武汉工程大学工程电磁场恒定电场学习教案

1、会计学1武汉工程大学武汉工程大学(dxu)工程电磁场恒定电工程电磁场恒定电场场第一页，共35页。2 要在导线中维持要在导线中维持(wich)(wich)恒定电恒定电流，必须依靠非静电力将流，必须依靠非静电力将B B极板的正电极板的正电荷抵抗电场力搬到荷抵抗电场力搬到A A极板。这种提供非极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。称为电源。1.电源电源(dinyun)恒定电流的形成恒定电流的形成3-1 3-1 导电媒质中的恒定电场导电媒质中的恒定电场(din chng)(din chng)、局外电场、局外电场(din chng)(din chn

2、g) 恒定电流场恒定电流场是恒定电场作用在导电媒质中所引起的电荷流动的是恒定电场作用在导电媒质中所引起的电荷流动的物理过程。物理过程。2.恒定电流恒定电流场场qE第2页/共35页第二页，共35页。3 电源电动势与有无电源电动势与有无(yu w)(yu w)外电路无关，外电路无关，它是表示电源本身的特征量。且与搬移电荷的数它是表示电源本身的特征量。且与搬移电荷的数量无关，即与电源的电流大小无关。量无关，即与电源的电流大小无关。3.电源电源(dinyun)电动势与局外电动势与局外场强场强设局设局(sh j)(sh j)外场外场强为强为电源电动势与局电源电动势与局外场强外场强 Vl dEBA0dqF

3、dqFEqlim00电源电动势为电源电动势为BAeleldEldE 因此局外场因此局外场 E E0 0 是非保守场。是非保守场。 局外场只存在于电源之中局外场只存在于电源之中第3页/共35页第三页，共35页。4dSdISIslim0 (3-3)(3-3) 3-2 3-2 电流密度、欧姆定律及焦尔楞次定律电流密度、欧姆定律及焦尔楞次定律(ln(ln c dn c dn l) l)的微分形式的微分形式1 电流密度矢量电流密度矢量(shling) 其方向为该点正自由电荷运动的方向，即该点电场强度矢其方向为该点正自由电荷运动的方向，即该点电场强度矢量量 的方向。的方向。E2 欧姆定律的微分形式欧姆定律

4、的微分形式E (3-4)(3-4) ：媒质的电导率，单位为西门子每米（媒质的电导率，单位为西门子每米（S/mS/m）SSdI 第4页/共35页第四页，共35页。53 焦尔定律焦尔定律(dngl)的微分形的微分形式式 导电媒质(mizh)中有电流时，必伴随功率损耗，其功率的体密度为Ep（W/m3）焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式 电路(dinl)中的焦耳定律，可由它的积分而得，即RIUIP2（W）焦耳定律的积分形式焦耳定律的积分形式第5页/共35页第五页，共35页。6RE2120lnRRRRUEo12ln222121RRdRREdRURRRRo12lnRRRUEo例例3-1 3-1 圆柱形电

5、容器内导体的外半径为圆柱形电容器内导体的外半径为R1R1，外导体的内半径为，外导体的内半径为R2R2，其间电介质并非理想的绝缘介质，其电容率为，其间电介质并非理想的绝缘介质，其电容率为，电导率，电导率为为，若于内导体至外导体间施以恒定，若于内导体至外导体间施以恒定(hngdng)(hngdng)电压电压U0U0，求单位长度上流过介质的电流及功率消耗。求单位长度上流过介质的电流及功率消耗。 解解 设内导体设内导体(dot)(dot)单位长度上电荷为单位长度上电荷为，则其所激发的电场强，则其所激发的电场强度为度为120120ln22lnRRURRRRUSdIS第6页/共35页第六页，共35页。71

6、220212020ln22ln21RRURdRRRRUdVEdVPPVVRR2ln1200RRIUR单位长度上所消耗单位长度上所消耗(xioho)(xioho)的功率的功率单位长度上的绝缘单位长度上的绝缘(juyun)(juyun)电阻电阻 （3-103-10）第7页/共35页第七页，共35页。8StqISd（3-113-11）3-3 3-3 恒定恒定(hngdng)(hngdng)电场电场的基本定理的基本定理1 电流电流(dinli)连续连续性方程性方程 在任意恒定电场中，作任意闭合(b h)曲面S，由电荷守恒定律得 图图3-3 3-3 穿过闭合曲穿过闭合曲面的电流密度线面的电流密度线在恒定

7、电流场中，在恒定电流场中，0tqSSd0（3-123-12）恒定电场的电流连续性方程的积分形式恒定电场的电流连续性方程的积分形式第8页/共35页第八页，共35页。900dVSdVS高斯公式恒定电场恒定电场(din chng)(din chng)是一个无源场，电流线是连续是一个无源场，电流线是连续的。的。0电流连续性方程的微分形式电流连续性方程的微分形式 电流的连续性方程说明了恒定电流场具有电流的连续性方程说明了恒定电流场具有什么性质？什么性质？第9页/共35页第九页，共35页。10 在恒定(hngdng)电场中，电场的分布恒定(hngdng)，它的能量状态亦是恒定(hngdng)的。2 环路环

8、路(hun l)定理定理0E环路定理的微分形式环路定理的微分形式ll dE0恒定电场的环路定理的积分形式恒定电场的环路定理的积分形式0)(0SdEl dEsl斯托克斯公式 环路定理说明了恒定电流场具有什么性质？恒定电场(din chng)能否引入电位函数？ 上式中的电场强度能否包括局外电场？上式中的电场强度能否包括局外电场？第10页/共35页第十页，共35页。11 恒定电场恒定电场(din chng)是无源无旋场。是无源无旋场。小结：恒定电场（电源外）的基本小结：恒定电场（电源外）的基本(jbn)方程方程0Sds0l dEcE00EEp(1)(1)恒定电场中是否存在泊松方程？恒定电场中是否存在

9、泊松方程？(2)(2)恒定电场基本定理可以推出电路理论恒定电场基本定理可以推出电路理论(lln)(lln)中的什么定律？中的什么定律？第11页/共35页第十一页，共35页。1202E当媒质均匀时 则得 0023 恒定恒定(hngdng)电场的拉普拉斯方电场的拉普拉斯方程程通常将无旋又无源的场称之为调和场。调和场满足拉普拉通常将无旋又无源的场称之为调和场。调和场满足拉普拉斯方程斯方程(fngchng)(fngchng)。而满足拉普拉斯方程。而满足拉普拉斯方程(fngchng)(fngchng)的的位函数，则称之为调和函数。位函数，则称之为调和函数。第12页/共35页第十二页，共35页。13nn2

10、1 (3-14 )(3-14 )ttEE21(3-15)(3-15)不同导电媒质不同导电媒质(mizh)(mizh)交界面处，恒定电场的折射定理：交界面处，恒定电场的折射定理：3-4 3-4 媒质媒质(mizh)(mizh)分界面上的边界条件分界面上的边界条件1.不同不同(b tn)导电媒质交界面上的边导电媒质交界面上的边界条件界条件(1)(1)边界条件边界条件设有媒质电导率分别为设有媒质电导率分别为 的交界面，可得的交界面，可得21, 上式说明，在不同导电媒质交界面处，电流密度矢量上式说明，在不同导电媒质交界面处，电流密度矢量 的法线分量连续。的法线分量连续。 在不同导电媒质交界面处，恒定电

11、场强度在不同导电媒质交界面处，恒定电场强度 的切线的切线分量连续。分量连续。E2121tantan12n1212第13页/共35页第十三页，共35页。14图图3-4 3-4 电流由电导率电流由电导率大的媒质流入电导率大的媒质流入电导率小的媒质小的媒质 在实际问题中，经常存在两在实际问题中，经常存在两种媒质的电导率数值相差极大的种媒质的电导率数值相差极大的情形，这时当电流由电导率大的情形，这时当电流由电导率大的媒质区域流向交界面时，不管其媒质区域流向交界面时，不管其与界面的交角如何，离开交界面与界面的交角如何，离开交界面进入电导率小的媒质区域的电流进入电导率小的媒质区域的电流密度线几乎与界面垂直

12、，这是因密度线几乎与界面垂直，这是因为当为当 之故。之故。2121,(2)(2)分析分析(fnx)(fnx)第14页/共35页第十四页，共35页。15图图3-5 3-5 电流由导电流由导体流入土壤体流入土壤 在电力工程中，为了保证设备及人身安全，必须设置专门的金属(jnsh)接地装置，图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其材料为钢，则其电导率约为5106S/m，如取地的土壤电导率为210-2S/m，当钢中电流密度与交界面法线的交角18959时，得23。由此可见，当电流从电导率高的接地体流入电导率低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎完全垂直于接地体表面，这时可以近似认为接地体表面为等位面。(3)

13、(3)边界条件的应用边界条件的应用(yngyng)(yngyng)第15页/共35页第十五页，共35页。161.具有漏电具有漏电(lu din)电流的两非理想电介质交界面的电流的两非理想电介质交界面的边界条件边界条件(1)(1)非理想非理想(lxing)(lxing)介质介质 在处理非理想介质(jizh)边界条件时，既要考虑其导电性，又要考虑其特有的介质(jizh)性能。 在新的情况下，不能断定交界面处是否有自由电荷存在，在新的情况下，不能断定交界面处是否有自由电荷存在，因而增添一个描述静电场交界面处的连接条件，即因而增添一个描述静电场交界面处的连接条件，即nnDD12 几乎所有电介质的电导率

14、都不为零，都是非理想介质，它几乎所有电介质的电导率都不为零，都是非理想介质，它们在电场的作用下，内部均将引起漏电电流（们在电场的作用下，内部均将引起漏电电流（ ）。E第16页/共35页第十六页，共35页。17交界面处才不存在交界面处才不存在(cnzi)(cnzi)自由面电荷。自由面电荷。(2)(2)边界条件的推导边界条件的推导(tudo)(tudo)nnnnnnnnttEEEEDDEE11222211122121可见只有在下式成立可见只有在下式成立(chngl)(chngl)的情况下的情况下n11122（3-223-22）1122（3-233-23）第17页/共35页第十七页，共35页。18图

15、图3-6 3-6 架空输电线的电场架空输电线的电场3.导电导电(dodin)媒质与理想电介质交界面的媒质与理想电介质交界面的边界条件边界条件 在通常情况下，导体在通常情况下，导体(dot)(dot)表面电场强度的法线分量表面电场强度的法线分量EnEn比切线分比切线分量量EtEt大得多，因而在绝缘媒质中，电大得多，因而在绝缘媒质中，电场强度线仍然近似垂直于导体场强度线仍然近似垂直于导体(dot)(dot)表面。因而，导电媒质与表面。因而，导电媒质与理想电介质交界面的边界条件为：理想电介质交界面的边界条件为：021nn(3-24)(3-24)ttEE21(3-25)(3-25)nnED22(3-2

16、6)(3-26)第18页/共35页第十八页，共35页。19图图3-7 3-7 例例3-23-2图图例例3-2 3-2 同轴电缆其内导体外半径为同轴电缆其内导体外半径为R1R1，填充有两层非理想电介质，填充有两层非理想电介质，介质分界面的半径为介质分界面的半径为R2R2，它们的电容率分别为，它们的电容率分别为11及及22，电导率分，电导率分别为别为11和和22，外导体的内半径为，外导体的内半径为R3R3。设内外导体间加电压。设内外导体间加电压U0U0，试，试求两介质中的电场求两介质中的电场(din chng)(din chng)强度及介质分界面的自由电荷面强度及介质分界面的自由电荷面密度。密度。

17、 解解 设同轴电缆单位长度由内导体流到外导设同轴电缆单位长度由内导体流到外导体的漏电流为体的漏电流为I0I0，由电流的连续性可知流过，由电流的连续性可知流过单位长度上任单位长度上任(shng rn)(shng rn)一半径为一半径为R R（R1R1R RR3R3）的圆柱面上电流均为）的圆柱面上电流均为I0I0，又由同轴，又由同轴电缆的对称性，知同一圆柱面上各点电流密电缆的对称性，知同一圆柱面上各点电流密度矢量应为径向，且大小相等。度矢量应为径向，且大小相等。第19页/共35页第十九页，共35页。20内外导体内外导体(dot)(dot)间电压为间电压为RI202（R2RR1）Enn,211012

18、RIE 2022RIE （R1RR2)（R2RR3)2123112202010110lnln22232213221RRRRIdRRIdRRIdREdREURRRRRRRRRI201因此因此 （R1RR2）R=R2第20页/共35页第二十页，共35页。212311220210lnln2RRRRUI于是于是(ysh)(ysh)，可由已知的电压，可由已知的电压U0U0求出求出I0 I0 代入上式得到代入上式得到(d do)(d do)RRRRRUE231122021lnlnRRRRRUE231122012lnln（R1RR2)（R2RR3)22311221221011122lnlnRRRRRUn第2

19、1页/共35页第二十一页，共35页。22图图3-8 3-8 例例3-33-3图图例例3-3 3-3 厚度为厚度为h=4mmh=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置(wi zhi)(wi zhi)和电位如图所示，若钢的电导率为和电位如图所示，若钢的电导率为5 5106S/m106S/m，R1=30mmR1=30mm，R2R260mm60mm，求电极之间的电阻。，求电极之间的电阻。0111222222222ddrdzdddrrrrr解解 用拉普拉斯方程来求解。选用拉普拉斯方程来求解。选用圆柱坐标系，用圆柱坐标系， 仅与坐标仅与坐标 有有关，而与关，而与r、z坐标无

20、关，拉普拉坐标无关，拉普拉斯方程简化为斯方程简化为 第22页/共35页第二十二页，共35页。23边界条件边界条件0200，U02012UCUC21CC直接积分得直接积分得002UUerUergradE0211200ln2221RRhUhdrrUSdISRR通过薄钢片截面的电流通过薄钢片截面的电流erUE02电流密度为电流密度为第23页/共35页第二十三页，共35页。24120ln2RRhIUR433361013. 110301060ln1041052R因此电极因此电极(dinj)(dinj)之间的电阻之间的电阻最后最后(zuhu)(zuhu)，代入已知数，代入已知数据据第24页/共35页第二十

21、四页，共35页。25dEdl dEU0dUE dUEDdxl dEdxdUsSDSSdDdSqdUSq图图3-9 3-9 平板电容器平板电容器电介质中的电场电介质中的电场3-6 3-6 导电导电(dodin)(dodin)媒质中的恒定电媒质中的恒定电场与电介质中静电场的比拟场与电介质中静电场的比拟1.静电场与恒定电场的相似静电场与恒定电场的相似(xin s)关系关系 实例：一面积为实例：一面积为S的平板电容器，如果两板间电压为的平板电容器，如果两板间电压为U，就，就能够求得其中的电场强度能够求得其中的电场强度 ，电位函数，电位函数 ，电位移矢量，电位移矢量 以及以及极板电荷极板电荷q的表达式。

22、的表达式。ED第25页/共35页第二十五页，共35页。26图图3-10 3-10 平行电极间平行电极间导电媒质中的电场导电媒质中的电场dEdl dEU0dUE dUEdxl dEdxdUsSSdIdUSI 若设想电容器的极板为良导体，而将上述电容器中的电介若设想电容器的极板为良导体，而将上述电容器中的电介质，换以电导率质，换以电导率很小的导电媒质，此时电流密度线可视为与很小的导电媒质，此时电流密度线可视为与板面垂直，在两极板间仍然施以电场板面垂直，在两极板间仍然施以电场U，则可求得极板间恒定，则可求得极板间恒定电场的场量电场的场量 、 、 与与I。E第26页/共35页第二十六页，共35页。27

23、表3-1 静电场与恒定电场的主要(zhyo)对应关系无自由电荷无自由电荷(z yu din h)(z yu din h)分分布区域的静电场布区域的静电场无局外场无局外场(wichng)(wichng)区域区域恒定电场恒定电场积分积分形式形式sBABAlSdDql dEl dE0SBABAlSdIl dEl dE00002EDDdivgradEErot微分微分形式形式0002EdivgradEErot边界边界条件条件nnttDDEE2121nnttEE2121第27页/共35页第二十七页，共35页。28静电场的主要静电场的主要(zhyo)(zhyo)物理物理量量恒定恒定(hngdng)(hngd

24、ng)电场的主要物电场的主要物理量理量EEDIq表3-2 静电场与恒定电场主要物理量的对应(duyng)关系因而在均匀媒质情况下，当两种场的边界条件（边界形状因而在均匀媒质情况下，当两种场的边界条件（边界形状及边界赋值）完全相同时，它们的及边界赋值）完全相同时，它们的 场与场与 场是完全相同的，场是完全相同的，而而 场与场与 场则是彼此相似的。场则是彼此相似的。ED第28页/共35页第二十八页，共35页。29图图3-11 3-11 静电场图（静电场图（a a）与）与恒定电场（恒定电场（b b）类比示意）类比示意2.静电场与恒定静电场与恒定(hngdng)电场的类比电场的类比332211（3-4

25、83-48） 在非同一媒质情况下，若静在非同一媒质情况下，若静电场中的电介质与恒定电场中导电场中的电介质与恒定电场中导电电(dodin)(dodin)媒质是分区均匀的媒质是分区均匀的，且有同一相应的分布区域，此，且有同一相应的分布区域，此时若两场中的导体边界条件亦相时若两场中的导体边界条件亦相同，欲使两场的场强相等，由场同，欲使两场的场强相等，由场的连接条件得的连接条件得 若上述条件中，若静电场与恒定电场的场强及电位的分布若上述条件中，若静电场与恒定电场的场强及电位的分布虽然彼此不完全相同，但仍然是相似虽然彼此不完全相同，但仍然是相似(xin(xin s) s)的。运用它的。运用它们彼此间的相

26、似们彼此间的相似(xin(xin s) s)关系，将一种场的求解方法过渡关系，将一种场的求解方法过渡到另一种场中来，这种方法称之为场的比拟法。到另一种场中来，这种方法称之为场的比拟法。第29页/共35页第二十九页，共35页。30图图3-12 3-12 两平行输电两平行输电线间的漏电导线间的漏电导LsLSl dESdEl dESdDUqC0(3-50)(3-50)LsLSl dESdEl dESdUIG(3-49)(3-49)两平行两平行(pngxng)(pngxng)输输电线间电容电线间电容3.运用比拟运用比拟(bn)法求两导体间的漏电导（或法求两导体间的漏电导（或电阻）电阻） 求两平行输电线间的漏电导求两