1.2数理方程波动方程的导出ppt课件

1、波动方程的导出 几个常用的物理定律几个常用的物理定律 波动方程的定解条件波动方程的定解条件 弦的横向振动问弦的横向振动问题题 细杆的纵向振动问题细杆的纵向振动问题电子科技大学电子科技大学2/16牛顿第二定律牛顿第二定律: : F = m a F = m a a a物体加速度物体加速度; F; F合外力合外力; m; m物体物体质量质量付里叶热传导定律付里叶热传导定律: : Q Q热量热量;T;T温温度度;热导率热导率;dTQdx 虎克定律虎克定律: : (1) f = k x; f (1) f = k x; f 弹力弹力;k;k弹性系数弹性系数; ; xx弹簧伸长弹簧伸长 (2) p = Y

2、ux; Y (2) p = Y ux; Y杨氏模量杨氏模量; ux; ux相对伸长相对伸长电子科技大学电子科技大学3/16牛顿冷却定律牛顿冷却定律: q = k(u|S u0) q热流密度热流密度; u0外界温度外界温度; u|S物体温度物体温度 tanlim),(0 xutxuxx导数的意义导数的意义:xtxutxxutxuxxxx ),(),(),( ),(txut速度速度加速度加速度),(txutt电子科技大学电子科技大学4/16弦的横向振动问题弦的横向振动问题 一根均匀柔软的细弦线一根均匀柔软的细弦线, ,一端固定在坐标原点一端固定在坐标原点, ,另另一端沿一端沿 x x 轴拉紧固定在

3、轴拉紧固定在 x x 轴上的轴上的 L L 处，受到扰动，处，受到扰动，开始沿开始沿 x x 轴轴( (平衡位置平衡位置) )上下作微小横振动上下作微小横振动( (细弦线上细弦线上各点运动方向垂直于各点运动方向垂直于x x 轴轴) )。试建立细弦线上任意点。试建立细弦线上任意点位移函数位移函数u(x,t)u(x,t)所满足的规律。所满足的规律。电子科技大学电子科技大学5/16 uxT1T2Ox x+dxgdsds设细弦上各点线密设细弦上各点线密度为度为, 细弦上质点细弦上质点之间相互作用力为之间相互作用力为张力张力T(x，t) 水平合力为零水平合力为零 T2 cos 2T1 cos 1 = 0

4、 cos 1cos 2 1 T2T1T （为什么？）（为什么？）铅直合力铅直合力: F=m aT( sin 2sin 1) = ds uttsin 1 tan 1 （为什么（为什么?） T( tan 2tan 1) = ds utt 电子科技大学电子科技大学6/16dsdx 其中其中2aT 一维波动方程一维波动方程: utt = a2 uxx 考虑有恒外力密度考虑有恒外力密度F(x，t)作用时，可以得到一作用时，可以得到一维波动方程的非齐次形式维波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)T ux(x+dx，t)ux(x，t) = ds utt utt= a2 uxx 其

5、中其中f(x,y)=F(x,y)/.电子科技大学电子科技大学7/16细杆的纵向振动问题细杆的纵向振动问题 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长记为改变，质点位移相对伸长记为 ux。 u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO 均匀细杆长为均匀细杆长为L，线，线密度为密度为，杨氏模量为，杨氏模量为Y，杆的一端固定在坐标原杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动点，细杆受到沿杆长方向的扰动(沿沿x轴方向的振动轴方向的振动)杆上质点位移函数杆上质点位移函数 u(x，t)。电子科技大学电子科技大学8/16细杆的纵

6、向振动问题细杆的纵向振动问题u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO 相对伸长：相对伸长： ux ),(),(),( tdxxudxtxutdxxux 导数定义：导数定义： 当当dx 很小时，有很小时，有),(),( txutdxxuxx 电子科技大学电子科技大学9/16 用牛顿第二定律用牛顿第二定律 令令a2 = Y/ , dx0。化简，得。化简，得),(),(),(txudxtxutdxxuxxxx SY ux(x+dx，t)ux(x，t) = S dxutt utt = a2 uxxT(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)

7、SY ux(x+dx, t) ux(x, t) 截面应力截面应力 P = Y ux ,Y 是杨氏模量。截面的张力是杨氏模量。截面的张力 T = SP电子科技大学电子科技大学10/16弦振动问题定解条件弦振动问题定解条件 细弦一端固定在坐标原点细弦一端固定在坐标原点, ,另一端固定在另一端固定在 x x 轴上的轴上的 L L 处处. .受到垂直于受到垂直于 x x 轴方向的扰动轴方向的扰动, ,作微小横振动。初作微小横振动。初始条件包括初始位移和初始速度。始条件包括初始位移和初始速度。 边界条件表示端点状态边界条件表示端点状态初始条件表示历史状态初始条件表示历史状态电子科技大学电子科技大学11/

8、16u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或或: u(0,t)=0, : u(0,t)=0, u(L,t)=0u(L,t)=0初始条件初始条件: : 边界条件：边界条件：弦振动问题定解条件弦振动问题定解条件 u(x,t)|t=0= u(x,t)|t=0= (x), (x), ut(x,t)|t=0=g(x)ut(x,t)|t=0=g(x) 或或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x) 电子科技大学电子科技大学12/16 LxxuxxuttLututLxuautxxtt0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,2 LxLLxLhLxL

9、hxx2/,/ )(22/0,/2)( OLL/2hxu波动方程定解条件波动方程定解条件I I电子科技大学电子科技大学13/16波动方程定解条件波动方程定解条件II II 细弦的线密度为细弦的线密度为, ,一端固定在坐标原点一端固定在坐标原点, ,另一端固另一端固定在定在 x x 轴上的轴上的 L L 处处. .弦的中点受到垂直于弦的中点受到垂直于 x x 轴方向轴方向的冲量的冲量 I I 的作用的作用, ,作微小横振动。函数作微小横振动。函数 u(x,t) u(x,t) 表示表示位移位移 LxxxuxuttLututLxuautxxtt0),()0 ,(, 0)0 ,(0, 0),(, 0)

10、, 0(0,0,2 otherLxLIx, 02/2/),2/()( 电子科技大学电子科技大学14/16波动方程定解条件波动方程定解条件III III Lu(L,t)O细杆在细杆在 x = 0 点固定点固定, 在在 x = L 处受外力处受外力 F(t) 作用作用 ),()(tLSYutFuxtt F(t) SY ux( L , t ) = 0 SYtFuLxx/ )( LxxuxutSYtFuutLxuautLxxxxxtt0, 0)0 ,(, 0)0 ,(0,/ )(, 0|0,0,02电子科技大学电子科技大学15/16波动方程定解条件波动方程定解条件IV IV 弦的一端固定在原点弦的一端固定在原点, ,另一端与另一端与 x x 轴上轴上 L L 处的弹处的弹簧相接簧相接. .受到扰动受到扰动, ,作上下微小横振动。作上下微小横振动。 在右端点处在右端点处( (张力张力= =弹性力弹性力) :) :令令 =T/K, =T/K, 得得u + u + uxx=L=0 uxx=L=0 LxxuxutuuutLxuautLxxxxxtt0, 0)0 ,(, 0)0 ,(0, 0 , 0|0,0,02 Tux= -Ku Tux= -Ku电子科技大学电子科技大学16/16u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 初始条件初始条件: : 边界条件：边界条件：弦振动问题定解条件弦