大学物理：19-3波函数、薛定谔方程_12

1、作业：作业：练习二十七练习二十七 量子力学量子力学 建立于建立于 1923 1927 年间，年间，两个等价的理论两个等价的理论 矩阵力学和波动力学矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程描述高速运动的粒子的波动方程 . 薛定谔（薛定谔（Erwin Schrodinger，8871961）奥地利物理学家奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学动力学,并建立了量子力学的近似方法并建立了量子力学的近似方法 .19-3 19-3 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程1 1、

2、自由粒子的波函数、自由粒子的波函数设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设沿（设沿X X轴），其动量、能量保持恒定。轴），其动量、能量保持恒定。constE hE constP ph 恒定！恒定！恒定！恒定！从波动观点看来：这种波只能是单色平面波从波动观点看来：这种波只能是单色平面波X一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。hE ph 恒定！恒定！恒定！恒定！从不确定关系来研究：从不确定关系来研究：constP constE 0 P x 0 E t 沿整个沿整个X轴传播轴传播波列长为

3、波列长为 长长结论：自由粒子的结论：自由粒子的De BrDe Brglieglie波是单色平面波波是单色平面波其波函数为：其波函数为：)(20 xtCos 依德布罗依德布罗意关系式意关系式)/(20phxthECos 其波函其波函数为：数为：)(20 xtCos )/(20phxthECos )(20pxEthCos )(10pxEtCos )(10pxEtCos 常写成常写成复数：复数：)(0EtPxie r当粒子沿着当粒子沿着 方向传播时：方向传播时：rZXYkzjyixr kPjPiPPZyx 其中：其中：注意：波函数一般要用复数表示！注意：波函数一般要用复数表示！P)(0EtPxie

4、)(0EtrPie 三维自由粒子的波函数三维自由粒子的波函数二、波函数的统计铨释（波恩二、波函数的统计铨释（波恩Born） 代表什么？只有实践才是检验真代表什么？只有实践才是检验真理的标准，看电子的单缝衍射：理的标准，看电子的单缝衍射：1 1、大量电子的一次性行为：、大量电子的一次性行为：极大值极大值极小值极小值中间值中间值较多电子到达较多电子到达较少电子到达较少电子到达介于二者之间介于二者之间波强度大，波强度大，220 或大大220 或小小波强度小，波强度小，波强介于二者之间波强介于二者之间粒子的观点粒子的观点波动的观点波动的观点 统一地看：粒子出现的统一地看：粒子出现的概率概率正比于正比于

5、220 或2 2、一个粒子多次重复性行为、一个粒子多次重复性行为较长时间以后较长时间以后极大值极大值极小值极小值中间值中间值较多电子到达较多电子到达较少电子到达较少电子到达介于二者之间介于二者之间波强度大，波强度大，220 或大大220 或小小波强度小，波强度小，波强介于二者之间波强介于二者之间粒子的观点粒子的观点波动的观点波动的观点U统一地看：粒子出现的统一地看：粒子出现的概率概率正比于正比于220 或结论结论：1）某某 t 时刻在空间某点时刻在空间某点r处粒子出现的概率与该处粒子出现的概率与该时刻、该地点波函数模的平方成正比。时刻、该地点波函数模的平方成正比。202 （1 1）概率密度）概

6、率密度在在 t 时刻粒子在某时刻粒子在某 r 处单位体积内出现的概率。处单位体积内出现的概率。波函数波函数 是描述粒子在空间某处概率分布的是描述粒子在空间某处概率分布的“概率振幅概率振幅”简称概率幅。简称概率幅。概率幅模的平方概率幅模的平方dxdydzdVdW*2 （2 2）概率：）概率： 代表代表 t 时刻时刻 在在 处单位体积中发现一个粒子的概率处单位体积中发现一个粒子的概率 r t 时刻在时刻在 附近附近dV内发现粒子的概率为：内发现粒子的概率为：r结论：结论：2 2）波函数所描述的是处于相同条件下，大量）波函数所描述的是处于相同条件下，大量 粒子的一次性行为和一个粒子多次性重复粒子的一

7、次性行为和一个粒子多次性重复 性行为。性行为。微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。牛顿说：牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒只要给出了初始条件，下一时刻粒 子的轨迹是已知的，决定性的。子的轨迹是已知的，决定性的。量子力学说：量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道即只知道| | | |2 2大的地方粒子出现的可能性大，大的地方粒子出现的可能性大，| | | |2 2小的地方小的地方概率概率小。一个粒子下一时刻出小。一

8、个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）决定性的）结论：结论：3 3）波函数所代表的波是概率波。）波函数所代表的波是概率波。在在| | | |2 2大的地方大的地方微观粒子出现多微观粒子出现多，| | | |2 2小的地方粒子出小的地方粒子出现少；粒子按波的形式去分配粒子出现的概率。现少；粒子按波的形式去分配粒子出现的概率。例）求一个能量为例）求一个能量为E E、动量为、动量为P P的自由粒子的的自由粒子的概率概率密度。密度。w)(*的共轭复数为 )(0rPEtie )(0rPEtie )(0rPEtie const 20 解：波函

9、数解：波函数且与位置无关。在全空间粒子出现的且与位置无关。在全空间粒子出现的概率概率一样一样).(tr 1 VdVW 3、波函数的性质：、波函数的性质：（1 1）波函数具有有限性）波函数具有有限性在空间是有限函数在空间是有限函数（2）波函数是连续的波函数是连续的只差一微量处概率密度与处的概率密度即在)()(rdrrdrrr （3）波函数是单值的波函数是单值的粒子在空间出现的粒子在空间出现的概率概率只可能是一个值只可能是一个值（4）满足归一化条件满足归一化条件（Narmulisation）1 dVW （归一化条件）（归一化条件）因为粒子在全空间出现是必然事件因为粒子在全空间出现是必然事件问题的提

10、出：问题的提出：物理讨论会（物理讨论会（19261926）薛定谔：你能不能给我们讲一讲薛定谔：你能不能给我们讲一讲De Broglie的那篇学位论文呢？的那篇学位论文呢？瑞士联邦工业大学瑞士联邦工业大学处理波要有一个波动处理波要有一个波动方方程程才行啦！才行啦！德德拜拜薛薛定定谔谔三、三、薛定谔方程：薛定谔方程：瑞士联邦工业大学瑞士联邦工业大学德德拜拜薛薛定定谔谔我的同行提出，要有一个波动方程，今天我的同行提出，要有一个波动方程，今天我找到了一个：我找到了一个： )(222xyztUmti 氢原子能量：氢原子能量：光谱波长：光谱波长：激发态寿命：激发态寿命：薛定谔，波函数，能解很多好薛定谔，波

11、函数，能解很多好东西。若问这是为什么？东西。若问这是为什么？谁也不知道！谁也不知道！散会后：散会后：薛定谔方程是利用经典物理，或薛定谔方程是利用经典物理，或者说开始只不过是一个假定，者说开始只不过是一个假定，后为实验证实。后为实验证实。物理讨论会（物理讨论会（19261926）1、自由粒子的、自由粒子的 Schrding 方程方程设有一作匀速直线运动的自由粒子沿设有一作匀速直线运动的自由粒子沿 X 轴运动。轴运动。（非相对论条件下讨论，低速微粒）（非相对论条件下讨论，低速微粒）适用条件适用条件 c，低速微观粒子，低速微观粒子1 1）一维自由粒子的）一维自由粒子的schrschrdingding

12、方程方程pkEEE ,恒定与不变 PE其波函数为：其波函数为：)1()(0 xPEtixe （1）式对）式对 t 求导：求导：)1()(0 xPEtixe )2( Eit （1）式对）式对 x 求二阶偏导数：求二阶偏导数：)3(2222 xPx i 式)2()4( Eti 自由粒子非相对论条件下总能量：自由粒子非相对论条件下总能量：)5(222222 mPxmx )2/()3(2m 式mPEExk22 （4）、（）、（5）式比较：）式比较：)6(2222xmti 自由粒子一维含时薛定谔方程自由粒子一维含时薛定谔方程2）势场中的薛定谔方程）势场中的薛定谔方程若粒子处在势场中，势能为若粒子处在势场

13、中，势能为U（x，t），总能量：），总能量：)7(),(22txUmPEx )8(),(22txUEmPx 将（将（5）式看成一般情况下的特例：）式看成一般情况下的特例：)5(222222 mPxmx )4( Eti )9(),(2222 txUExm 由（由（4）式：）式：)10(),(2222 txUtixm )11(),(2222 txUxmti 势场中的一维含时薛定谔方程势场中的一维含时薛定谔方程若为三维粒子，薛定谔方程为：若为三维粒子，薛定谔方程为：)12(),()(22222222 tzyxUzyxmti 引入拉普拉斯算符引入拉普拉斯算符2222222zyx )13().(222

14、tzyxUmti 三维含时薛定谔方程：三维含时薛定谔方程：3 3）定态薛定谔方程（重点）定态薛定谔方程（重点）定态，势函数不显含时间，其概率分布也不随时间变化定态，势函数不显含时间，其概率分布也不随时间变化. ),()(22222222tzyxUzyxmti )14()().(tfzyx （14）式代入方程）式代入方程).()(2).(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi )15().().(zyxtzyxU ).()(2).(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi )15().().(zyxtzyxU 等式左边是等式左边是 t 的函数，右边是坐标的函数，

15、但两边又相的函数，右边是坐标的函数，但两边又相等，故等式左右两边均应与等，故等式左右两边均应与 x、y、z、t 无关，现记为无关，现记为E。则：则：E)16()()(Ettftfi 其解：其解：)17()(Etietf 指数应是无量纲的数，指数应是无量纲的数， 的单位是的单位是“焦尔秒焦尔秒”，故，故 E 的的单位只能是能量，实际上是粒子总能量单位只能是能量，实际上是粒子总能量 E。),()(2).(1)()(2222222zyxzyxmzyxttftfi )15(),(),(zyxtzyxU E),()(2),(12222222zyxzyxmzyx )18(),(),(EzyxtzyxU )

16、,(),(),()(22222222zyxtzyxUzyxzyxm )19(),(zyxE )20().().().(222zyxEzyxUzyxm )21(0)(222 UEm整整理理),(zyx ),(zyxUU 定态薛定谔方程定态薛定谔方程)21(0)(222 UEm),(zyx 若定态薛定谔方程已解出为：若定态薛定谔方程已解出为：Etiezyxtzyx),(),( 则粒子的波函数：则粒子的波函数：注意：注意：1 1）定态波函数为一空间坐标函数）定态波函数为一空间坐标函数 与一时间函数与一时间函数 的乘积。的乘积。)(r )(tf2）对于定态，除能量）对于定态，除能量 E 有确定值外，其

17、几率有确定值外，其几率 分布也不随时间变化。分布也不随时间变化。222).().()(zyxezyxtrEti 2 2、薛定谔方程应用举例、薛定谔方程应用举例1 1）一维势阱）一维势阱对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受到强烈的反射，越出需无限大能量到强烈的反射，越出需无限大能量许多情况，粒子束缚在一个很小空间（束缚态）。许多情况，粒子束缚在一个很小空间（束缚态）。+0aU , 0,)(xUaxaxx 0. 0此称无限深势阱此称无限深势阱若

18、是经典粒子，粒子如何运动？若是经典粒子，粒子如何运动？mEE 可取任意值，且各处出现的概率一样可取任意值，且各处出现的概率一样mE量子力学对粒子的分析：量子力学对粒子的分析：)21(0)(222 UEm粒子无法越过势阱故只须考虑粒子无法越过势阱故只须考虑0 x a区间的波函数：区间的波函数：粒子满足一维定态薛定谔方程：粒子满足一维定态薛定谔方程：粒子无法越过势阱故只须考虑粒子无法越过势阱故只须考虑0 x a区间的波函数：区间的波函数：)1(02)()(22)(2 xxxUEmx )2(02)(22)(2 xxEmx 0)( xU令：令：)3(222mEk )4(0)(22)(2 xxkdxd

19、)4(0)(22)(2 xxkdxd )3(222mEk 其解的形式：其解的形式：)5()(ikxikxxDeCe )5()cos()( kxAx0aUmE )5(cossin)(kxBkxAx 由边界条件：由边界条件：)6(0)(,)(,0)0(,)0(,0 aaUaxUx )7(0cos0sin0BA )8(cossin0kaBkaA 代入式（代入式（5 5）由（由（7）式）式:B=0 )5(cossin)(kxBkxAx 0aUmE) 3(222mEk 由（由（8 8）式）式: :0sin kaA0sin ka nka 3 . 2 . 1 n代入式（代入式（5）)10(sin)(xanA

20、x )11(sin)(EtixxeanA （a）波函数）波函数: :)9(ank 3 . 2 . 1 nmE0aUX)11(sin)(EtixxeanA 由归一化条件由归一化条件: : aaxdxaxnAdxdx0202)(21)sin( 122 aA)12(2aA )3(222mEk 代入（代入（10）、（）、（11）式）式:)12(sin2)(xanaxn )13(sin2)(Etinxeanax （定态波函数）（定态波函数）3 . 2 . 1 n)15(sin2)(222axnaxn 粒子出现粒子出现的概率：的概率：（b）能量公式：）能量公式：由式（由式（3 3）、式（）、式（9 9）222)(2anmEk )14(2)(2222manEn 3 .2 .1 n)3(222mEk )9(ank )14(2)(2222manEn 3 .2 .1 n结论：结论：1）能量是量子化的，且无）能量是量子化的，且无 0 值。值。能量最小值：能量最小值：082222221 mahmaE aq ap2/ 0 E波粒二象性的必然结果！波粒二象性的必然结果！2 2）粒子在空间不同的地方出现的概率是不同的。）粒子在空间不同的