理论力学8、点的复合运动

1、第十章第十章 点的复合运动点的复合运动10-1 基本概念基本概念一、两个参考系一、两个参考系定参考系：定参考系：把固定在地面上的坐标系称为定参考系。把固定在地面上的坐标系称为定参考系。 简称定系或静系。用简称定系或静系。用oxyz坐标系表示。坐标系表示。动参考系：动参考系：把固定在其它相对于地球运动的参考系上把固定在其它相对于地球运动的参考系上 的坐标系称为动参考系。以的坐标系称为动参考系。以oxyz表示。表示。二、三种运动二、三种运动绝对运动：动点相对于定参考系的运动。绝对运动：动点相对于定参考系的运动。（点）（点）相对运动：动点相对于动参考系的运动。相对运动：动点相对于动参考系的运动。牵连

2、运动：动系相对于定系的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动。（刚体）（刚体） 点的合成运动研究点的合成运动研究一个点一个点相对于相对于两个两个完全完全不同的不同的坐标系坐标系的运动及其之间的关系。的运动及其之间的关系。绝对运动绝对运动牵连运动牵连运动静系相对运动相对运动动点M动系点的运动点的运动刚体的运动牵连点牵连点: :动系上动系上与动点重合与动点重合的点。的点。 绝对速度绝对速度 va绝对加速度绝对加速度 aa相对速度相对速度 vr相对加速度相对加速度 ar静系通常固结于地面 牵连点相对于静系的速度、加速度分别称之为牵连点相对于静系的速度、加速度分别称之为牵连牵连 速度速度v ve e和和

3、牵连加速度牵连加速度a ae e。三、三种速度和加速度三、三种速度和加速度相对运动相对运动动系四、运动分析时注意的问题：四、运动分析时注意的问题：1、选择动点的原则：、选择动点的原则：动点对动系有相对运动。因此，动点对动系有相对运动。因此，动点与动系不能在同一刚体上。对刚体系统，由于动点与动系不能在同一刚体上。对刚体系统，由于刚体的接触点是刚体运动的传递点，故往往选择两刚体的接触点是刚体运动的传递点，故往往选择两个刚体的交接点作为研究对象。个刚体的交接点作为研究对象。2、选择动系的原则是：、选择动系的原则是：动系必须固结于运动的刚体上动系必须固结于运动的刚体上,通常应使牵连运动和相对运动，尽量

4、明显而简单。通常应使牵连运动和相对运动，尽量明显而简单。3、动点、动系不能取在同一物体上。、动点、动系不能取在同一物体上。动点相对于动动点相对于动系的相对轨迹要明显、简单（如直线、圆）。系的相对轨迹要明显、简单（如直线、圆）。 对于机构传动问题，动点多选在主动件与从动件的对于机构传动问题，动点多选在主动件与从动件的连接点和接触点。静系一般固定在不动的物体上。连接点和接触点。静系一般固定在不动的物体上。10-2 点的速度合成定理点的速度合成定理AMBM1M/ABrae/11/MMMMMMtMMtMMtMMttt/1010/0limlimlim 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该动点在某瞬时的绝对速

5、度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。rreavvv003360vvctgveaABv0Rvavevrvavevr0erv2vv360sin0例例1：凸轮半径为：凸轮半径为R，沿水平面以匀速，沿水平面以匀速v0向右运动，求向右运动，求=600时杆时杆AB的速度。的速度。reavvvABCODM解解：动点：动点M，动系，动系OD杆杆vevavr23cosOCOMve232coseavv23sinarvvt =1s 时，时，=30023633108 OM例例2 2：OD杆绕杆绕O转动，转动方程为：转动，转动方程为：radt6sin3 小环小环M套在套在OD

6、杆和固定杆杆和固定杆AB上，设上，设OC=54cm，求，求 t =1s 时小环时小环M的绝对速度与相对速度。的绝对速度与相对速度。r re ea avvvvrvave例例3 3 ：杆：杆OA长长l，在推杆，在推杆BCD以匀速以匀速u 的推动下绕的推动下绕O转动，转动，求当求当OC=x时，杆端时，杆端A的速度，表为的速度，表为x的函数。的函数。buxDCBOA解解：动点：动点B，动系，动系OAvevavrsinaevvubxb22OBveOA22bxveubxb22ubxlbvA22例例4 4 ：OA杆绕杆绕O转动，转动，=t / 6 （rad），小环），小环M套在套在 OA杆和半径为杆和半径为

7、 r = 6cm 的固定大圆环上，求当的固定大圆环上，求当t=2秒时，小秒时，小环环M 的的va、 ve、 vr 。MOA解解：动点：动点M，动系，动系OA，牵连为转动，牵连为转动vavrve3sin2rvectgvver2cosravvr re ea avvv 刨床的急回机构如图所示，曲柄刨床的急回机构如图所示，曲柄OA的一端的一端A与与滑块用铰链连接，当曲柄滑块用铰链连接，当曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动时，滑块在摇杆转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴绕固定轴O1摆动，设曲柄长摆动，设曲柄长OA=r，两间距离两间距离OO1= l，

8、求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度1。运运 动动 演演 示示相相 对对 运运 动动 轨轨 迹迹解：解：1. 选择动点，动系与定系。选择动点，动系与定系。动系动系O1xy，固连于摇杆固连于摇杆 O1B。2. 运动分析。运动分析。 相对运动沿相对运动沿O1B的直线运动。的直线运动。牵连运动摇杆绕牵连运动摇杆绕O1轴的摆动。轴的摆动。动点滑块动点滑块 A 。y x定系固连于机座。定系固连于机座。reavvv3. 速度分析。速度分析。 绝对速度绝对速度va：vaOA r 相对速度相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆：大小未知，方向沿摇杆O1B 。 牵连速度牵连速度ve：方向

9、垂直于：方向垂直于O1B 。vavevrreavvv sinaevv 22211erlrAOv, sin22rlr， arv 222erlrv所以所以设摇杆在此瞬时的角速度为设摇杆在此瞬时的角速度为1，则则221rlAO2221rlrvavevr讨论讨论： 若取摇杆若取摇杆O1B上上A点为动点，动系固连曲柄点为动点，动系固连曲柄OA，则，则相对运动轨迹是什么曲线？相对运动轨迹是什么曲线？讨论讨论： 若取摇杆若取摇杆O1B上上A点为动点，动系固连曲柄点为动点，动系固连曲柄OA，则相对运动轨迹是什么曲线？，则相对运动轨迹是什么曲线？讨论讨论： 若取摇杆若取摇杆O1B上上A点为动点，动系固连曲柄点为

10、动点，动系固连曲柄OA，则相对运动轨迹是什么曲线？，则相对运动轨迹是什么曲线？10-3 牵连牵连运动运动为平动为平动时点的时点的加速度合成加速度合成定理定理zxox y z o MM 绝对轨迹相对轨迹a ar r a ae e a aa a r re ea avvvr r0 0 vv t tt tr ro oddddddvvvtar re ea aaaa上式为矢量式上式为矢量式,最多可能有六项最多可能有六项:r rn ne en na an nr re ea aaaaaaa一般用投影式求解。一般用投影式求解。例例:凸轮半径为凸轮半径为R，沿水平面向右运动，当，沿水平面向右运动，当=600时凸轮

11、的速度为时凸轮的速度为u,加速度为加速度为a，求此时杆，求此时杆AB的加速度。的加速度。解：解：ABuRa003360vvctgvea0erv32vv060sin动点动点: A (AB上上)动系动系: 凸轮凸轮r rn ne en na an ne ea aaaaaaarr rn nr re eaaaaaa aa a a ae e arn ar ?nreaacosasinaRva2rnr注意!矢量等式投影时,两端各自投影,等号照搬。r rn ne en na an nr re ea aaaaaaa例例：凸轮半径为：凸轮半径为R，沿水平面向右运动，当，沿水平面向右运动，当=600时凸轮的速度为时

12、凸轮的速度为u,加速度为加速度为a，杆，杆OA长长l，此时与铅直线的夹角为此时与铅直线的夹角为300，求此时杆，求此时杆OA的的角加速度角加速度OA。解解：动点动点: A (AO上上)动系动系: 凸轮凸轮a ae e ar AuRaOv va a v ve e v vr r arn aan aa 将上式向与未知量垂线的方向投影将上式向与未知量垂线的方向投影r re ea avvvr rn ne ea an nr ra aaaaaa?OAaa 10-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理其中，其中，ak为科氏加速度为科氏加速度,由动系的转动和相对运动共同作用所致

13、。由动系的转动和相对运动共同作用所致。加速度合成式为矢量式加速度合成式为矢量式,最多可能有七项最多可能有七项:k kr rn ne en na an nr re ea aaaaaaaa一般用投影式求解。一般用投影式求解。r re ea avvvr re ea aaaa动系动系平动平动时时:速度速度:动系动系转动转动时时:k kr re ea aaaaar rk kva 2sin2rkva 方向方向:大小大小:也可将也可将vr沿沿的转向旋转的转向旋转900即是。即是。(推导略推导略)例例: :弯成直角的曲杆弯成直角的曲杆OBC绕绕O转动，小环转动，小环M同时套在曲杆和固定杆同时套在曲杆和固定杆O

14、A上，已知，上，已知，OB=10cm，曲杆的角速度，曲杆的角速度= 0.5 rad / s，求当，求当=600 时小环时小环M 的速度和加速度。的速度和加速度。ABMOC解解：动点小环：动点小环M，动系曲杆，牵连运动为转动。，动系曲杆，牵连运动为转动。vavrve10OMve31060 tgvvea2030sin/ervvaraa动系动系转动转动时时:k kr re ea aaaaaak将上式向图示轴投影：将上式向图示轴投影：kneaaaa60cos60cos)/(352scmaaaek kr rn ne en na an nr re ea aaaaaaaa?练习题练习题：图示倾角为：图示倾角

15、为=30o的尖劈以匀速的尖劈以匀速u=200mm/s沿水平面向右沿水平面向右运动，使杆运动，使杆OB绕定轴转动绕定轴转动，BOBOmmr ,求求时时当当3200OBurvavrve30cos2eravvv解解：速度分析如图：速度分析如图31rvaBOaaaraan牵连为平动，加速度分析如图牵连为平动，加速度分析如图2733030sin30cos2tgaanaa练习题练习题：半径为：半径为R的固定半圆环和可以水平移动的竖直杆的固定半圆环和可以水平移动的竖直杆AB用小环用小环M套在一起，位于同一平面内。已知套在一起，位于同一平面内。已知AB向右的速度为常数向右的速度为常数u，求图，求图示位置时，小环示位置时，小环M的绝对加速度的大小和方向。的绝对加速度的大小和方向。450ABMu解：速度分析如图：速度分析如图vavrveuva2牵连为平动，加速度分析如图牵连为平动，加速度分析如图aaaraanRuRvaana222RuaRuaaanaa22222练习题练习题：杆：杆OA长长40cm，以匀角速，以匀角速=0.5rad /s 绕绕O转动，求当转动，求当=300时，曲杆时，曲杆BC的速度和加速度。的速度和加速度。解解：动点：动点A(OA上上)，动系，动系BC。CBOAvavrvecosaevv coslscm /3 .17牵连为平