统计物理基本概念,压力、温度和内能

1、第二篇第二篇 热物理学热物理学热现象的研究方法：热现象的研究方法：1.宏观法宏观法. 最基本的实验规律最基本的实验规律逻辑推理逻辑推理(运用数学运用数学) -称为称为热力学热力学(thermodynamics) 优点：可靠、普遍。优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。缺点：未揭示微观本质。2.微观法微观法. 物质的微观结构物质的微观结构 + 统计方法统计方法 -称为称为统计物理学统计物理学(statistical physics) 其初级理论称为其初级理论称为气体分子运动论气体分子运动论 优点：揭示了热现象的微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。缺点：可靠性、普

2、遍性差。第四章第四章 统计物理学基础统计物理学基础4-1 统计物理的基本概念统计物理的基本概念一、物质的微观模型一、物质的微观模型热力学系统热力学系统（热力学研究的对象）：（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。 外界外界：热力学系统以外的物体。：热力学系统以外的物体。微观粒子体系的基本特征微观粒子体系的基本特征(1)分子分子(或原子或原子)非常小。非常小。(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.(3)分子之间存在相互作用力分子之间存在相互作用力-分子力分子力. .(4(4) )分子或

3、原子都以不同的速率不停地运动。分子或原子都以不同的速率不停地运动。总之，总之，宏观宏观体系体系都是由都是由大量不停息地运动着的、彼大量不停息地运动着的、彼此有相互作用的分子或原子此有相互作用的分子或原子组成组成. . 利用扫描隧道显利用扫描隧道显微镜技术把一个个原微镜技术把一个个原子排列成子排列成 IBM 字母字母的照片的照片. 现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大小以及它们在物体中的排列情况小以及它们在物体中的排列情况, , 例如例如 X光分析仪光分析仪, ,电子显微镜电子显微镜, , 扫描隧道显微镜等扫描隧道显微镜等. . Si单晶的原子像（透射

4、电子显微镜照片）单晶的原子像（透射电子显微镜照片）2、分子在作不停息的热运动、分子在作不停息的热运动 例例1: 气味的传播气味的传播 分子的平均分子的平均运动速率运动速率: 常温下常温下 400m/s 1800m/s房间的长度房间的长度: 5m15m 气味在房间内传播所需时间气味在房间内传播所需时间: 具经验估计约具经验估计约 2 3s气体分子间气体分子间碰撞碰撞的频繁程度的频繁程度: 6. 5 109 s - 1例例2: 布朗运动布朗运动布朗使用曾经保存布朗使用曾经保存了了300年以上的花粉年以上的花粉及用无机物微粒作及用无机物微粒作为观察对象为观察对象, 从而排从而排除了布朗粒子是除了布朗

5、粒子是“活粒子活粒子”的假设的假设. 3、分子间有力的作用、分子间有力的作用rf(r)r0sa) 短程力短程力: 力程为力程为mrr10010b) 斥斥力范围力范围: mrs910c) 引引力范围力范围: mrr10010-分子力。分子力。0rr 为平衡态，为平衡态，f=0=0分子力是电性力，远大于万有引力。分子力是电性力，远大于万有引力。宏观量宏观量状态参量状态参量 描写热力学系统宏观状态的参量。描写热力学系统宏观状态的参量。 如如 压强压强 p、体积、体积 V、温度、温度 T 等。等。微观量微观量 描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的物理描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的物理量。量。

6、 如分子的质量、如分子的质量、 直径、速度、动量、能量直径、速度、动量、能量 等。等。微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。二、系统状态的描写二、系统状态的描写在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、压强。但随着时间的推移，各处的密度、压强等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就是是平衡态平衡态。设一容器，用隔板将其隔开当设一容器，用隔板将其隔开当隔板右移时，分子向右边扩散隔板右移时，分子向右边扩散平衡态平衡态: 在无外界的影

7、响下，系统的宏观性质不随在无外界的影响下，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。时间改变的稳定状态。假想把箱子分成两相同体积的部假想把箱子分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。穿越界线，但两侧粒子数相同。例如例如：粒子数粒子数讨论讨论：平衡态是一种理想状态平衡态是一种理想状态 处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间观量不随时间 改变。改变。平衡态是一种热动平衡平衡态是一种热动平衡状态方程：

8、状态方程：RTMMpVmol 理想气体理想气体气气体体的的摩摩尔尔质质量量气气体体质质量量 molMMmol/J.R318 普普适适气气体体常常量量 po),(111TVpI),(222TVpII V0),( TVpf物态方程物态方程(状态方程状态方程)当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：函数关系：例例1：氧气瓶的压强降到氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为压强为1.3 107Pa，若每天用，若每天用105Pa的氧

9、气的氧气400L，问此，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解解: 研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设使用时的温度为使用时的温度为T；并并设可供设可供 x 天使用天使用原有原有每天用量每天用量剩余剩余 x TMVp111TMVp222TMVp333分别对它们列出状态方程，有分别对它们列出状态方程，有RTMMVpRTMMVpRTMMVpmolmolmol333222111 23131xMMMVV 22131231VpV)pp(MMMx 天天6940013210130.)( 例例2设空气中含有设空气中

10、含有23.6%氧和氧和76.4%氮氮, 求在压强求在压强 p=105Pa和温度和温度T=17oC时空气的密度时空气的密度解：设空气中氧和氮的质量分别为设空气中氧和氮的质量分别为m1、 m2 ，摩尔质量分，摩尔质量分别为别为 1 、 2由道尔顿分压定理由道尔顿分压定理VRTmVRTmp2211空气压强空气压强21pppVmm2121mmV22121211RTmmmRTmmmp21%4 .76%6 .23RTRTp335102829031. 8%4 .76103229031. 8%6 .23103kg/m20. 121%4 .76%6 .23RTRT特征一特征一: : 混乱性和无序性混乱性和无序性

11、&分子热运动的基本特征分子热运动的基本特征永恒的运动永恒的运动; ;频繁的碰撞频繁的碰撞特征二特征二: : 在分子热运动中，个别分子的运动是无规则的，存在在分子热运动中，个别分子的运动是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的性。人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性称为规律性称为统计规律性统计规律性。三、分子热运动的无序性和统计规律性三、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性什么是统计规律性(statistical regularity) 大量偶然性大量偶

12、然性从从整体上整体上所体现出来的所体现出来的必然性必然性。例例. 扔硬币扔硬币掷骰子掷骰子2.2.伽尔顿板实验伽尔顿板实验 统计规律特点统计规律特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义）只对大量偶然的事件才有意义. （2）不同于个体规律的整体规律）不同于个体规律的整体规律(量变到质变量变到质变). (3) 大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 统计规律永远伴随统计规律永远伴随涨落现象涨落现象。特征三特征三: :在一定的宏观条件下，各种分布在一定的平均值上、在一定的宏观条件下，各种分布在一定的平均值上、下起伏变化，称为下起伏变化，称为涨落现象涨落现象。 一切与

13、热现象有关的宏观量的数值都是统计平一切与热现象有关的宏观量的数值都是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围内，围内，观测值都与统计平均值有偏差观测值都与统计平均值有偏差。四、四、 统计的基本概念统计的基本概念1. 概率概率 如果如果N次试验中出现次试验中出现A事件的次数为事件的次数为NA,当当N时，比值时，比值NA/N称为出现称为出现A事件的事件的概率概率。NNAPANlim)( 概率的性质概率的性质:(1) 概率取值域为概率取值域为1)(0 AP(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于各种可能发生的事件的概率总和等于1.1)( NNA

14、PiAiiii几率归一化条件几率归一化条件(3) 二互斥事件的概率和等于分事件概率之和二互斥事件的概率和等于分事件概率之和)()()(BPAPBAP (4) 二相容事件的概率积等于分事件概率之积二相容事件的概率积等于分事件概率之积)()(),(BPAPBAP 2. 概率分布函数概率分布函数随机变量随机变量在一定条件下在一定条件下, 变量以确定的概率变量以确定的概率取各种不相同的值。取各种不相同的值。1. 离散型随机变量离散型随机变量取值有限、分立取值有限、分立表示方式表示方式 SSPPP2121 1), 2 , 1(01 SiiiPSiP有有2. 连续型随机变量连续型随机变量取值无限、连续取值

15、无限、连续随机变量随机变量X的的概率密度概率密度dxxdPx)()( 变量取值在变量取值在xx+dx间间隔内的概率隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。1)( dxx 又称为又称为概率分布函数概率分布函数（简称（简称分布函数分布函数）。）。)(X 3. 统计平均值统计平均值算术平均值为算术平均值为 NNNNiiiii 统计平均值为统计平均值为 iiiNiiiNPNNNN )(limlim对于离散型对于离散型随机变量随机变量 随机变量的统计平均值等于一切可能状态随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值的概率与其相应的取值

16、 乘积的总和。乘积的总和。i 对于连续型随机变量对于连续型随机变量统计平均值为统计平均值为 dxxxx)( 4-24-2 理想气体的压强理想气体的压强 温度和内能温度和内能一、一、理想气体的微观模型和理想气体的微观模型和统计假设统计假设1 . 理想气体微观模型理想气体微观模型分子本身的大小比起它们之间的平均距离分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。可忽略不计。 除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。 分子间的碰撞是完全弹性的。分子间的碰撞是完全弹性的。 分子所受重力忽略不计分子所受重力忽略不计理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。理想气体的分子模

17、型是弹性的自由运动的质点。2 . 统计假设统计假设 分子数密度处处相等；分子数密度处处相等； cbannn 分子沿各个方向运动的几率均等。分子沿各个方向运动的几率均等。亦即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。亦即：分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。222231vvvvzyx NvNvvvvin/ )(2222212abc二、理想气体压强公式二、理想气体压强公式1 1、压强的产生、压强的产生 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。从总的效果上来看，一个持续的平均作用力。从总的效果上来看，一个持续的平均作用力

18、。单个分子单个分子多个分子多个分子平均效果平均效果密集雨点对雨密集雨点对雨伞的冲击力伞的冲击力大量气体分子对器壁持大量气体分子对器壁持续不断的碰撞产生压力续不断的碰撞产生压力气体分子气体分子器器壁壁计算计算N个分子给器壁的平均冲力个分子给器壁的平均冲力计算一个分子给器壁的作用力计算一个分子给器壁的作用力计算计算一个分子与器壁碰撞一次对器壁的作用（冲量）一个分子与器壁碰撞一次对器壁的作用（冲量）计算每秒一个分子碰撞器壁的次数计算每秒一个分子碰撞器壁的次数计算计算容器中任何一壁所受的压强容器中任何一壁所受的压强计算思路计算思路乘乘2. 理想气体压强公式推导理想气体压强公式推导 一定质量的处于平衡态

19、的某种理想气体。一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m )xyz1l2l3lO2A1Aivizviyvixvkvjvivviziyixi 平衡态下器壁平衡态下器壁各处压强相同，各处压强相同，选选A1面求其所面求其所受压强。受压强。xy1lO2A1Aixmvixmv i分子动量增量分子动量增量ixixmvp2 i分子对器壁的冲量分子对器壁的冲量ixmv2i分子相继与分子相继与A1面碰撞的时间间隔面碰撞的时间间隔ixv/lt2 单位时间内单位时间内i分子对分子对A1面的碰撞次数面的碰撞次数121l/vt/Zix 单位时间内单位时间内i分子对分子对A1面的冲量面的冲量122l/vmvixi

20、x i分子对分子对A1面的平均冲力面的平均冲力122l/vmvFixixix 所有分子对所有分子对A1面的平均作用力面的平均作用力 NiixNiixxvlmFF1211压强压强NlllvmNvlllmllFpNiixNiixx321121232132 212ixNiixvNv nlllN 3212ixvnmp 222231vvvvzyx 2231vnmvnmpx 分子的平均平动动能分子的平均平动动能221vmw 平衡态下平衡态下wnp32 TNRnRTmNNmVpAA 1三、三、分子的平均平动动能与温度的关系分子的平均平动动能与温度的关系RTMMpVmol 玻玻尔尔兹兹曼曼常常量量123103

21、81 KJ.NRkAnkTp wnp32 kTvmw23212 温度是气体分子平均平动动温度是气体分子平均平动动能大小的量度能大小的量度例例:（1）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。）在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从如果压缩气体并对它加热，使它的温度从270C升到升到1770C，体积减少一半，求气体压强变化多少？，体积减少一半，求气体压强变化多少？ （2）这时气体分子的平均平动动能变化多少？）这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：解：222111) 1 (TVpTVp KTKTVV450177273,30027273,2:2121 由由已已知知1

22、2211221233004502pVVpTVTVp kTw)(232 J.)(.)TT(kwww2123121210113300450103812323 气体分子的方均根速率气体分子的方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根molMRTmkTv332 kTvmw23212 气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。Tv 2molM/v12 例例 计算在计算在 时，氢分子和氧分子的方均根速时，氢分子和氧分子的方均根速率率 .C27

23、（A）温度相同、压强相同。）温度相同、压强相同。（B）温度、压强都不同。）温度、压强都不同。（C）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强.（D）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强. 一瓶氦气和一瓶氮气（质量）密度相同，分子平一瓶氦气和一瓶氮气（质量）密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们讨讨 论论解：解：molMRTmkTv33223H m/s1093. 122O m/s10833. 4例例 理想气体体积为理想气体体积为 V ，压强为，压强为 p ，

24、温度为，温度为 T ,一个一个分子分子 的质量为的质量为 m ，k 为玻尔兹曼常量，为玻尔兹曼常量，R 为摩尔气为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：体常量，则该理想气体的分子数为：（A） （B）（C） （D）mpV)(RTpV)(kTpV)(TmpVkTpVnVNnkTp 解解例例：一容器内贮有氧气，其压强为：一容器内贮有氧气，其压强为 ，温度为，温度为 ，1.0atm试求试求 : (1)单位体积内的分子数；单位体积内的分子数； (2)氧气的密度；氧气的密度； (3)分子间的平均距离，分子间的平均距离， (4)分子的平均平动动能。分子的平均平动动能。27 CnkTp 解：解： （1）253

25、2.45 10/PnmKT个-3mkg30. 1（2）MPVRT2/3tkTJ102 . 621（4）=（3）9313.44 10 ( )lmn1. 自由度自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例四、四、能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 xzy),(zyxC单原子分子单原子分子平动自由度平动自由度t=33 rtixzy),(zyxC 双原子分子双原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=25 rtixzy),(zyxC 三原子或三原

26、子或三三原子以上原子以上的分子的分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=36 rti实际气体不能看成刚性分子，因原子之间还有振动实际气体不能看成刚性分子，因原子之间还有振动2、能量均分定理、能量均分定理kTvmw23212 222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 气体分子沿气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的三个方向运动的平均平动平均平动动能动能完全相等，可以认为分子的平均平动动完全相等，可以认为分子的平均平动动能能 均匀分配在每个平动自由度上。均匀分配在每个平动自由度上。kT23平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可平衡态下，不论何种运动，相

27、应于每一个可能自由度的平均动能都是能自由度的平均动能都是kT21能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有个如果某种气体的分子有个 t 个平动自由度个平动自由度, r 个转个转动自由度动自由度, s 个振动自由度个振动自由度.则分子具有：则分子具有：平均平均平动平动动能动能kTt2平均平均转动转动动能动能kTr2平均平均振动振动动能动能kTs2注意注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份对应分子的一个振动自由度，除有一份 振动的动能外，还有一份平均势能。振动的动能外，还有一份平均势能。结论：分子的平均总能量结论：分子的平均总能量 skTkTsrt21)(21 kTsrt)2(21 对刚性分子：