxDyxyxzz)

10、,( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(目录 上页 下页 返回 结束 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),() , zxQxzD,(),(xzyxzdd(前正后负)(右正

11、左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算()d dzxxy边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 原式()d dzxxy 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1()d dz xx y()d d2x yDaxxy2()d dzxx y()d d2x yDaxx yd dx yDaxy3axzyO其中 是以原点为中心,目录 上页 下页 返回 结束 解解: 把 分为上下两部分2211:yxz例例2. 计算曲面积分,ddyxzyx其中

12、为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy目录 上页 下页 返回 结束 zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr目录 上页 下页 返回 结束 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系221cos1xyzz221cosdxyxyDRzzxdy ddRxycosdRS) ,(yxDyxR),(yxzyxdd设光滑曲面

13、yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则cosQdzdxQdSdydzPzyPcosdd目录 上页 下页 返回 结束 令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)目录 上页 下页 返回 结束 yxz111例例3. 设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n目录

14、 上页 下页 返回 结束 cosQdzdxQdSdSPzyPcosdddSRyxRcosddyxRRdSddcos1zyPPdSddcos1xzQQdSddcos1dSPzyPcosddxzPddcoscosyxPddcoscos目录 上页 下页 返回 结束 221cosyxx例例4. 计算曲面积分其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx 目录 上页 下页 返回 结束 原式 =)( x)(2xzyxzddOyxz2)( xx