防灾地球物理场论课件2-第二章稳定磁场

1、 1 1、真空中恒定磁场的基本方程、真空中恒定磁场的基本方程 2 2、矢量磁位、矢量磁位 3 3、磁偶极子、磁偶极子 4 4、磁介质中的基本方程、磁介质中的基本方程 5 5、 不同磁介质分界面的边界条件不同磁介质分界面的边界条件 6 6、标量磁位、标量磁位第二章 稳定磁场 2.1 2.2 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 安培力的实验定律指出：安培力的实验定律指出：在真空中载有电流在真空中载有电流I 1的回的回路路C1上任一线元上任一线元 对对另一载有电流另一载有电流I2的回路的回路C2上任一线元上任一线元 的作用的作用力为力为11I dl22I dl02211212233011()44I

2、 dlI dlRdFI dlI dlRRR1、电流产生磁场的规律、电流产生磁场的规律电流元电流元 受的作用实际是电流元受的作用实际是电流元 产生的磁场对它的作用产生的磁场对它的作用,11I dl22I dl02321114dFII dlRdlR即电流元即电流元 在电流元在电流元 处产生的磁场处产生的磁场 为为11I dl22I dl011134I dlRdBR上式就是熟知的上式就是熟知的毕毕萨萨定律定律1dB对于整个线电流产生的磁感应强度为对于整个线电流产生的磁感应强度为 若电流是具有体分布的电流若电流是具有体分布的电流 ，则为，则为 J若电流是具有面分布的电流若电流是具有面分布的电流 ，则为

3、，则为 SJ034CCIdlRBdBR叠加原理叠加原理/03( )( )4VJ rRB rdVR积分公式积分公式/03( )( )4SSJrRB rdSR积分公式积分公式 磁感应强度可用一系列有向曲线来表示。曲线上某磁感应强度可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点的切线方向为磁感应强度矢量的方向，这些曲线称为点的切线方向为磁感应强度矢量的方向，这些曲线称为磁感线（磁力线）磁感线（磁力线） 。磁场线的矢量方程为。磁场线的矢量方程为 0B dl2、磁场的几何描述、磁场的几何描述磁感线磁感线3、恒定磁场的基本方程、恒定磁场的基本方程 1） 磁通连续性原理磁通连续性原理 （磁场的高斯定理）（磁场的高斯定

4、理）mSB dS/034CCI dlRBdBR以线电流的磁场为例，求一闭合曲面的磁通量以线电流的磁场为例，求一闭合曲面的磁通量003344mSCCSIdlIdlRRdSdSRR 故故上式上式可写为可写为 31RRR 014mSCSIdlB dSdSR由矢量恒定式由矢量恒定式 VSAdVA dS 014mSCVIdlB dSdVR10R0SB dS0mSB dS磁通连续性原理（磁场的高斯定理）磁通连续性原理（磁场的高斯定理）0SVB dSBdV由于上式中积分区域由于上式中积分区域V是任意的，是任意的， 所以对空间的各点，所以对空间的各点， 有有 0B 上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应

5、强度上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度 是一个无源是一个无源(指指散度源散度源)场。场。 B2）安培环路定理）安培环路定理 0CB dlI 其中的电流其中的电流I为穿过以闭合曲线为穿过以闭合曲线C为边界的曲面上电流的代为边界的曲面上电流的代数和，即电流与闭合曲线相交链。数和，即电流与闭合曲线相交链。()CSSB dlBdSIJ dS0()SSBdSJ dS因上式的积分区域因上式的积分区域S是任意的，是任意的， 因而有因而有 0()SSBdSJ dS0BJ 上式是安培环路定理的微分形式，它说明磁场的涡旋源是上式是安培环路定理的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流电流。真空中恒定磁场的

6、基本方程真空中恒定磁场的基本方程 微分形式微分形式积分形式积分形式0BJ0CB dlI0B0SB dS1、定义、定义0BBA 2.3 矢矢 量量 磁磁 位位 定义：定义：BA 为矢量磁位为矢量磁位(简称磁矢位简称磁矢位)，其单位是，其单位是Tm(特斯拉特斯拉米米)或或Wb/m(韦伯韦伯/米米)。矢量磁位是一个辅助量。矢量磁位是一个辅助量。A 某点磁感应强度某点磁感应强度 B 等于该点矢量等于该点矢量磁位磁位 A 的旋度。的旋度。AAAB 关于关于矢量磁位矢量磁位说明说明：1）对于磁矢位散度的规定）对于磁矢位散度的规定BA 因为因为 仅仅规定了磁矢位仅仅规定了磁矢位 的旋度，由亥姆的旋度，由亥姆

7、霍兹定理知：还必须规定其散度，否则霍兹定理知：还必须规定其散度，否则 不唯一，如：不唯一，如：AA 、 具有相同的旋度，说明具有相同的旋度，说明 不唯一，应规定其散度。不唯一，应规定其散度。AA/A 若有一矢量若有一矢量 满足满足 ，另一矢量，另一矢量（ 是一个任意标量函数），是一个任意标量函数）， 和和 是是两个不同的矢量函数两个不同的矢量函数。BA /AAAA/A0A规定规定2）磁通的计算可通过矢量磁位计算）磁通的计算可通过矢量磁位计算mSSCmSCB dSA dSA dlB dSA dl （ 库仑规定库仑规定 ）C是曲面是曲面S的边界线。的边界线。00BJBAAJ 使用矢量恒等式使用矢量

8、恒等式 2()AAA 20AJ 2、矢量磁位方程、矢量磁位方程0A由关于由关于 散度的规定散度的规定A20A20AJ 磁矢位的泊松方程磁矢位的泊松方程对于无电流分布的区域对于无电流分布的区域( )，磁矢位满足矢量拉普，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程拉斯方程 0J 关于磁场的求解问题，可归结为求解磁矢位的泊松方程关于磁场的求解问题，可归结为求解磁矢位的泊松方程或拉普拉斯方程的边界问题或拉普拉斯方程的边界问题 zzyyxxJAJAJA020202其分量方程为其分量方程为每一个分量方程都是一个二阶的偏微分方程。每一个分量方程都是一个二阶的偏微分方程。对于球坐标和圆柱坐标，其表达式不是这样简单。对于球坐标

9、和圆柱坐标，其表达式不是这样简单。在直角坐标系中在直角坐标系中2222xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae AAeAeAeA关于磁矢位积分表达式关于磁矢位积分表达式 与静电场的电位方程比较，可得在直角坐标系中对于与静电场的电位方程比较，可得在直角坐标系中对于（体）电流分布，关于磁矢位的积分表达式（体）电流分布，关于磁矢位的积分表达式/000444xxVyyVzzVJAdVRJAdVRJAdVR将其写成矢量形式为将其写成矢量形式为 /0()( )4VJ rA rdVR若磁场由面电流若磁场由面电流 JS 产生，其磁矢位为产生，其磁矢位为 /0()( )4SSJrA rdSR线电流产生的磁矢位为

10、线电流产生的磁矢位为 /0()( )4lIdlrA rR 例例1 求长度为求长度为l 的载流直导线的磁矢位。的载流直导线的磁矢位。解解 : 用矢量磁位的叠加计算用矢量磁位的叠加计算取一电流元取一电流元 ，在场点的，在场点的矢量磁位矢量磁位 为为/IdzdA/002/244()zdAe dAIIdzdzdARrzz22llzAedA/2022 1/2/222 1/2022 1/24() ( /2) ( /2)ln4( /2) ( /2)llIdzArz zIlzlzrlzlzr 当当l z 时有时有 22 1/2022 1/2/2 ( /2)ln4/2 ( /2)IllrAllr若考虑若考虑l

11、r, 即是无限长的载流导线，则有即是无限长的载流导线，则有 200lnln42IIllArr 当电流分布在当电流分布在无限区域时，一般应指定一个磁矢位的参考无限区域时，一般应指定一个磁矢位的参考点，点， 可以使磁矢位不为无穷大。可以使磁矢位不为无穷大。若指定若指定 r = r0 处为磁矢位的零处为磁矢位的零点时，有点时，有 00ln2zIrAer200lnln42zzIIllA eerr 对上式，对上式， 用圆柱坐标的旋度公式，可求出用圆柱坐标的旋度公式，可求出 02IABAeerr 00ln2zIrAer02IBer 例例2 求一对载相同电流、但流向相反的的载流直导线的磁求一对载相同电流、但

12、流向相反的的载流直导线的磁场。场。12AAA解解 : 00110022ln2ln2zzIrAerIrAer 221/21221/22(2cos )(2cos )rraarrraar021221/20221/222022ln2(2cos )ln2(2cos )2cosln42coszzzIrAerIraareraarIraareraar在圆柱坐标中在圆柱坐标中 1rAABAeerr 2202212()sin0zIa raABrr rB 2202212()sin1rIa raABrr r 例例3 用磁矢位重新计算半径为用磁矢位重新计算半径为a a、载流为、载流为I I的长直圆柱的长直圆柱导线的磁场

13、。导线的磁场。 解：解： 20zIeJa r a r a 从电流分布可以知道磁矢位仅有从电流分布可以知道磁矢位仅有z分量，而且它只是坐标分量，而且它只是坐标r的函数，即的函数，即 ( )zAe A r201121aIrArrrA设在导线内磁位是设在导线内磁位是 , 导线外磁位是导线外磁位是 1A2A r a 01222rArrrA201122ln4IrACrCa 234lnACrCr a 因为因为 ，A1必须有限，有必须有限，有C1 =00r 201224IrACa （r a） （ r a ）可求出导线内、可求出导线内、 外的磁场分别为外的磁场分别为 031222IrCBeBear 203IC

14、导体外部的磁感应强度为导体外部的磁感应强度为 022IBerABAer 常数常数C3 的确定可根据在圆柱面上的边界条件计算为的确定可根据在圆柱面上的边界条件计算为2.4 2.4 磁磁 偶偶 极极 子子载流为载流为I I、半径为、半径为a a的圆电流的圆电流位于位于xyxy平面，有平面，有 ，可将可将圆电流称为磁偶极子，圆电流称为磁偶极子，常用磁矩常用磁矩 描述它描述它arm2mI a nISn求磁偶极子产生的远区磁场求磁偶极子产生的远区磁场利用矢量磁位的积分公式求解利用矢量磁位的积分公式求解0044CCIIdldlARR利用矢量公式利用矢量公式CSdlndS/1()zCSdledSRR/023

15、1()RRRRRar因为求的是磁偶极子产生的远区磁场，因为求的是磁偶极子产生的远区磁场， ，故有，故有2200RrRr3()zCSdlredSRr因为上式积分是对圆面积进行的，因为上式积分是对圆面积进行的，即积分与即积分与r无关，且无关，且xyzrxeyeze001xyzzxyeeeeryexexyz 2331()()xyxyCSdlayexedSyexeRrr2003()44xyCIIdlaAyexeRr220032220032sinsin44sincos44xyIIaaAyrrIIaaAxrr 202202sinsin4sincos40 xyzIaArIaArA 矢量磁位矢量磁位 位于平行

16、位于平行xyxy平面内，平面内，将其在球坐标中表示，则知仅有将其在球坐标中表示，则知仅有 分量存在分量存在AA22220200sin4rxyzIaAAAAAAr220023sin()44zIam rAeme I arr其中03sin12sinsin(2cossin )4rrrerereBArrArArAmBeer 0033(2cossin )44rmm rBeerr磁偶极子产生的远区磁场磁偶极子产生的远区磁场与电偶极子产生的远区电场比较与电偶极子产生的远区电场比较30(2cossin )4rpEeer其场在空间的分布相同其场在空间的分布相同 位于外磁场中的磁偶极子，会受到外磁场的作用力及其位于

17、外磁场中的磁偶极子，会受到外磁场的作用力及其力矩，其作用力和力矩的公式分别为力矩，其作用力和力矩的公式分别为 ()FmBTmB 2.5 2.5 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 1）磁化强度定义）磁化强度定义 0limiVmMV N VmMNmV式中式中 是是体积元体积元V内的任一内的任一分子磁矩。如在磁化介质中的体积分子磁矩。如在磁化介质中的体积元元V内，每一个分子磁矩的大小内，每一个分子磁矩的大小和方向全相同和方向全相同(都为都为 )， 单位单位体积内分子数是体积内分子数是N， 则磁化强度为则磁化强度为 imm1、介质的磁化、介质的磁化2 ）磁化电流）磁化电流 /03()()4M rdVR

18、dAR /其中R = r- r设磁化介质的体积为设磁化介质的体积为V V，表面，表面积是积是S S，磁化强度，磁化强度 ，计算在，计算在介质外部任一点的矢量磁位。介质外部任一点的矢量磁位。M取体积元取体积元d dV V ， 将其中的介将其中的介质当成一磁偶极子，其磁矩质当成一磁偶极子，其磁矩为为 ，它在，它在 处产生的处产生的磁位是磁位是/MdVr全部磁介质在全部磁介质在 处产生的磁矢位为处产生的磁矢位为 030( )41()4VVM rRAdVRMdVR将上式改写为将上式改写为 00 ()44VVMMAdVdVRR r利用矢量恒等式利用矢量恒等式 VSFdVFdS 将磁矢位的表示式变形为将磁

19、矢位的表示式变形为 /0044VSMMnAdVdSRR mmSJMJMn 磁化（体）电流密度磁化（体）电流密度磁化（面）电流密度磁化（面）电流密度左为磁化电流示意图。左为磁化电流示意图。磁介质磁化后将磁介质磁化后将有有磁化电流磁化电流存在，它是由磁介质内分子存在，它是由磁介质内分子电流的电流的有序取向有序取向形成的。磁化电流也要形成的。磁化电流也要产生磁场，从而影响原外磁场。产生磁场，从而影响原外磁场。2、 磁场强度磁场强度 00()()mmCSB dlIIJJdS00CCB dlIM dl0CBMdlImJM 在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流，磁化

20、电流和外磁化电流和外传导电流传导电流 都产生磁场，应将真空中的安培环路定律修改为：都产生磁场，应将真空中的安培环路定律修改为： I令令 0BHM磁场强度磁场强度，单位是，单位是A/m(安培安培/米米) CH dlI关于关于 安培环路定律安培环路定律H与之相应的微分形式是与之相应的微分形式是 HJJ为自由电流密度为自由电流密度3、 磁导率磁导率 0()BHM对于对于线性的均匀线性的均匀磁介质，有关系为磁介质，有关系为 mMH式中式中 是一个无量纲常数，称为磁化率，顺磁介质的是一个无量纲常数，称为磁化率，顺磁介质的 ， 抗磁介质的抗磁介质的 ，且这两类介质的，且这两类介质的 量级。量级。m0m0m

21、5| 10m000()(1)mrBHMxHHH 00(1)mrBxHHH 式中式中 是介质的相对磁导率，是一个无量纲数。是介质的相对磁导率，是一个无量纲数。而而 ，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(H/m(亨亨/ /米米) )。 铁磁材料的铁磁材料的 和和 的关系是非线性的，且不是的单值函的关系是非线性的，且不是的单值函数，数， 会出现磁滞现象，其磁化率会出现磁滞现象，其磁化率 的变化范围很大，可以的变化范围很大，可以达到达到10106 6量级。量级。 1rm 0r BHm 磁导率为无限大的媒质称为磁导率为无限大的媒质称为理想导磁体理想导

22、磁体。在理想导磁。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，因为由式体中不可能存在磁场强度，因为由式 可见，将有可见，将有无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。HB 边界上磁场强度的切向分量是连续的，因边界上磁场强度的切向分量是连续的，因此，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度此，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，即的切向分量，即磁场强度必须垂直于理想导磁磁场强度必须垂直于理想导磁体表面体表面。 H例、例、 在具有气隙的环形磁芯

23、上紧密绕制在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制N 匝线匝线圈，如图示。当线圈中的恒定电流为圈，如图示。当线圈中的恒定电流为 I 时，若时，若忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求磁芯磁芯及及气隙气隙中的磁感应强度及磁场强度。中的磁感应强度及磁场强度。 解解 忽略漏磁通，磁感应强度的方向沿环形圆周。忽略漏磁通，磁感应强度的方向沿环形圆周。由边界条件知，气隙中磁感应强度由边界条件知，气隙中磁感应强度Bg等于磁芯中的等于磁芯中的磁感应强度磁感应强度Bf ，即，即fg0fg HHBB 围绕半径为围绕半径为r0的圆周，利用媒质中的安培环路定律，且考虑到的圆周，利用媒质中的安培环路定律，且

24、考虑到 r0 a ， 可以认为线圈中磁场均匀分布，则由安培环路定理可以认为线圈中磁场均匀分布，则由安培环路定理有有 gf0 0(2 )BBdrdNI 0gf 00 (2 )NIBBedrd 气隙中的磁场强度气隙中的磁场强度Hg 为为 gg 0 00 (2 )BNIHdrd磁芯中的磁场强度磁芯中的磁场强度 Hf 为为 0ff 00 (2 )NIBHdrd01grfHH4 4、 磁介质中恒定磁场基本方程磁介质中恒定磁场基本方程 0BHJ0SCB dSH dlI2AJ BH微分形式微分形式 积分形式：积分形式： 各向同性的均匀磁介质各向同性的均匀磁介质对于均匀介质对于均匀介质( ( 为常数为常数)

25、)， 满足矢量泊松方程满足矢量泊松方程 A 例例 半径为半径为a a、高为、高为L L的磁化介质柱的磁化介质柱( (如图所示如图所示) )，磁化强度，磁化强度为为M M0 0( (M M0 0为常矢量，且与圆柱的轴线平行为常矢量，且与圆柱的轴线平行) )，求磁化电流，求磁化电流J Jm m和磁和磁化面电流化面电流J JmSmS。 解：取圆柱坐标系的解：取圆柱坐标系的z轴和轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质柱的中轴线重合， 磁介磁介质的下底面位于质的下底面位于z=0处，上底面处，上底面位于位于z=L处。处。0()0mzJMM e 0()0mSzzJMnM ee 00mSzzJMnM ee00mSz

26、rJMnM eeM e在界面在界面z=0上，上， zne 在界面在界面z=L上，上， zne在界面在界面r=a上，上， rne 2.6 磁场的边界条件磁场的边界条件 1、 法向分量边界法向分量边界条件条件 21212211()coscos0SB dSBn SB n SnBBSBB 0SB dS磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为 21()0(1)nBB21nnBB由由 有有BH2211nnHH 2、 切向分量边界条件切向分量边界条件 lSH dlJ dS21212121()()()lH dlHl lHlllHHlbnHHlb nHHl 因

27、为因为 h0，如果分界面的薄层内有自由电流，如果分界面的薄层内有自由电流， 则为面电流，则为面电流，在回路所围的面积上在回路所围的面积上 0limsSShJ dSJb lJb l 21()Sb nHHJb 21()Sb nHHJb 21()(2)SnHHJ21ttSHHJ如果分界面处没有自由面电流，则如果分界面处没有自由面电流，则 21ttHH即即 2121ttBB2121()0()0nHHnBB 若两种介质分界面不存在电流，则在分界面处的边界条件为若两种介质分界面不存在电流，则在分界面处的边界条件为 相应的标量形式为相应的标量形式为 1212ttnnHHBB1122tantan分界面处的折射定理分界面处的折射定理 折射定理表明，磁力线在分界面上通常要改变方向。折射定理表明，磁力线在分界面上通常要改变方向。 若介质若介质1为铁磁材料，介质为铁磁材料，介质2为空气，此时为空气，此时2 1, 有有 2 1，及，及 B2 B1 假如假如1=10000, 2=0，在这种情况下，当，在这种情况下，当=87时，时，2=1.09，B2 / B1=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强度远大于外部的磁感应强度，同时外强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁力线几乎与铁磁部的磁