农业应用物理学——第二章++气体动理论

1、1Ludwig Boltzman (18441906)玻耳兹曼玻耳兹曼：奥地利物理学家，统计物理学的：奥地利物理学家，统计物理学的奠基人之一。于奠基人之一。于1868年提出年提出麦克斯韦麦克斯韦-玻耳玻耳兹曼分布定律兹曼分布定律 。在。在 1872年从非平衡态的分年从非平衡态的分子动力学得到子动力学得到 H 定理定理 ，这是经典分子动力，这是经典分子动力论的基础。论的基础。1877年提出热力学第二定律与微年提出热力学第二定律与微观几率态数观几率态数 W 的关系以及熵的统计解的关系以及熵的统计解释。释。 1900年年普朗克普朗克运用玻耳兹曼的理论得出运用玻耳兹曼的理论得出 Sk lnW 并证明了

2、斯忒藩的实验结论并证明了斯忒藩的实验结论 u T4（斯忒藩斯忒藩 - 玻耳兹曼黑体辐射公式玻耳兹曼黑体辐射公式），掀），掀开了量子时代的帷幕。开了量子时代的帷幕。2微观粒子微观粒子观察和实验观察和实验出出 发发 点点热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质力学本质二者关系二者关系无法自我验证无法自我验证不深刻不深刻缺缺 点点揭露本质揭露本质普遍，可靠普遍，可靠优优 点点统计平均方法统计平均方法力学规律力学规律总结归纳总结归纳逻辑推理逻辑推理方方 法法微观量微观量宏观量宏观量物物 理理 量量热现象热现象热现象热现象研究对象研究对象微观理论微观理论（统计

3、物理学统计物理学）宏观理论宏观理论（热力学热力学）热力学与统计物理学的异同热力学与统计物理学的异同绪绪 言：言：3一、分子动理论的三个基本概念一、分子动理论的三个基本概念宏观物体是不连续的，由大量微观粒子宏观物体是不连续的，由大量微观粒子分子（或分子（或原子）所组成原子）所组成物质内的分子在不停地做无规则热运动，其剧烈程度物质内的分子在不停地做无规则热运动，其剧烈程度与温度有关与温度有关4布朗运动布朗运动 5Ofrr0斥力斥力引力引力合力合力0rr 0rr 分子力表现为斥力分子力表现为斥力 分子力表现为引力分子力表现为引力 m10100r( ( 平衡位置平衡位置 ) )分子间有相互作用力分子间

4、有相互作用力r0 分子有效直径分子有效直径势能势能6二、热运动的特点二、热运动的特点（1）微观粒子的运动永不停息、无规则，）微观粒子的运动永不停息、无规则，每个粒子每个粒子的运动过程具有极大的偶然性的运动过程具有极大的偶然性无序性无序性。（2）对）对大量粒子大量粒子的整体而言，运动又表的整体而言，运动又表现出必然的、确定的规律现出必然的、确定的规律统计规律统计规律。7第一节第一节 气体的压强和温度气体的压强和温度8一、理想气体的状态方程一、理想气体的状态方程1. 理想气体的概念理想气体的概念:是实际气体在一定条件下的近似。是实际气体在一定条件下的近似。 实际气体在密度不太高、压强不太大、温度不

5、实际气体在密度不太高、压强不太大、温度不 太低的实验范围内，且遵守玻意耳定律、盖吕萨克太低的实验范围内，且遵守玻意耳定律、盖吕萨克定律和查理定律这三条定律的气体。定律和查理定律这三条定律的气体。2. 理想气体状态方程理想气体状态方程:RTMPVR=8.31J/molK 适用条件适用条件: 理想气体理想气体处于处于平衡态平衡态。T单位为单位为k91. 热力学系统（体系）：热力学系统（体系）：在热学中所在热学中所研究研究的由的由大量分子、原子组成的物体或物体系。大量分子、原子组成的物体或物体系。2. 平衡态：平衡态：在不受外界影响或外界条件一定时，系在不受外界影响或外界条件一定时，系统内处处均匀，

6、统内处处均匀，其其宏观性质不随时间改变的状态宏观性质不随时间改变的状态。二、热力学系统二、热力学系统 平衡态平衡态 状态参量状态参量10(2) 平衡态下系统内的分子仍在不停地作无规则平衡态下系统内的分子仍在不停地作无规则运动，只不过大量分子运动的平均效果不随时运动，只不过大量分子运动的平均效果不随时间改变，因此也叫间改变，因此也叫 热热动平衡状态动平衡状态。3. 状态参量：为描述系统平衡态所具有的特性状态参量：为描述系统平衡态所具有的特性而引入的参量，如力学参量而引入的参量，如力学参量P、几何参量、几何参量V、以、以及热学参量及热学参量 T等。等。(1) 平衡态是一个平衡态是一个理想理想的概念

7、，它是在一定条的概念，它是在一定条件下，件下， 对实际情况的概括和抽象。对实际情况的概括和抽象。11例例2.12.1 设有一端封闭的玻璃管长设有一端封闭的玻璃管长1m,1m,将它从空气中倒将它从空气中倒立竖直压入水中直至管的上端露出水面立竖直压入水中直至管的上端露出水面0.2m0.2m为止。求水为止。求水进入管内的深度进入管内的深度h h（如图）。已知大气压强（如图）。已知大气压强1.01325105Pa, ,气温为气温为2727。解：解：将玻璃管内的气体作为研究对将玻璃管内的气体作为研究对象，并视为理想气体。象，并视为理想气体。当玻璃管在空气中时：当玻璃管在空气中时：)m1VOmH33.10

8、a1001325. 131250（水柱高）ss为玻璃管的横截面积为玻璃管的横截面积K300C27T11m0.8-hP012当水进入玻璃管内的深度为当水进入玻璃管内的深度为h时：时：K300Tm)1 (VOmH8 . 033.10P2322即相等，可将水温视为与气温因玻璃管压入水中不深）（）（shh由状态方程得：由状态方程得：22110/TPV/TVP代入数据，解得代入数据，解得h0.07m,而而h11.34m不符合题意不符合题意故水进入管内的深度为故水进入管内的深度为h=0.07m13 宏观物体都是由宏观物体都是由大量大量不停息地运动着的、彼此有相互作不停息地运动着的、彼此有相互作用的分子或原

9、子组成用的分子或原子组成 . 利用扫描隧道显利用扫描隧道显微镜技术把一个个原微镜技术把一个个原子排列成子排列成 IBM 字母字母的照片的照片. 现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大小以及它现代的仪器已可以观察和测量分子或原子的大小以及它们在物体中的排列情况们在物体中的排列情况, 例如例如 X 光分析仪光分析仪,电子显微镜电子显微镜, 扫描扫描隧道显微镜等隧道显微镜等.三、气体动理论的研究方法三、气体动理论的研究方法14 对于由大对于由大量分子组成的量分子组成的热力学系统从热力学系统从微观上加以研微观上加以研究时，必须用究时，必须用统计的方法统计的方法 . . . . . . . . . .

10、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球在伽小球在伽尔顿板中的分尔顿板中的分布规律布规律 .15 统计规律统计规律 当小球数当小球数 N 足够大时小球的分布具有足够大时小球的分布具有统计规律统计规律.设设 为第为第 格中的粒子数格中的粒子数 .iNiNNiNi lim 概率概率 粒子在第粒子在第 格中格中出现的可能性大小出现的可能性大小 .i1iiiiNN

11、归一化条件归一化条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiNN粒子总数粒子总数16 统计规律与涨落现象：统计规律与涨落现象： 任一时刻，实际分布在某一速率区间内的任一时刻，实际分布在某一速率区间内的分子数，一般来说是与统计平均值有偏离的分子数，一般来说是与统计平均值有偏离的涨落现象。涨落现象。17四四 理想气体的压强公式理想气体的压强公式(一一) 、理想气体的微观模型、理想气体的微观模型同种类气体分子性质相同；气体分子视为质点。同种

12、类气体分子性质相同；气体分子视为质点。除碰撞外，分子之间的作用力可忽略不计；重力也忽略不计。除碰撞外，分子之间的作用力可忽略不计；重力也忽略不计。分子间及分子与容器壁间的碰撞是完全弹性碰撞。分子间及分子与容器壁间的碰撞是完全弹性碰撞。统计性假设统计性假设：“对大量气体分子来说，分子沿各个方向运动的机对大量气体分子来说，分子沿各个方向运动的机会是均等的，任何一个方向的运动并不比其他方向更占优势。因会是均等的，任何一个方向的运动并不比其他方向更占优势。因此，统计平均来看，任一时刻沿各个方向运动的分子数目应相等，此，统计平均来看，任一时刻沿各个方向运动的分子数目应相等，分子速度在各个方向的分量的各种

13、平均值也相等。分子速度在各个方向的分量的各种平均值也相等。”22z2y2xv31=v=v=v18（二）、（二）、气体压力产生的微观解释气体压力产生的微观解释 对容器内气体的整体而言对容器内气体的整体而言 ，每一时刻都有大量分子与器壁发，每一时刻都有大量分子与器壁发生碰撞，宏观上表现出器壁受到一个生碰撞，宏观上表现出器壁受到一个恒定的、持续的压力。恒定的、持续的压力。19（三）、压强公式的推导（三）、压强公式的推导: :ivizvxyzOixviyvcba建立三维直角坐标系建立三维直角坐标系 Oxyz iv),(iziyixvvvx, y, z 方向规律相同，压强相同方向规律相同，压强相同分析分

14、析 x 方向方向20 xyzOcbaixvx 方向速度分量为方向速度分量为 vix 的的分子分子 i 与与 A1 碰撞，动量变化：碰撞，动量变化：A1ixixixixmvmvmvP2)(对对 A1 的冲量：的冲量：ixixixmvPI2t 时间内与时间内与 A1 发生碰撞的次数：发生碰撞的次数：连续两次与连续两次与 A1 发生碰撞的时间发生碰撞的时间间隔为：间隔为：ixixvatvat222a / vix21xyzOcbaixvA1t 时间内时间内分子分子 i 对对 A1 的冲量：的冲量：222ixixixvatmmvvatt 时间内时间内所有分子所有分子对对A1 的冲量：的冲量：NiixNi

15、ixvatmvatmI1212bctISFpA1Niixvabcm12NiixvVm1222NiixvVmp12NiixxvNv122122231vnmvnmvVNmpxx其中其中VNn 为为气体分子数密度气体分子数密度221vmttnp32理想气体压强公式：理想气体压强公式：23讨论：讨论： 压强是一个统计平均量，压强是一个统计平均量，对个别或少数分子是没有意义的，从上推导对个别或少数分子是没有意义的，从上推导中可知，压强是容器中大量气体分子在单位中可知，压强是容器中大量气体分子在单位时间内施于器壁单位面积的平均冲力（大量时间内施于器壁单位面积的平均冲力（大量分子对时间对空间的统计平均）。分

16、子对时间对空间的统计平均）。24123Amol10)36(0221367.6N 1、 阿伏伽德罗常数：阿伏伽德罗常数： 1 mol 物质所含的分子（或原子）的数目均相同物质所含的分子（或原子）的数目均相同 .例例 常温常压下常温常压下319cm/1047. 2氮n322cm/1030. 3水n分子数密度（分子数密度（ ）：单位体积内的分子数目）：单位体积内的分子数目.n五、分子的平均平动动能与温度的关系五、分子的平均平动动能与温度的关系25 2、温度的本质和统计意义、温度的本质和统计意义RTMVnt32RTMPVnPt及由32VRTnMt23RTNM)(23TNR23RT)NmNM(2300

17、26K/J1038. 1mol/10022. 6Kmol/J31. 8NRk23230 令令kTt23玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数温度公式温度公式微观量微观量宏观量宏观量 揭示了气体温度的统计意义，即气体的温度是气揭示了气体温度的统计意义，即气体的温度是气体分子平均平动动能的量度，它是描述大量分子热运体分子平均平动动能的量度，它是描述大量分子热运动剧烈程度的物理量。动剧烈程度的物理量。273、气体分子的方均根速率、气体分子的方均根速率将温度公式代入压强公式得：将温度公式代入压强公式得：（1）分子热运动永不停止，所以绝对零度永远不可能达到。）分子热运动永不停止，所以绝对零度永远不可能达到。nkTkT

18、23n32P 得，方均根速率得，方均根速率注意：注意：（2）当）当T0时，气体早已变为液、固态，温度公式早已时，气体早已变为液、固态，温度公式早已 不适用。不适用。RTmkTv332kTvmt23212由平均平动动能由平均平动动能2800C下，不同气体的方均根速率分别为：下，不同气体的方均根速率分别为：O24.61102m/s，N24.93102m/s， H21.84103m/s，29一、自由度一、自由度 i确定一个物体的空间位置确定一个物体的空间位置 所需要的独立坐标数目。所需要的独立坐标数目。1. 质点的自由度质点的自由度在空间自由运动的质点在空间自由运动的质点:在曲面上运动的质点在曲面上

19、运动的质点:质点沿直线或曲线运动：质点沿直线或曲线运动：位置由一个独立坐标确定位置由一个独立坐标确定 自由度自由度 i =1位置由三个独立坐标确定位置由三个独立坐标确定 自由度自由度 i =3 位置由二个独立坐标确定位置由二个独立坐标确定 自由度自由度 i =2第二节第二节 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 30质心质心自由质点自由质点31 i绕质心轴的转动绕质心轴的转动 12 i转轴的方位转轴的方位 23 i6321 iiii31 it平平动动自自由由度度332 iir转转动动自自由由度度1222 coscoscos , xzy2. 刚体的自由度刚体的自由度31刚性分子刚性分子: 分

20、子内原子间距离保持不变分子内原子间距离保持不变xzy),(zyxC 双原子分子双原子分子xzy),(zyxC单原子分子单原子分子平动自由度平动自由度t=33 rti平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=25 rti3. 刚性分子的自由度刚性分子的自由度32xzy),(zyxC 三原子分子三原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=36 rti二、能量按自由度均分定理二、能量按自由度均分定理kTvmt2321222z2y2xv31vvv kT)vm(vmvmvmzyx2121312121212222 33 处于平衡态的理想气体处于平衡态的理想气体 （温度为（温度为 T

21、 ），气体分子在），气体分子在每一个平动自由度上的平均能量为每一个平动自由度上的平均能量为 kT / 2原因原因： 碰撞碰撞不同自由度上的能量相互转化不同自由度上的能量相互转化不同自由度上的能量平均化不同自由度上的能量平均化34刚性双原子分子的动能刚性双原子分子的动能平动动能平动动能转动动能转动动能txtytzrrkTrrtztytx21kTrrtztytx25温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分分子动能分子动能35刚性单原子分子刚性单原子分子刚性双原子分

22、子刚性双原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子分子模型分子模型自由度自由度(r=0) (r=2) (r=3)总平均能量总平均能量kT/2kT/23kT理想气体分子的平均能量理想气体分子的平均能量kTi2i 气体分子的自由度气体分子的自由度36三、理想气体的内能三、理想气体的内能E理想气体分子动能之和理想气体分子动能之和1 mol 理想气体的内能：理想气体的内能：0NE RTikTiN220质量为质量为 m 、摩尔质量为、摩尔质量为 M 的理想气体的内能：的理想气体的内能：RTiMmE237RTiMmE2TRiMmE2TCMmEVRiCV2理想气体的摩尔热容量理想气体的摩尔热容量RiRCCVp22

23、38 例例2.2 一个贮有氮气的容器以速率一个贮有氮气的容器以速率v0=200ms-1运运动，若该容器突然停止。试求容器中氮气的温度和速动，若该容器突然停止。试求容器中氮气的温度和速率的平方平均值的变化。率的平方平均值的变化。解：解：设氮气的质量为设氮气的质量为M，摩尔质量为，摩尔质量为 ，视氮气为由，视氮气为由刚性氮分子组成的理想气体。刚性氮分子组成的理想气体。由题意得由题意得R/TM21TR2ME20ivvi20得）（代入上式对于氮气，K2731. 85200108 . 2Tmolkg108 . 2, 52212i（1）39的平方平均值后氮气分子热运动速率分别表示容器停止前、和设2221v

24、vT2321212122kvmvm式中式中m为氮分子的质量为氮分子的质量（2）由（由（1）、（）、（2）两式联立求解，并将）两式联立求解，并将 代入代入 KNR,N00m2021223vivv)s(m104 . 2200535352242202122vvvi上式表明：双原子分子速率平方的平均值的增量等于该容器定向运动速上式表明：双原子分子速率平方的平均值的增量等于该容器定向运动速率平方的率平方的3/5。即表示定向运动动能的。即表示定向运动动能的3/5转换成分子的平均平动动能，转换成分子的平均平动动能，其余其余2/5则转换成分子转动的平均动能。则转换成分子转动的平均动能。40 第三节第三节 麦克

25、斯韦速率分布率麦克斯韦速率分布率 设分子速度大小为设分子速度大小为v，B到到C所需的所需的 时间时间 为为 t，只，只有满足有满足vt= l、t=t=关系的分子才能到达关系的分子才能到达C C的狭缝射的狭缝射到屏上，到屏上，分子速率的实验测定分子速率的实验测定41实验装置实验装置测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验llvv2lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵42NdN 一定量理想气体处于平衡态，设有一定量理想气体处于平衡态，设有N个分子，速率个分子，速率分布在分布在 vv+dv 区间内的分子数为区间内的分子数为dN，则，则 为为 在此在此区间内的分子数比

26、率。实验证明区间内的分子数比率。实验证明:f(v)满足满足归一化条件归一化条件: 21vvdv)v(fNN 1dv)v(f0 0vvdvv 一、一、 速率分布函数速率分布函数NdN 与与 v 的一定函数的一定函数 f(v) 成正比；成正比；NdN 与与 v 附近取的区间附近取的区间 dv 大小成正比。大小成正比。dv)v(fNdN NdvdN)v(f 则则 , 称为速率分布函数。称为速率分布函数。 已知已知 f(v) ,则可求任意速率区间内的分子数：则可求任意速率区间内的分子数：431860年，麦克斯韦导出年，麦克斯韦导出 f(v) 的表达式的表达式2223224ve)kTm()v(fkTmv

27、 麦克斯韦气体分子速率分布定律麦克斯韦气体分子速率分布定律T-温度温度 m-气体分子质量气体分子质量 k-玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数由此，得分布在由此，得分布在vv+dv内的分子数比率：内的分子数比率：dvve)kTm(NdNkTmv2223224 二、麦克斯韦气体分子速率分布定律二、麦克斯韦气体分子速率分布定律1. 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布442. 麦克斯韦速率分布函数的几何意义麦克斯韦速率分布函数的几何意义v v+dvv)(vf0N出现在出现在vv+dv区间区间内的分子数比率内的分子数比率dN面积面积= v1v2出现在出现在 v1 v2 区间内区间内的分子数比率的分子数比率dvvfN

28、Nvv 21)(大部分分子的速率大部分分子的速率分布在中等区域分布在中等区域气体分子的气体分子的速率分布曲线下面积速率分布曲线下面积100 NNdNdvvf)(451. 最概然速率最概然速率pv与分布函数与分布函数 f(v) 的极大值相对应的速率的极大值相对应的速率极值条件极值条件0 pvvdvvdf)(RTRTmkTvp41. 1222. 平均速率平均速率v大量分子速率的统计平均值大量分子速率的统计平均值三、分子速率的三种统计平均值三、分子速率的三种统计平均值 设在设在vv+dv 内有内有dN个分子，这些分子的速率视为相个分子，这些分子的速率视为相同，则同，则46 0dv)v(vfNdNvN

29、vdNvRTRTmkTv60.1883. 方均根速率方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根 0222dv)v(fvNdNvvmkTv32 RTRTmkTvvrms73. 1332 023212 dvevv504832 dvevv47pvvrmsv都与都与 成正比，成正比，与与 （或（或 ）成反比）成反比Tmf(v)vpvv2v一定温度时，一定温度时，rmspvvv 三个速率在不三个速率在不同情况下使用同情况下使用48温度越高，速率大的分子数越多温度越高，速率大的分子数越多.温度升高，分布曲线中的最可几温度升高，分布曲线中的最可几速率速率vp增大，但归一化

30、条件要求曲增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线线下总面积不变，因此分布曲线变平坦，高度降低。变平坦，高度降低。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2321TTT 49)()2(,)()1(Pvdvvfdvvnf补例补例讨论下列各式的物理意义：讨论下列各式的物理意义： 表示平衡态下，单位体积内处于表示平衡态下，单位体积内处于v vv+dvv+dv速率间隔内的分子数。速率间隔内的分子数。 （2）表示平衡态下，大于表示平衡态下，大于v vP P的分子数占总分子数的分子数占总分子数 的百分比。的百分比。NdNVN=dv)v(nf)1( 解解:50讨论讨论 麦克斯

31、韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.pvpvpvpv51补例补例1 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方均时，氢气和氧气分子的方均根速率根速率 .rmsvC271Hmolkg002. 01Omolkg032. 011molKJ31. 8RK

32、300TRT3rmsv13rmssm1093. 1v氢气分子氢气分子1rmssm483v氧气分子氧气分子52vvvvpd)(Nf1）pd)(212vvvv Nfm2）补例补例2 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和 . vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd53补例补例3 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，

33、 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .vv )( fRT2pv)O()H(22)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o54 在麦克斯韦速度分布律中，考虑了分子速度方向在麦克斯韦速度分布律中，考虑了分子速度方向,则速度分布在则速度分布在 vxvx+dvx ,vyvy+dvy ,vzvz+dvz 内内的分子数比率为：的分子数比率为： zyxkT2vvvm23dvdvdvekT2mNdN2z2y2x 其中其中一、玻尔兹曼能量分布律一、玻尔兹曼能量分布律

34、1. 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律第四节第四节 气体分子能量分布的统计规律气体分子能量分布的统计规律zyxvvvdddddsind2vv, 2004ddsin552.玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 玻尔兹曼对麦克斯韦速度分布律作了推广：玻尔兹曼对麦克斯韦速度分布律作了推广：(1) 分子在保守力场中分子在保守力场中pkEEE 分子数为内的同时坐标在区间dzzzdyyydxxxdvvvdvvvdvvvzzzyyyxxx,(2) 分子的分布不仅按速度区间分子的分布不仅按速度区间 v v+d v 分布，分布，还应按位置空间还应按位置空间 xx+dx, yy+dy, zz+dz 分布。分布。 当系

35、统在保守力场中处于平衡态时，当系统在保守力场中处于平衡态时，速度在速度在56 dxdydzdvdvdvekTmndNzyxkTpk 23021223 zyxkTdvdvdvekTmk dxdydzenNdkTp 0玻尔兹曼分子玻尔兹曼分子按能量分布律按能量分布律其中其中 n0 为零势面处的分子数密度为零势面处的分子数密度.将上式对所有可能的速度积分，并考虑归一化条将上式对所有可能的速度积分，并考虑归一化条件：件：57dxdydzNdn kTpenn 0dN 分布分布在坐标区间在坐标区间 xx+dx, yy+dy, zz+dz内小体积元内小体积元dxdydz中具有各种速度的分子总数中具有各种速度

36、的分子总数。该区间的分子数密度为：该区间的分子数密度为：这是玻尔兹曼分子数密度按势能的分布律，在任这是玻尔兹曼分子数密度按势能的分布律，在任何保守力场中都成立。它又是一普遍规律，对任何保守力场中都成立。它又是一普遍规律，对任何物质微粒在保守力场中运动的情形都适合。何物质微粒在保守力场中运动的情形都适合。n0势能等于零处的分子数密度势能等于零处的分子数密度58由玻尔兹曼分布律证明等温气压公式由玻尔兹曼分布律证明等温气压公式kTmghePP 0式中式中 P0 为为 h=0 处的大气压强，处的大气压强，P 为为h 处的大气压处的大气压强，强，m 是大气分子质量。是大气分子质量。证：证：kTpenn

37、0mghp kTmghenn 0由方程由方程nkTP ,00kTnP kTmghenn 0kTmghePP 0大气分子数密度和压强随高度增加按指数规大气分子数密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）律减小（高空空气稀薄，气压低）二、等温气压公式二、等温气压公式59kTmgh0ePP RkmhRTgePP0两边取对数两边取对数PPgRTh0ln60RTRTmkTv60. 188气体分子气体分子平均速率平均速率氮气分子在氮气分子在270C时的平均速率为时的平均速率为476m.s-1.矛盾矛盾气体分子热运动平均速率大气体分子热运动平均速率大，但气体扩散过程进行得相当慢。但气体扩散过

38、程进行得相当慢。气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其它分子气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其它分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。变，所走的路程非常曲折。第五节第五节 气体分子碰撞的统计规律气体分子碰撞的统计规律61AB 在相同的在相同的 t 时间内，分子由时间内，分子由A到到B的位移比它的路程小得多的位移比它的路程小得多扩散速率扩散速率(位移位移/时间时间)平均速率平均速率(路程路程/时间时间) 分子平均自由程分子平均自由程气体分子在连续两次碰撞之间平均自由通过的路程。气体分子在连续两次碰撞之间平均自由通过

39、的路程。平均碰撞频率平均碰撞频率在单位时间内分子与其它分子碰撞的平均次数。在单位时间内分子与其它分子碰撞的平均次数。z62 大量大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出在一秒钟内一个分子与其他计分布规律。可以求出在一秒钟内一个分子与其他分子碰撞的平均次数和分子自由程的平均值。分子碰撞的平均次数和分子自由程的平均值。平均自由程平均自由程平均自由程平均自由程的大小是一定的的大小是一定的假定假定每个分子都是有效直径为每个分子都是有效直径为d 的弹性小球的弹性小球只有某一个分子只有某一个分子A以平均速率以平均速率 运动，运动，其余分子都静止。其余

40、分子都静止。u63A ddduu在运动方向上，以在运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都为半径的圆柱体内的分子都将与分子将与分子A 碰撞碰撞球心在圆柱球心在圆柱体内的分子体内的分子一秒钟内一秒钟内: 分子分子A经过路程为经过路程为u相应圆柱体体积为相应圆柱体体积为ud2圆柱体内圆柱体内分子数分子数nud2nudZ2一秒钟内一秒钟内A与其它分子与其它分子发生碰撞的发生碰撞的平均次数平均次数64nudZ2一切分子都在运动一切分子都在运动nvd2Z2 一秒钟内分子一秒钟内分子A经过的平均路程为经过的平均路程为v一秒钟内一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数为与其它分子发生碰撞的平均次数为平均自

41、由程平均自由程nd21Zv2 平均自由程与分子的平均自由程与分子的有效直径的平方及分有效直径的平方及分子数密度成反比子数密度成反比nkTP PdkT22 当温度恒定时当温度恒定时,平均自由平均自由程与气体压强成反比程与气体压强成反比z65在标准状态下，几种气体分子的平均自由程在标准状态下，几种气体分子的平均自由程气体气体)(m )(md氢氢 氮氮 氧氧 空气空气7101231 .710599. 0 7106470 .810007 .101030. 2 101010. 3 1010982 .1010103 .例例3 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均

42、碰撞频率。取分子的有效直径平均碰撞频率。取分子的有效直径 d = 3.10 10-10m。已知空气的平均分子量为。已知空气的平均分子量为解：解：已知已知m.d,Pa.atm.P,KT1051010310013101273 molkg/1029366PdkT22 m.).(.8510231071810011105314341127310381 空气摩尔质量为空气摩尔质量为 29 10-3kg/molsmRTv/4488198101510718448 s.vZ 空气分子在标准状态下空气分子在标准状态下的平均速率的平均速率67 在许多实际问题中，气体常处于在许多实际问题中，气体常处于非非平衡状态，气

43、平衡状态，气体内各部分的温度或压强体内各部分的温度或压强不不相等，或各气体层之间有相等，或各气体层之间有相对相对运动等，这时气体内将有能量、质量或动量从一运动等，这时气体内将有能量、质量或动量从一部分向另一部分定向迁移，这就是非平衡态下气体的部分向另一部分定向迁移，这就是非平衡态下气体的迁移迁移现象现象.xyz1v2v1粘滞现象（内摩擦）粘滞现象（内摩擦） 动量从流速大的气动量从流速大的气层向流速小的气层迁移层向流速小的气层迁移的现象的现象.第六节第六节 气体的输运过程气体的输运过程第六节第六节 气体的输运规律（迁移现象）气体的输运规律（迁移现象）68气体层间的粘滞力气体层间的粘滞力dSxfv- 气体粘滞现象的气体粘滞现象的微观本质：微观本质：是分子是分子定定向运动向运动动量动量的迁移的迁移 , 而这种迁移是通过气而这种迁移是通过气体分子无规热运动和体分子无规热运动和分子间的碰撞来实现分子间的碰撞来