热力学统计物理课后作业讲稿

1、.1.1 试求理想气体的体胀系数试求理想气体的体胀系数a a，压力系数，压力系数b b和等温压缩系数和等温压缩系数k kT。 TnRTnRpnRVpnRTTVTVVpp1111aTnRTnRVnRpVnRTTpTppVV1111bpVpRTpnRTVpnRTpVpVVTTT111122k解：由理想气体的状态方程pV=nRT和a，b和kT的定义式可得： (1)(2)(3).证明任何一种具有两个独立参量证明任何一种具有两个独立参量T，p的物质，其物态方程可由的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数实验测得的体胀系数a a及等温压缩系数及等温压缩系数k kT，根据下述积分求得：，根据下述积分求得：

2、)(dpkdTInVTa，T1apkT1如果如果，试求物态方程。，试求物态方程。.1.8 满足满足pVn=C的过程称为多方过程，其中常数的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证，理想气名为多方指数。试证，理想气体在多方过程中的热容量体在多方过程中的热容量Cn为为VnCnnC1.1.12 设理想气体的设理想气体的Cp和和CV之比之比 是温度的函数，试求在准静态绝热过程中是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和和V的关系。这个关系式中要用到一个函数的关系。这个关系式中要用到一个函数F(T)，其表达式为，其表达式为 TdTTInF) 1()(.1.14 根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相

3、交根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交解：用反证法来证明。解：用反证法来证明。两条绝热线交于一点两条绝热线交于一点C，一条等温线，一条等温线T与两条绝热线分别交于与两条绝热线分别交于A和和B两点两点（这样的等温线总能找到，因为等温线的斜率总是比绝热线的斜率小）。（这样的等温线总能找到，因为等温线的斜率总是比绝热线的斜率小）。把把ABCA认为是可逆循环，在循环中，仅在等温过程中系统吸收认为是可逆循环，在循环中，仅在等温过程中系统吸收热量热量Q，系统对外作功的量值等于面积，系统对外作功的量值等于面积ABC。因此在循环过程中，系统。因此在循环过程中，系统从单一热源吸收热量完全转化为有用的功而不引

4、起其他变化，这违背了从单一热源吸收热量完全转化为有用的功而不引起其他变化，这违背了热二定律的开氏表述。因而，两条绝热线不能相交。热二定律的开氏表述。因而，两条绝热线不能相交。此外还有很多种证明的方法。此外还有很多种证明的方法。pVABC.1.15 热机在循环中与多个热源交换热量。在热机从其中吸收热量的热源中，热机在循环中与多个热源交换热量。在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为热源的最高温度为T1，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为T2.试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过121TT.物体的

5、初温物体的初温T1高于热源的温度高于热源的温度T2。有一热机在此物体与热源之间工作，直到将。有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到物体的温度降低到T2为止。若热机从物体吸取的热量为为止。若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为证明，此热机所能输出的最大功为其中其中S1-S2是物体的熵减少量。是物体的熵减少量。)(212maxSSTQW.1.23 简单系统有两个独立参量，如果以简单系统有两个独立参量，如果以T，S为独立参量，可以纵坐标表示温度为独立参量，可以纵坐标表示温度T，横坐标表示熵，横坐标表示熵S，构成，构成T-S图。图中

6、的一点与系统的一个平衡态、一条曲线图。图中的一点与系统的一个平衡态、一条曲线与一个可逆过程相应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用与一个可逆过程相应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用T-S图图求卡诺循环的效率。求卡诺循环的效率。解：分析，在T-S图上，可逆等温过程是平行于横纵的曲线，而可逆绝热过程由于熵不变，因此是平行于纵轴的曲线。T-S图上的卡诺循环曲线为 STT1T21234.0HpS0UVS2.3 求证：(a) ; (b) .0TVU0TpU2.4 已知，求证 .2.5 试证明一个均匀物体在准静态等压过程中的熵随体积的增减试证明一个均匀物体在准静态等压过程中的熵随体积的

7、增减取决于等压下温度随体积的增减。取决于等压下温度随体积的增减。VTCTCVTVVTTSTVTVTTSTTVTSVTTSVSpppppppppppaa111VTCTCVTVVTTSTVTVTTSTTVTSpTpVpTpSpVpSVSpppppppppaa111),(),(),(),(),(),(符号一致。和对于均匀物体ppTVVSVT, 0, 0.，pTpVTVTVTpCTpTVC2222,0220VVVVVdVTpTCCpppppdpTVTCC02202.8 证明证明并由此导出并由此导出根据上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温根据上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是

8、温度度T的函数。的函数。 . 2.12 一弹簧在恒温下的恢复力一弹簧在恒温下的恢复力X与伸长与伸长x成正比，即成正比，即X=-Ax，比，比例系数例系数A是温度的函数。今忽略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自是温度的函数。今忽略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能由能F，熵，熵S和内能和内能U的表达式分别是：的表达式分别是： ,21)0 ,(),(2AxTFxTF,2)0 ,(),(2dTdAxTSxTS).(2)0 ,(),(2dTdATAxTUxTU .AxdxSdTdF.-.7.16 已知粒子遵从经典波尔兹曼分布，其能量表达式为已知粒子遵从经典波尔兹曼分布，其能量表达式为bxaxpppmzyx222

9、221其中，其中，a, b是常量，求粒子的平均能量。是常量，求粒子的平均能量。将能量表达式进行配方，将能量表达式进行配方，ababxapppmzyx422122222ababxapppmzyx422122222共含共含4个平方项个平方项由能量均分定理得，由能量均分定理得，abkT42142.8.8证明: (1) 根据普朗克公式，可知平衡辐射内能按圆频率的分布：decdTukT11),(332再根据c2可得，dcd22代入，可得 平衡辐射内能密度按波长的分布：18),(5kThcedhcdTu(2) 令 ，式变为：kThcx18),(54455xexchTkTu.则，使u(,T)取极大值的波长m

10、由下式确定：由于上式数值解为x=4.9651, 则，代入 ，有kThcxkhcTm9651. 4015xexdxd解得，55xex.8.14 求绝对零度下金属自由电子气体中电子的平均速率求绝对零度下金属自由电子气体中电子的平均速率解：根据绝对零度下金属自由电子气体的性质，可知绝对零度下金属自由电子气体的性质，可知T=0K时时一个量子态上的平均电子数：一个量子态上的平均电子数：)0(, 0)0(, 1ff考虑到 ，可将上式改为用动量表示的形式：mp22)0(, 0)0(, 1ppfppf其中p(0)为费米动量，是0K下电子具有的最大动量。且p(0)2=2m由于在体积V内，T=0K，能量在pp+dp内的量子态数为：dpphV238.则，电子的平均动量为：)0(43)0(31)0(418834)0(023)0(033pppdpphVdpphVppp因此，电子的平均速率为：mpmpv)0(43.8.18 求极端相对论条件下自由电子气体在求极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、时的费米能量、内能和简并压。内能和简并压。解：已知极端相对论条件下的能量动量关系：=cp由于在体积V内，+d的能量范围内的量子态数：dchVdD238)(此处考虑的电子自旋的影响)绝对零度下金属自由电子气体一个量子态上的平均电子数：绝对零度