专题四知能演练轻松闯关

1、1在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形，ABCD，ABC90°，ABPBPCBC2CD，平面 PBC平面 ABCD. (1)求证：AB平面 PBC；(2)求平面与平面 BCP 所成的二面角(小于 90°)的大小解：(1)证明：因为ABC90°，所以 ABBC.因为平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCDBC，AB平面 ABCD，所以 AB平面 PBC.(2)取 BC 的中点 O，连接 PO.因为 PBPC，所以 POBC.因为平面 PBC平面 ABCD，平面 PCB平面 ABCDBC，PO平面 PBC，所以 PO平面 ABCD.如图，

2、以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.不妨设 BC2.由 ABPBPCBC2CD所以P(0，0， 3)，D(1,1,0)，A(1,2,0)，DP(1，1， 3)，DA(2,1,0)设平面 PAD 的法向量为 m(x，y，z)ìï 0，ìïxy 3z0，m·DP因为í所以íïïî2xy0.îm·DA0.令 x1，则 y2，z 3.所以 m(1,2， 3)取平面

3、 BCP 的一个法向量 n(0,1,0)所以 cosm，n mn· 22 .|m|·|n|和平面 BCP 所成的二面角(小于 90°)的大小为所以平面2(2013·4.省名校联考)，在多面体ABCD-A1B1C1D1 中，上、下两个底面A1B1C1D1 和 ABCD 互相平行，且都是正方形，DD1底面 ABCD，AB2A1B12DD12a.(1) 求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值；(2) 已知 F 是 AD 的中点求证：FB1平面 BCC1B1；(3) 在(2)的条件下，求二面角 F-CC1-B 的余弦值解：以 D 为坐标原点，DA，DC，

4、DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2a，0,0)，B(2a,2a,0)，C(0，2a,0)，D1(0,0，a)，F(a，0,0)，B1(a， a，a)，C1(0，a，a)(1) (a，a，a)， (0,0，a)，AB1DD1 AB1·DD1 3，cos ，AB1DD13|AB1|·|DD1|异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值为 33 .(2)证明： (a，a，a)， (2a,0,0)， (0，a，a)，BB1BCFB1ì ïFB1·BB10，íï îFB

5、1·BC0，FB1BB1，FB1BC.BB1BCB，FB1平面 BCC1B1.(3)由(2)知， 为平面 BCC B 的一个法向量FB11 1设 n(x1，y1，z1)为平面 FCC1 的一个法向量CC1(0，a，a)，FC(a,2a,0)又 ìï 0，ìïay az 0，n·CC111由í得íïîax12ay10.ïîn·FC0，令 y11，则 x12，z11，n(2,1,1)， FB ·n 31cos，n，FB13|FB1|·|n|即二面角

6、F-CC1-B 的余弦值为 33 .3.(2012·高中毕业班质检)如图，侧棱垂直底面的三棱柱 ABC A1B1C1 中，ABAC，AA1ABAC3，ABACt(t>0)，P 是侧棱 AA1 上的动点(1)当 AA1ABAC 时，求证：A1C平面 ABC1；(2)试求三棱锥 PBCC1 的体积 V 取得最大值时的 t 的值；C 的平面角的余弦值为 10(3)若二面角 ABC110 ，试求实数 t 的值解：(1)证明：AA1平面 ABC，AC、AB平面 ABC，AA1AC，AA1AB.又AA1AC，四边形 AA1C1C 是正方形，AC1A1C.ABAC，ABAA1，AA1ACA，

7、AB平面 AA1C1C.又A1C平面 AA1C1C，ABA1C.A1C平面 ABC1. (2)AA1平面 BB1C1C，点 P 到平面 BB1C1C 的距离等于点 A 到平面 BB1C1C 的距离，ABC1 22t)1 21 33 ，Vt(t1)，VVPBCC1VA BCC1VC16t (32t3t (0<t<2)令 V0，得 t0(舍去)或 t1，则当 t1 时，Vmax16.(3)以 A 点为原点，分别以 AB，AC，AA1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，2t)，B(t,0,0)，C(0，AC ，2t)，C (0t,3t,0)(0t,3A

8、B(t,0,0)CC111(0,0,32t)， (t，t,0)BC设平面 ABC1 的法向量 n1(x1，y1，z1)(0,1)1æ1，3öè2øV0V单调递增极大值单调递减ìïn1·AC1ty1(32t)z10则íï，n ·ABtx î011ìx10解得í，2t3îy1z1t令 z1t，则 n1(0,2t3，t)设平面 BCC1 的法向量 n2(x2，y2，z2)，ìïn2·BCtx2ty20则íï.&#

9、183;CC (3)z în2t0212ìïz203由于 0<t< ，所以解得í.2ïî 22x y令 y21，则 n2(1,1,0)设二面角 AC 的平面角为 ，BC1|2t3|则 cos |n1·n2| 1010 .|n1|·|n2|2·t2(2t3)2化简得 5t216t120，解得 t2(舍去)或 t65.所以当 t6时，二面角 AC 的平面角的余弦值为 10BC110 .54(2012·高考大纲卷)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面ABCD，A

10、C2 2，PA2，E 是 PC 上的一点，PE2EC. (1)证明：PC平面 BED；(2)设二面角 A-PB-C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小解：法一：(1)证明：因为底面 ABCD 为菱形，所以 BDAC.又 PA底面 ABCD，所以 PCBD.如图，设 ACBDF，连结 EF.因为 AC2 2，PA2，PE2EC，故 PC2 3，EC2 3，FC 2，3从而PC 6，AC 6.FCEC因为PCAC，FCEPCA，FCEC所以FCEPCA，FECPAC90°，由此知 PCEF.因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD，EF 都垂直，所以 P

11、C平面 BED.(2)在平面 PAB 内过点 A 作 AGPB，G 为垂足因为二面角 A-PB-C 为 90°，所以平面 PAB平面 PBC.又平面 PAB平面 PBCPB，故 AG平面 PBC，AGBC.因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA，AG 都垂直，故 BC平面 PAB，于是 BCAB，所以底面 ABCD 为正方形，AD2，PDPA2AD22 2.设 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 ADBC，且 AD平面 PBC，BC平面 PBC，故 AD平面 PBC，A，D 两点到平面 PBC 的距离相等，即 dAG 2.设 PD 与平面 PBC 所成的角为 ，则 si

12、n d.21PD所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.法二：(1)证明：以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立Axyz.的空间直角坐标系4 2，0，2 ，B(则 C(2 2，0,0)，设 D( 2，b,0)，其中 b>0，则 P(0,0,2)，2，b,0)E(3)3 22 22于是PC(22，0，2)，BE( 3 ，b，3)，DE( 3 ，b，3)，从而 PC·BE0，PC·DE0，故 PCBE，PCDE.又 BEDEE，所以 PC平面 BED.(2)AP(0,0,2)，AB( 2，b,0)设 m(x，y，z)为平面 PAB 的一

13、个法向量，则 m·AP0，m·AB0，即 2z0 且 2xby0.令 xb，则 m(b， 2，0)设 n(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，0.则0，n·BE即 2 2p2r0 且 2pbq20，3r3令 p1，则 r 2，q 2，n(1， 2， 2)bb因为二面角 A-PB-C 为 90°，所以平面 PAB平面 PBC，故 m·n0，即 b20，故 b 2，b于是 n(1，1， 2)， (2， 2，2)，DP所以 cosn， n·DP 1，DP2|n|DP|所以n， 60°.DP因为 PD 与平面 PBC 所成角和n，

14、 互余，DP故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.5(2012·高考卷)如图(1)，在 RtABC 中，C90°，BC3，AC6.D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE2，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如图(2)(1)(2)(3)求证：A1C平面 BCDE；若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由解：(1)证明：ACBC，DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，DE平面 A1DC.DEA1C.又A1C

15、CD，A1C平面 BCDE.，以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Cxyz，3)，D(0,2,0)，M(0，1， 3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)(2)则 A1(0,0,2 0，0.设平面 A1BE 的法向量为 n(x，y，z)，则 n·A1Bn·BE又 A1B(3,0，23)，BE(1,2,0)，ìï3x2 3z0，íïîx2y0.令 y1，则 x2，z 3，n(2,1， 3)设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 .CM(0,1， 3)， ïï |ï n·CM ï4 2.sin |coM28× 4ï|n|·|CM|ïCM 与平面 A1BE 所成角的大小为4.(3)线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直理由如下：假设这样的点 P 存在，设其坐