计算机控制系统 北航自动化 第6章 状态空间设计-2

1、6.1 6.1 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述6.2 6.2 离散系统的可控可观性离散系统的可控可观性6.3 6.3 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计6.4 6.4 状态观测器设计状态观测器设计6.5 6.5 调节器设计（控制律与观测器的组合）调节器设计（控制律与观测器的组合）1. 闭环系统的特征方程由闭环系统的特征方程由F-GK决定，系统的阶次不改变。决定，系统的阶次不改变。通过选择状态反馈增益通过选择状态反馈增益K，可以改变系统的稳定性。，可以改变系统的稳定性。2. 闭环系统的可控性由闭环系统的可控性由F-GK及及G决定。可以证明，如开环决定。可以证明

2、，如开环系统可控，闭环系统也可控，反之亦然。系统可控，闭环系统也可控，反之亦然。 (1)( )( )x kFx kGu k( )( )( )y kCx kDu k( )( )( ) u kKx kr k(1)( )( )x kFGK x kGr k( )( )( )y kCDK x kDr k取线性反馈控制取线性反馈控制 闭环系统状态方程：闭环系统状态方程： 1212, (), (), () ,nnnnccWF GF GFG GF GKGF GKGF GK G GT WT. 闭环系统的可观性由闭环系统的可观性由F-GK及及C-DK决定。如果开环系统决定。如果开环系统是可控可观的，加入状态反馈控

3、制，由于是可控可观的，加入状态反馈控制，由于K的不同选择，闭的不同选择，闭环系统可能失去可观性。环系统可能失去可观性。022(1)( )( )462x kx ku k ( )0.5 1( )y kx k( )( )( )u kr kKx k(1)( )( )( )( )Cx kFGK x kGr kF x kGr k121222(1)2(2)2(3)CKKFFGKKK12124(1)24(5)2CCKKWF G GKKdet480CWT120.514353OCWCCFKK 12det1.531.5OWKK可控可控不一定可观不一定可观4. 4. 状态反馈不能改变或配置系统的零点状态反馈不能改变或

4、配置系统的零点1）零点的定义）零点的定义在状态空间中：在状态空间中：使输出为使输出为0：写成矩阵形式：写成矩阵形式：i( )( )( ),N(z)=0P(z)0z , i=1.m( )( )Y zN zG zR zP z零点： 使（）的(1)( )( )( )( )x kFx kGu ky kCx k()( )( )( )( )zIF X zGU zY zCX z000( )( )0( )0z zz zz zY zCX zX z0001( )()( )0( )0z zz zz zX zzIFGU zU z0,( )0,0( )z zzIFGX zCU z ( )( )( )u kKx kr k

5、 (1)() ( )( )x kFGK x kGr k0,( )0,0( )z zzIFGKGX zCR z 00000()(),0,0(),0()()X zX zzIFGKGzIFGCR zCR zKx zl 系统可控，可任意配置系统可控，可任意配置n n个极点个极点l 由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵K K。1. 1. 系数匹配法系数匹配法(1)( )( )x kFGK x kGr k状态反馈闭环系统特征方程状态反馈闭环系统特征方程 det0zIFGK闭环系统期望特征根为

6、闭环系统期望特征根为: : 1,2,iizin闭环系统期望特征方程：闭环系统期望特征方程：12( )()()()0nzzzz对应系数相等，得对应系数相等，得n个代数方程个代数方程可求得可求得n个未知系数个未知系数,1,2,iKin12nKK KK例：试用极点配置法设计单轴卫星姿态控制器，使得闭环例：试用极点配置法设计单轴卫星姿态控制器，使得闭环姿态控制系统具有等效于姿态控制系统具有等效于s s平面上阻尼比为平面上阻尼比为0.50.5和特征根实和特征根实部为部为-1.8-1.8的连续系统特性。设采样周期为的连续系统特性。设采样周期为T T=0.1s=0.1s。( )CDItMM/CuMId/DW

7、MId( )( )tu tW21( )( )( )sU sW ss2( )1( )( )sG sU ss12,xx1122010001xxuAxBuxx 1210 xyCxx21,/2(1)( )( )01TTx kx ku kT12( )(,) ( )u kK Kx k2221212121,1/2/2/2(,)011TT KTT KTFGKK KTTKTK22121222212121/2/2det()det1(/22)(/21)0zT KTT KzIFGKTKzTKzT KTKzT KTK 21,20.80.25( )1.60.7zjzzz 212212/221.6T=0.1 K=(10,3

8、.5)/210.7T KTKT KTK 在( )-(10,3.5) ( )u kx k期望特征方程期望特征方程2. Ackermann公式公式 建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵K的方法，的方法，对于高阶系统，便于用计算机求解对于高阶系统，便于用计算机求解. 11()nncna FFa Fa I11( )nncnazza za闭环系统期望特征方程：闭环系统期望特征方程：1100()CcKWa F12nnCWFG FGFG G其中其中（( )( )u kKx k 6.1 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述 6.2 离散系统的可控可观性离散系统的

9、可控可观性6.3 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计6.4 状态观测器设计状态观测器设计6.5 调节器设计（控制律与观测器的组合）调节器设计（控制律与观测器的组合）状态方程：状态方程：状态估计：状态估计：图图6-10 开环估计器结构图开环估计器结构图估计误差：估计误差：估计误差状态方程：估计误差状态方程：(1)( )x kFx k xxx(1)( )( )x kFx kGu k1. 如果原系统是不稳定的，那么观测如果原系统是不稳定的，那么观测误差将随着时间的增加而发散；误差将随着时间的增加而发散；2. 如果如果F 阵的模态收敛很慢，观测值阵的模态收敛很慢，观测值也不能很快

10、收敛到的值，将影响观测也不能很快收敛到的值，将影响观测效果。效果。3. 开环估计只利用了原系统的输入信开环估计只利用了原系统的输入信号，并没有利用原系统可测量的输出号，并没有利用原系统可测量的输出信号。信号。(1)( )( )x kFx kGu k1. 预测观测器预测观测器( )y k预估预估 (1)x k闭环观测器方程闭环观测器方程 (1)( )( )( )( )( )( )( )x kFx kGu kL y kCx kFLC x kGu kLy k估计误差状态方程：估计误差状态方程：(1) ( )x kFLC x k 观测器极点的配置由观测器极点的配置由F CF的可观性决定。的可观性决定。

11、观测误差产生的原因观测误差产生的原因(1)构造观测器所用的模型（构造观测器所用的模型（数学模型数学模型）参数与真）参数与真 实系统（实系统（物理系统物理系统）的参数不可能完全一致）的参数不可能完全一致(2)观测器与对象的初始状态很难一致，总存在初观测器与对象的初始状态很难一致，总存在初 始误差，一般始误差，一般 设观测值设观测值(3)外干扰、测量噪声外干扰、测量噪声有稳态误差有稳态误差 状态观测器极点配置的目的，使估计偏差状态观测器极点配置的目的，使估计偏差 (0)0 x(0)0 x( )0 x k 2. 现今值观测器：分两步走现今值观测器：分两步走现今值观测器现今值观测器 预估预估 (1)x

12、 k(1)y k 估计估计y(k+1) 得修正值得修正值 (1)(1)(1)(1)x kx kL y kCx k( )( ) (1)( )( ) Fx kGu kL y kC Fx kGu k:L n r( )( )(1)FLCF x kGLCG u kLy k(1) ()x kFLCF x K(1)( )( )(1)(1)( )( )x kFx kGu ky kCx kcFx kCGu k()FLC()FLCF ,C F,CF F( )y k(1)y k 预测估计器预测估计器现今观测器现今观测器转移矩阵转移矩阵可观性可观性 可观可观 可观可观利用的测量值利用的测量值计算时间计算时间 00方法

13、一：系数匹配法方法一：系数匹配法(0）ozT1()0 01OOLF W观测器期望特征多项式：观测器期望特征多项式：方法二方法二 Ackermann公式计算法公式计算法观测器特征方程观测器特征方程det0zIFLC(1) ( )x kFLC x k期望特征方程：期望特征方程：对应系数相等，得对应系数相等，得m个代数方程个代数方程可求得可求得m个未知系数个未知系数,1,2,iLim12TmLL LL11()mmomaFFa Fa I11( )mmomazza za1 TnoWC CFCF其中：其中：系统可观阵系统可观阵21,/2,(1,0)01TTFGCT212( )0zzz112211,(1,0

14、)011LLTTFLCLL2112det()(2)(1)0( )zIFLCzLzLLz 111112221222 1(1)/LLLL TLT11122211,1,(1,0)01011LLTLTTTFLCFLLL T2121det()(2)(1)0( )zIFLCFzLL TzLz 121121221221 1(1)/LL TLLLT 20z 121,1/LLT122,1/LLT假设系统有假设系统有p个状态可测，有个状态可测，有q=n-p个状态需要观测个状态需要观测 12( ) ( )( ) x kpx kx kqnp维可测维可测维需观测维需观测系统状态方程分块：系统状态方程分块： 111121

15、12212222(1)( )( )(1)( )x kFFx kGu kx kFFx kG12( )( )0( )x ky kIx k22222112(1)( )( )( )x kF x kF x kG u k可直接测得可直接测得,作为降维观测器输入作为降维观测器输入 11111122(1)( )( )( )x kF x kG u kF x k可直接测得可直接测得 观测变量观测变量 2122111 11( )( )(1)( )( )y kF x kx kF x kG u k2122( )( )ykF x k222221 1222(1)( )( )( )( )( )x kF x kF x kG u

16、 kL y ky k22222122(1)(1)(1)( )x kx kx kFLFx k 222122211121(1)()( )() ( )() ( )(1)x kFLFx kFLFy kGLG u kLy k21/2,(1,0),0.101TTFGCTT2 ( )x k211122221121,0.1,1,0,/20.005,0.1FFTFFGTGT221210.10.55FLFLL 2111215,0.075FLFGLG 22(1)0.5( )5 ( )0.075 ( )5 (1)xkxky ku ky k现今值观测器现今值观测器 (1)( )( )( )( )X kFX kGu kY

17、 kCX kCCF110100000100,011,cnnFGaaa 1100010010,001001nnoaaFCa1( )( ), ( )nu kKx kKKx k 1pLLL6.1 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述6.2 离散系统的可控可观性离散系统的可控可观性6.3 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计6.4 状态观测器设计状态观测器设计6.5 调节器设计（控制律与观测器的组合）调节器设计（控制律与观测器的组合）(1)( )( )( )( )x kFx kGu ky kCx k ( )( )( )u kKx kr k (1)( )( ) ( )( )x

18、 kFx kGu kL y ky k2n阶阶(1)0( )(1)( )x kFLCx kx kGK FGKx k( )( )( ) x kx kx k0det0zIFLCGKzIFGK0 xIxxIIx det det( )( )0cOzIFLCzIFGKzz观测器特征多项式观测器特征多项式 闭环系统闭环系统 特征多项式特征多项式 分离原理分离原理 组合系统的阶次为组合系统的阶次为2n，它的特征方程分别由观测器及原闭，它的特征方程分别由观测器及原闭环系统的特征方程组成环系统的特征方程组成. 反馈增益反馈增益K只影响反馈控制系统的特征根，观测器反馈增只影响反馈控制系统的特征根，观测器反馈增益益L

19、只影响观测器系统特征根只影响观测器系统特征根. 分离原理：分离原理： -控制规律与观测器可以分开单独设计，组合后各自的控制规律与观测器可以分开单独设计，组合后各自的极点不变，这就是通常的分离原理极点不变，这就是通常的分离原理. det det( )( )0IF+LCIF+GKcOzzzz ( )0cz( )0Oz 把观测器系统与控制规律组合起来，构成控制器把观测器系统与控制规律组合起来，构成控制器. 对对SISO系统，系统，控制器可以看作是一个数字滤波器控制器可以看作是一个数字滤波器. -测量输出为测量输出为y(k)，输出为，输出为u(k)(1) ( )( )( )( ) xF-GK -LC

20、xLyuKxkkkkk 控制器控制器 状态方程状态方程特征方程为特征方程为 det0IF+GK +LCz( ) ( )( )XF-GK -LC XLYzzzz( )( ) UKXzz1( )( )( ) K IF+GK +LCLU zD zzY z数字滤波器数字滤波器 传递函数传递函数Lteminmax(4 10)Lmaxmin11()410LTT 通常选择观测器极点的最大时间常数为控制系统最小时间常通常选择观测器极点的最大时间常数为控制系统最小时间常数的数的(1/41/10) ，由此确定观测器的反馈增益，由此确定观测器的反馈增益L. 观测器极点时间常数越小，观测值可以更快地收敛到真实值，观测

21、器极点时间常数越小，观测值可以更快地收敛到真实值，但要求反馈增益但要求反馈增益L越大。越大。过大的增益过大的增益L，将增大测量噪声，将增大测量噪声，降低观测器平滑滤波的能力，增大了观测误差降低观测器平滑滤波的能力，增大了观测误差. 若观测器输出与对象输出十分接近，若观测器输出与对象输出十分接近，L的修正作用较小，则的修正作用较小，则L可以取得小些可以取得小些. 若对象参数不准或对象上的干扰使观测值与真实值偏差较大，若对象参数不准或对象上的干扰使观测值与真实值偏差较大，L应取得大些应取得大些. 若测量值中噪声干扰严重，则若测量值中噪声干扰严重，则L应取得小些应取得小些. 实际系统设计实际系统设计

22、L时，最好的方法是采用较真实的模型时，最好的方法是采用较真实的模型(包括作包括作用于对象上的干扰及测量噪声用于对象上的干扰及测量噪声)进行仿真研究进行仿真研究 本节讨论的问题也同样适于降维状态观测器本节讨论的问题也同样适于降维状态观测器 21/2,(1,0),0.101TTFGCTT( )( )( )U zD zY z220.80.250.838,1.76Te 22(1)0.5( )5 ( )0.075 ( )5 (1)x kx ky ku ky k2( )(10,3.5)( )10 ( )3.5( )u kX ky kx k 2( )10 ( )3.5( )U zY zxz 2222(1)0

23、.5( )0.075 10 ( )3.5( )5 (1)5 ( )0.238( )5 (1)5.75 ( )x kx ky kx ky ky kx ky ky k255.75 ( )( )0.238zxzY zz55.75( )10 ( )3.5( )0.238zU zY zY zz ( )0.818( )27.5( )0.238U zzD zY zz ( )0.818( )27.5( )0.238U zzD zY zz 例例 天线伺服系统的结构图如图所示。要求用极点配置法设天线伺服系统的结构图如图所示。要求用极点配置法设计使系统满足下述要求：计使系统满足下述要求： 超调量超调量 升起时间升起

24、时间 调节时间调节时间 并设计降维观测器观测天线角速度并设计降维观测器观测天线角速度. 设采样周期设采样周期T=0.1s.%15%0.55rts1sts解：解： 以速度回路作为被控对象，传递函数为以速度回路作为被控对象，传递函数为离散状态方程矩阵离散状态方程矩阵1) 状态反馈设计状态反馈设计由性能指标得到希望极点：由性能指标得到希望极点：求状态反馈增益：求状态反馈增益： 10120( )(0.11) 5(3 10)G ssss112201001020 xxuxx 12()xx，1.00.06320.073600.36791.2642FG；1,2 p=0.3485 j0.30964.11570.2911k 12( )4.1157( )0.2911( )u kKxx kx k det0zIFGK2）设计降维观测器）设计降维观测器 系统为二阶系统，降维状态观测器是一阶环节系统为二阶系统，降维状态观测器是一阶环节.考