理论物理导论-第一章1)

1、第一章第一章 拉格朗日方程拉格朗日方程 与哈密顿方程与哈密顿方程u 分析力学初步分析力学初步1 低速宏观运动的基本原理，除了牛顿三定律表述外，还有拉格朗日表述方式和哈密顿表述方式。这些表述方式实质内容相同，只是表达形式有差别。拉氏表述和哈氏对客观规律的本质反映得更清楚，而且便于推广到高速和微观情况。n约束约束n力学系统力学系统( (力学系，力学体系，体系力学系，力学体系，体系) )：n 个相互个相互作用的质点构成一个力学系统作用的质点构成一个力学系统n位形：力学系的位置状态，位形：力学系的位置状态，n 个质点需要个质点需要 3 3n 个坐个坐标参量标参量( (x1 1, ,y1 1, ,z1

2、1), (), (xn, ,yn, ,zn) )来确定，或写为来确定，或写为 xi ( (i=1,3=1,3n) )1-1 自由度 约束与广义坐标n约束：限制质点自由运动的条件约束：限制质点自由运动的条件n例：例：Oxy 平面的曲柄连杆的约束平面的曲柄连杆的约束2n约束方程约束方程设质点组各质点的位置是设质点组各质点的位置是 ，速度是，速度是有有 k 个约束个约束n对于一个具有对于一个具有 n 个质点的体系，如果存在个质点的体系，如果存在 k 个约束个约束( (方程方程) )，那么在确定体系位形变化的，那么在确定体系位形变化的 3 3n 个坐标参个坐标参量中，只有量中，只有 3 3n - -

3、k = = s 个参量可以独立变化个参量可以独立变化n例：水分子体系的例：水分子体系的位形？位形？无无约束约束水蒸气，有约束水蒸气，有约束冰冰3n约束的种类约束的种类n几何约束，微分约束几何约束，微分约束n几何约束几何约束( (完整约束完整约束) )：限制质点的几何位置：限制质点的几何位置例：例：Oxy 平面的曲柄连杆的约束平面的曲柄连杆的约束约束方程的一般形式约束方程的一般形式 只存在完整约束的力学系称为只存在完整约束的力学系称为完整系完整系. .4n微分约束微分约束( (不完整约束不完整约束，运动约束，运动约束) )：约束方程中含：约束方程中含有时间的有时间的一次微分变量一次微分变量( (

4、如速度如速度) )，并且不可解为坐，并且不可解为坐标之间的关系标之间的关系例：大环和小盘例：大环和小盘例：沿直线轨道作纯滚动的车轮例：沿直线轨道作纯滚动的车轮约束方程的一般形式约束方程的一般形式 存在不完整约束的力学系称为不完整系存在不完整约束的力学系称为不完整系. .5n稳定约束，不稳定约束稳定约束，不稳定约束n稳定约束稳定约束：约束方程：约束方程中中不会明显地含有时间变量不会明显地含有时间变量 t 例：一个质点被约束在一个固定不动的球面上运动例：一个质点被约束在一个固定不动的球面上运动约束方程的一般形式约束方程的一般形式n不稳定约束不稳定约束：约束方程：约束方程中中明显地含有时间变量明显地

5、含有时间变量 t t 例：一个质点被约束在一个不断变化的球面上运动例：一个质点被约束在一个不断变化的球面上运动约束方程的一般形式约束方程的一般形式6n可解约束，不可解约束可解约束，不可解约束n不可解约束不可解约束：约束：约束始终不能解除始终不能解除 例：一个质点连结刚性的杆子例：一个质点连结刚性的杆子 质点到连结点的距离只能是杆长，即始终不质点到连结点的距离只能是杆长，即始终不能脱离约束能脱离约束n可解约束可解约束：约束：约束在在某范围内可以被解除某范围内可以被解除 例：一个质点连结在不可伸长的软绳上例：一个质点连结在不可伸长的软绳上质点到连结点的距离不能大于绳长，质点到连结点的距离不能大于绳

6、长，但可接近连结点，即不大于但可接近连结点，即不大于 r 的范围的范围内脱离了约束内脱离了约束n以后仅限于讨论完整、以后仅限于讨论完整、稳定稳定的约束的约束7n自由度自由度n能完全描述一个力学系的运动所需要的、独立参量变更数能完全描述一个力学系的运动所需要的、独立参量变更数目，称为力学体系的自由度目，称为力学体系的自由度n对于一个具有对于一个具有 n 个质点的体系，如果存在个质点的体系，如果存在 k 个约束方程，个约束方程，那么体系的自由度是那么体系的自由度是 s = = 3 3n - - kn如果如果 k 个约束方程都是几何约束，那么独立坐标参量个约束方程都是几何约束，那么独立坐标参量的数目

7、等于的数目等于体系的自由度体系的自由度n如果约束方程中存在微分约束，那么独立坐标参量的如果约束方程中存在微分约束，那么独立坐标参量的数目大于体系的自由度数目大于体系的自由度为什么？为什么？k 个约束方程不能完全确定个约束方程不能完全确定 k 个参量个参量8n广义坐标广义坐标n用用 s ( ( s = = 3 3n - - k ，k 个约束方程个约束方程) )个独立坐标参量个独立坐标参量 q1,qs 的函数表示体系的的函数表示体系的 3 3n 个坐标参量个坐标参量 这这 s 个独立坐标参量个独立坐标参量 ( (能完全确定质点组的位能完全确定质点组的位置置) )称为拉格郎日的广义坐标；称为拉格郎日

8、的广义坐标；广义坐标可以是线坐标，角坐标或其他参量，但并不一定组成矢量或坐标系，只需规定零点和方向。广义坐标对时间的导数称广义速度。 n例例：摆长为：摆长为 l 的单摆的单摆对摆锤的约束方程对摆锤的约束方程独立坐标变量独立坐标变量 x, ,y 或独立参量或独立参量 都可以作为广义坐标都可以作为广义坐标( (广义坐标表述隐含了广义坐标表述隐含了约束方程约束方程) )9 例如，对约束在空间固定曲线上运动的质点，可用自始点计量的路程s作广义坐标； 再例如，用细杆约束在竖直平面内摆动的质点，可用杆与铅垂线的夹角作广义坐标。10讨论：1）广义坐标不限于长度量纲，也可以是：角度 3）广义坐标已经体现出约束

9、方程的要求，就不必再列出约束方程，约束越多，广义坐标的个数越少，原则上说，问题变得越简单，广义坐标的这些特点具有很大的优越性。电量q，面积A，体积V，电位移矢量，磁化强度 2）自由度对一个系统是唯一确定的，广义坐标则可多种选取。例：113 3 拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程在以上的基本概念理解的基础上，我们来从牛顿运动定律出发，导出用广义坐标表示的完整保守系的动力学方程，也就是完整保守系的拉格朗日运动方程（这里只介绍最理想的情况），由于应用较多，以后直接称为拉格朗日运动方程。 12首先介绍完整保守系完整保守系的概念：完整系：几何约束+可积分的微分约束保守系：指的此力学系统中的力所做 之功，仅

10、与起末位置有关， 而与具体的途径无关。13具有保守性质的力场，一定可以引入一个位置函数U（x,y,z)，而此力所做之功为：按照功与途径无关的性质，dU应该为一全微分比较两式，得到dUdzFdyFdxFzyxdzzUdyyUdxxUdUixixUFiyiyUFizizUF14设有由N个质点构成的质点系，其第i个质点的三个直角坐标为xi,yi,zi，质量为 则N个质点的牛顿运动方程为： ， ， ，（1-1）（i=1，2，,N）iiiXxm iiiYym iiiZzm ,im式中， 代表第i个质点的加速度在三个方向上的分量， 则代表作用于该质点的力的三个分量，对于每一个质点都有类似的方程，所以含有N

11、个质点的该力学系统应有3N个这样的方程来描述运动。iiiZYX,iiixyz15定义用直角坐标表示的质点系的动能T为： （1-2）同时，如果我们讨论的是所谓“保守力系”，则可以引入一个势函数，而有： （1-3）2222221111222111().()221()2NNNNNiiiiiTm xyzmxyzm xyz),.,2 , 1( ,NizUZyUYxUXiiiiii16由（1-2）式可得：由此得到：而 ，由（1-1）式，正等于 ，于是：122iiiiiTmxm xxiiiiiiixmdtxdmdtxmdxTdtd )()()(iixm iXiiXxTdtd)(iiUXx 再结合（1-3）式

12、 ，17得到： （1-4） 同样可以写出其余两个分量的式子： （1-4）0)(iixUxTdtd0)(0)(iiiizUzTdtdyUyTdtd引入拉格朗日函数（以后简称拉氏函数） ，定义为： （1-5）LUTzyxzyxzyxzyxLLNNNNNN),.,.,(11111118由于动能 只是速度 的函数，而 又限于只是坐标 的函数，因此在引入后，式（1-4）可以写成： （i=1，2，,N）（1-6）此即用直角坐标表示的拉氏方程。000iiiiiizLzLdtdyLyLdtdxLxLdtdNzx ,.1UNzx ,.,1T19拉格朗日运动方程 可以证明，用广义坐标表示的一般形式的拉氏方程与（1

13、-6）式形式一样，只是把 换成 ，如下式所示： （1-7）zyx,.,21qq0(1,2,., )jjdLLjsdtqq（1-7）式即是描述具有s个自由度的系统的拉氏方程。20（1-7）式适用于完整理想约束，且主动力为保守力的系统。其中L为拉格朗日函数，等于力学系的动能与势能之差，是表征力学系特征的一个重要标量函数。 用一个标量函数（代替矢量函数）就可以完全表征出力学系的全部特征，就是拉格朗日表述比牛顿表述的优点之一。*书中p26-29有另外一种推导过程，可以参看。21 n个质点的体系,采用笛卡尔坐标为广义坐标时,拉氏方程和牛顿运动方程完全一样。（作业）牛顿方程：力、加速度等矢量拉氏方程：标量

14、函数L。拉氏函数L是体系的一种特性函数，由它可完全确定体系的运动。L为体系特征量。拉氏方程和牛顿方程的着眼点不同。讨论：讨论：从力学规律的内容看，拉氏方程与牛顿运动方程是等价的。22拉氏方程具有普适性由于采用能量及广义坐标，拉氏方程的适用范围远超出力学本身拉氏方程在处理有约束的体系时，避免了求约束力的麻烦23拉氏方程解题参考步骤：(1)确定所讨论的系统，分析是否保守系(2)确定系统的自由度，选好广义坐标(选取适当的坐标系)(3)写出动能T(广义坐标，广义速度的函数)，势能U(广义坐标的函数)(4)求拉格朗日函数L=T-U(5)将L代入拉氏方程(s个自由度有s个拉氏方程)(6)根据题意求解微分方

15、程组24例1：试用拉格朗日方程来讨论单摆的运动。222221(sin)2Tm ll势能为 零势能取在悬点O的水平面上拉格朗日函数为 L=T-UL=T-U由此可以求出拉格朗日函数，继而求出拉格朗日运动方程。cosUmgl 提示：自由度为2，选球坐标（r,),约束方程为：r=l,质点动能为25作业：球面摆摆长为l,试利用拉格朗日方程，求摆的运动微分方程。sin0gl答案：例2：小环在一绕垂直轴转动直杆上的滑动。 一小环m套在一光滑直杆上，直杆本身以匀角速度 绕垂直轴转动，除约束力外小环不再受其他外力。求小环在直杆上的运动情况.解：选环距转轴的距离r为广义坐标， 则变换方程 显含时间t，动能T为tr

16、ytrxsincos)(21)(2122222rrmyxmT26由于小环不受主动力，U=0，L=T，带入拉氏方程得到：或者结果说明小环将沿直杆向外做加速运动()0dTTdtrr20mrmr2rr 27例3：如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为m1、m2和m3，试分别求出这三个重物加速度的大小。滑轮及绳子的质量可忽略不计。分析： 理想约束，利用拉格朗日方程组求解关键是找出广义坐标，滑轮及绳质量不计。因三个重物在同一平面作一维运动需3个参量描述，两个绳长固定。1mAB2m3m1q2q只需2个独立坐标q1，q228解：建立如图所示的一维坐标系Ox三重物分别对应的坐标为x1， x2 ， x3设滑轮

17、A、B半周长分别为s1和s21111xlsq由图中几何关系有：滑轮A、B上的绳长分别为l1和l221222xqlsq312xqq重物速度11xq 212xqq312xqqAB2m3m1q2qxO29不计滑轮和绳了的质量，那么体系的动能为：2221 12 23 32221 1212312221231232321 2111222111()()22211()()()22Tmxm xm xmqm qqm qqmmm qmm qmm qq 体系的势能为：11223311112122231212312321111222212312320()()()()()()()()Vmgxm gxm gxmg lsqm

18、 g qlsqm g qqmmm gqmm gqmgsmglm gsm glmmm gqmm gqV30体系的拉格朗日函数为：221231232321211()()()22LTVmmm qmm qmm q q 代入拉格朗日方程组有：123132212311()()()()0dLLdmmm qmm qmmm gdtqqdt2323212322()()()()0dLLdmm qmm qmm gdtqqdt化简为：1231322123()()()0mmm qmm qmmm g23232123()()()0mm qmm qmm g12312320()()mmm gqmm gqV31解得：2131211

19、2312(4)(4)mm mm mqgmm mm m1322123122()(4)m mmqgmm mm m所以各重物的加速度为：122131112312(4)(4)m mmm mxqgmm mm m 2131221212312(43)(4)mm mm mxqqgmm mm m2131231212312(4)3(4)mm mm mxqqgmm mm m32n分析力学分析力学n静力学：根据虚功原理，列平衡方程静力学：根据虚功原理，列平衡方程n方程数目方程数目 = = 系统的自由度系统的自由度n基于主动力之间的关系，避免约束力基于主动力之间的关系，避免约束力/ /约束关约束关系系n动力学：达朗贝尔

20、动力学：达朗贝尔- -拉格朗日方程拉格朗日方程n虚功原理虚功原理 + + 达朗贝尔原理达朗贝尔原理n是求解复杂系统的动力学问题的普遍方法是求解复杂系统的动力学问题的普遍方法n可独立于牛顿力学，从变分极值的基本原理得可独立于牛顿力学，从变分极值的基本原理得到到33作用在质点上的力在dt时间内，在实位移上做的功F实功R()0dWFRdr设质点受到主动力和约束力 ，发生了位移dr虚功作用在质点上的力在任意时刻的虚位移上做的功()0WFRr虚功原理34理想约束所作的虚功之和为零力学体系下，诸约束力在任意虚位移iR10niiiRrir中，的约束iiRr如光滑面,光滑曲线,光滑铰链等iiRr,但10nii

21、iRr如刚性杆、不可伸长的绳等35虚功原理（虚位移原理）n个质点的力学体系，每个质点都处于平衡状态，()0iiiiWFRr(1,2,., )in对力学体系有：110nniiiiiiWFrRr理想约束条件下，有：11()0nniiixiiyiiziiiWFrFxFyFz虚功原理则：36虚功原理与平衡态下牛顿第二定律虚功原理是考虑了理想约束条件下的结果牛二定律是去约束，用约束力替换约束条件,当作自由质点11()0nniiiiiiiWFRrFr1()0niiiFR0iiFR()0iiiiWFRr力系平衡时的虚功力系平衡时的方程是等价的(0)a 37达朗贝尔原理(DAlemberts principl

22、e )n个质点的力学体系，每一质点都有：i iiimrFR移项得：(1,2,., )in因i imr具有力的量纲，视为力，并称为惯性力则可化“动”为“静”，运用虚功原理：1()0niii iiiWFRmrr 0iii iFRmr1()0niii iiiFRmrr 达朗贝尔原理达朗贝尔原理38若力学体系受到的是理想约束10niiiRr 可得到理想约束下的达朗贝尔-拉格朗日方程：311()()0nnii iiiiiiiiWFmrrFm xx 达朗贝尔-拉格朗日方程是虚功原理的推广达朗贝尔-拉格朗日方程是考虑了理想约束条件下的结果达朗贝尔-拉格朗日方程和牛二定律是等价的牛顿第二定律是用约束力代替了约

23、束条件，视为自由质点39虚功原理解题步骤1、确定研究的力学体系2、判断是否是理想约束3、受力分析a、若求的是主动力或平衡位置，只需找找出主动力b、若求的是约束力，在找出主动力后，需要去掉要求约束力的约束，代之以主动力4、分析约束，确定拉格朗日广义坐标和虚位移建立静系，变分得虚位移或由约束几何关系直接得5、代入虚功原理求解40两长度分别为l1和l2，质量分别为m1和m2的匀质杆OA和AB，位于同一铅直平面内，并在A点光滑铰链。 OA的另一端则固定在O点。杆AB的端点B受一水平力F的作用，如图所示。求平衡时两杆的位置分析：由于是光滑铰链理想约束，满足虚功原理，体系受到，重力和FOxy1m g2m

24、gABCD水平力F，可以认为重力作用在C点和D点，F作用于B点。C、D、B三点需9个坐标参量，但因有7个约束，故只需要2个独立坐标参量描述，用和表示7个约束是定点O和铰链A，杆OA和AB定长，CDB在同一面内典型例题141FOxy1m g2m gABCD解： 体系受力分析和坐标系建立如图因约束是理想约束，满足虚功原理。120CDBWm g ym g yF x由图中的几何关系可知：11sin2Cyl121sinsin2Dyll12coscosBxll等时11(cos )2Cyl 121( cos )(cos )2Dyll 12( sin )( sin )Bxll 变分42代入得：112111(c

25、oscossin )2Wm glm glFl 2221(cossin )02m gll F 因为和相互独立，故有：112111coscossin02Qm glm glFl 2221cossin02Qm gll F 解得：1222mmtggF 22m gtgF 43四根长度都为l的轻杆，光滑铰链而成ABCD菱形，B、D间用一轻绳联结；框架支于同一水平的两个光滑钉子上并在C点挂一重为P的重物，如图所示，已知两钉子间距2d，利用虚功原理求绳中的张力分析：因为虚功原理表达式只涉及主动力所以不能把绳中的张力看作约束力设想去掉绳的约束，代之以相同的主动力作用于B、D两点.四根杆都为轻杆，绳为轻绳，重力都可

26、忽略ABCDd d典型例题244TFxyABCDd dTFP解：受力分析和建立如图所示的直角坐标系(静系要求)sinBxl sinDxlcos( cos)Cylldctg等时变分有：( cos )Bxl ( cos )Dxl 2( 2 sincsc)Cyld 代入虚功原理表达式0TBCTDWFxP yFx2( 2 sincsc)2cos0TQPldF l 化简得：解得：3(csc1)2TdFPtgl45例2（典型例题选讲）图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为，重物重量P。试用拉格朗日方程求滚子质心加速度。系统为1个自由度保守系统，故用保守系统拉格朗日方程求解：分析：kqLqLt, 2 , 10dd选广义坐标 s ，写任意位置下系统的拉格朗日函数（L = T V ），由上式可写1个方程，其中所含待求量 即为所求