机械工程控制基础--06控制系统的稳定性

1、 机械工程控制基础机械工程控制基础1河北工程大学Hebei University of Engineering 机械工程控制基础机械工程控制基础河北工程大学河北工程大学机械与装备工程学院机械与装备工程学院周雁冰周雁冰 机械工程控制基础机械工程控制基础2河北工程大学Hebei University of Engineering 第六章第六章 控制系统的稳定性控制系统的稳定性6.1 6.1 系统稳定性概念及其条件系统稳定性概念及其条件6.2 6.2 控制系统的稳定判据控制系统的稳定判据6.3 6.3 控制系统的稳定性储备控制系统的稳定性储备 机械工程控制基础机械工程控制基础3河北工程大学Hebei

2、 University of Engineering 一、稳定性的定义一、稳定性的定义稳定性定义：稳定性定义：系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。系统稳定性说明：若系统在初始状态的影响下，由它所引系统稳定性说明：若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于0 0（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时

3、间响应随着时间的推移而发散（即偏离所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统是不稳定的。平衡位置越来越远），则称系统是不稳定的。6.1 系统稳定性概念及其条件系统稳定性概念及其条件 机械工程控制基础机械工程控制基础4河北工程大学Hebei University of Engineering 二、关于稳定性的相关提法二、关于稳定性的相关提法1 1、李亚普诺夫稳定性、李亚普诺夫稳定性)(o 若若o为系统的平衡工作点，扰动使为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起始偏差（即初系统偏离此工作点的起始偏差（即初态）不超过域态）不超过域，由扰动引起的输出，由扰动引

4、起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其（这种初态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的整数终态不超过预先给定的整数，则系统，则系统是稳定的，反之，系统是不稳定的。是稳定的，反之，系统是不稳定的。 机械工程控制基础机械工程控制基础5河北工程大学Hebei University of Engineering 李亚普诺夫稳定李亚普诺夫稳定 渐近稳定渐近稳定 不稳定不稳定2 2、渐近稳定性、渐近稳定性 要求由初始状态引起的响应最终趋于平衡状态（衰减要求由初始状态引起的响应最终趋于平衡状态（衰减为为0）。渐近稳定性满足李雅普诺夫稳定性定义，而输出）。渐近稳定性满足李雅普诺夫稳定性定义，而输出响应比

5、李氏稳定性严格（渐进稳定要求系统输出最终趋于响应比李氏稳定性严格（渐进稳定要求系统输出最终趋于平衡状态，而李亚普诺夫稳定性仅要求系统输出进入平衡状态，而李亚普诺夫稳定性仅要求系统输出进入 的的范围即可），因此渐进稳定性的要求更高。范围即可），因此渐进稳定性的要求更高。 机械工程控制基础机械工程控制基础6河北工程大学Hebei University of Engineering 3、大范围稳定性、大范围稳定性与与大范围渐近稳定性大范围渐近稳定性 若系统在任意初始条件下都保持稳定，则系统称为若系统在任意初始条件下都保持稳定，则系统称为“大范围稳定大范围稳定”的；若系统在任意初始条件下都保持渐近的；

6、若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为稳定，则系统称为“大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。大范围稳定大范围稳定 大范围渐近稳定大范围渐近稳定 在工程中，通常不采用李亚普诺夫稳定性的概念，而在工程中，通常不采用李亚普诺夫稳定性的概念，而是采用条件更为苛刻的渐近稳定的概念。对定线性定常系是采用条件更为苛刻的渐近稳定的概念。对定线性定常系统，其稳定性是渐近的，而且是大范围渐近稳定的，这给统，其稳定性是渐近的，而且是大范围渐近稳定的，这给稳定性讨论带来了极大的方便。稳定性讨论带来了极大的方便。 机械工程控制基础机械工程控制基础7河北工程大学Hebei University of Enginee

7、ring 起点起点终点（或收敛域）终点（或收敛域）李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性有限起始域有限起始域有限平衡域有限平衡域渐进稳定性渐进稳定性有限起始域有限起始域有限平衡域有限平衡域中的平衡点中的平衡点大范围稳定性大范围稳定性任意任意有限平衡域有限平衡域大范围渐进稳定性大范围渐进稳定性任意任意有限平衡域有限平衡域中的平衡点中的平衡点 机械工程控制基础机械工程控制基础8河北工程大学Hebei University of Engineering 对于线性定常系统：对于线性定常系统：三、系统稳定的条件三、系统稳定的条件( )(1)110()(1)110( )( )( )( )( )( )( )( )

8、()nnnonooommmimiiia xtaxta x ta x tb xtbxtb x tb x tnm1212( )()()()( )( )( )( )()()()omminnXsbszszszM sG sX sD sa ssssss 式中，式中，z1，z2，zm为零点；为零点；s1，s2，sn为极点；为极点；M(s)为传递函数为传递函数的的分子；分子；D(s)为传递函数为传递函数的的分母分母， D(s)=0称为系统的称为系统的特征方程特征方程，方程的根，方程的根si表示系统的表示系统的特征根特征根。 机械工程控制基础机械工程控制基础9河北工程大学Hebei University of

9、Engineering ,0lim0cossinlim=0iix iy ts txtiytxtiytts ttA eA eA eex yxeeytiytA e ，均为实数，且因为，为有限数，所以1、若系统所有的特征根、若系统所有的特征根si（i=1，2，n)均具有负实部均具有负实部（位于（位于s平面的左半平面）平面的左半平面）1lim0ins titiA e 则响应收敛，系统稳定响应收敛，系统稳定Why?1( )ins toiixtA e 对于单位脉冲输入，假设特征方程根互异（无重极对于单位脉冲输入，假设特征方程根互异（无重极根、无共轭根），无干扰时其输出拉氏变换和响应为：根、无共轭根），无干

10、扰时其输出拉氏变换和响应为：1( )nioiiAXsss 机械工程控制基础机械工程控制基础10河北工程大学Hebei University of Engineering 4、若有特征根、若有特征根sk =0（位于（位于s平面的原点），其余极点位于平面的原点），其余极点位于s平面的左半平面平面的左半平面响应收敛于常值，系统稳定。响应收敛于常值，系统稳定。1limins tiktiAeA则响应等幅振动，系响应等幅振动，系统临界稳定，工程统临界稳定，工程上认为不稳定。上认为不稳定。1limins tj tiktiAeA e则3、若有特征根、若有特征根sk =j（位于（位于s平面的虚轴上），其余极点平

11、面的虚轴上），其余极点位于位于s平面的左半平面平面的左半平面响应发散，系统不稳定。响应发散，系统不稳定。1limins titiAe 则2、若有至少一个、若有至少一个sk具有正实部（位于具有正实部（位于s平面的右半平面）平面的右半平面） 机械工程控制基础机械工程控制基础11河北工程大学Hebei University of Engineering 线性定常系统稳定的充分必要条件是：线性定常系统稳定的充分必要条件是：特征方程式特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根，即特征方程的所有根均为负实根或其实部为负的复根，即特征方程的根均在复平面（的根均在复平面（s平面）的左半平面。平面）的左半平

12、面。 由于系统特征方程的根就是系统闭环传递函数的极由于系统特征方程的根就是系统闭环传递函数的极点，因此也可以说，线性定常系统稳定的充分必要条件点，因此也可以说，线性定常系统稳定的充分必要条件是：是：系统闭环传函的极点均在复平面（系统闭环传函的极点均在复平面（s平面）的左半平面）的左半平面。平面。 结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根，这是系统的固有特性即结构与参数，与系统的输入无关。根，这是系统的固有特性即结构与参数，与系统的输入无关。 系统传递函数的特征方程有重极根、有共轭根时，不影系统传递函数的特征方程有重极根、有共轭根时，不影

13、响以上分析结果，详细分析过程参考书上。响以上分析结果，详细分析过程参考书上。 机械工程控制基础机械工程控制基础12河北工程大学Hebei University of Engineering 11101110( )( )( )()( )1( )( )mmmmBnnnnb sbsbsbX sG sGsnmY sG s H sa sasa sa11100nnnna sasa sa线性定常系统闭环传递函数为：线性定常系统闭环传递函数为： 如何判别系统是否稳定？如何判别系统是否稳定？ 求出特征根（闭环极点）再判断？求出特征根（闭环极点）再判断？ 实验？实验？高阶难求；不必要。高阶难求；不必要。如果不稳定

14、，可能导致严重后果。如果不稳定，可能导致严重后果。思路：思路：特征方程特征方程 根的分布（避免求解）；根的分布（避免求解）；开环传递函数开环传递函数 闭环系统的稳定性（开环极点易闭环系统的稳定性（开环极点易知，闭环极点难求）。知，闭环极点难求）。稳定判据稳定判据特征方程为：特征方程为： 机械工程控制基础机械工程控制基础13河北工程大学Hebei University of Engineering 一、一、Routh稳定判据稳定判据1、系统稳定的必要条件、系统稳定的必要条件设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：0)(0111asasasasDnnnn两边同除两边同除an11011212111,

15、2()()()( 1)nnnnnnnnnnnnnniijiiijiijaaasssssssssaaassss sss 6.2 控制系统的稳定判据控制系统的稳定判据 机械工程控制基础机械工程控制基础14河北工程大学Hebei University of Engineering 依据上式，依据上式，s的同次幂前系数应对等，则有下式：的同次幂前系数应对等，则有下式： 按习惯，一般取最高阶按习惯，一般取最高阶次项的系数为正（即次项的系数为正（即an 0），），要使系统稳定，那么系统全要使系统稳定，那么系统全部特征根均具有负实部，就部特征根均具有负实部，就必须满足以下条件（即系统必须满足以下条件（即系统

16、稳定的稳定的必要条件必要条件）：）： 特征方程的各项系数都大特征方程的各项系数都大于于0（即（即ai 0）。）。1121,201( 1)nniinnnijijnijnniinasaas saasa 机械工程控制基础机械工程控制基础15河北工程大学Hebei University of Engineering 2、 劳斯判据下系统稳定的充要条件劳斯判据下系统稳定的充要条件对系统的特征方程：对系统的特征方程：0)(0111asasasasDnnnn其各阶系数排成其各阶系数排成Routh表如下：表如下：ns1ns2ns3ns2s1s0sna2na4na6na1na3na5na7na1A2A3A4A1

17、B2B3B4B1D2D1E1F13211nnnnnaaaaaA15412nnnnnaaaaaA17613nnnnnaaaaaA121311AAaaABnn131512AAaaABnn141713AAaaABnn必须为正必须为正 机械工程控制基础机械工程控制基础16河北工程大学Hebei University of Engineering Routh判据判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数表中第一列各元符号改变的次数等于系等于系统特征方程具有统特征方程具有正实部特征根的个数正实部特征根的个数。因此系统稳定的。因此系统稳定的充充要条件要条件可表述为：可表述为：Routh表中第一列各元的符号

18、均为正表中第一列各元的符号均为正。例：系统特征方程例：系统特征方程0301119)(234sssssD试用试用Routh表判断其稳定性。表判断其稳定性。4s3s2s1s0s119301110303012030301111)19(1123030111)30(首列元素改变符号两次。首列元素改变符号两次。解：解：由由Routh判据：系统不稳定，判据：系统不稳定，系统有两个具有正实部的特征根系统有两个具有正实部的特征根。13010301 机械工程控制基础机械工程控制基础17河北工程大学Hebei University of Engineering 3、低阶系统的劳斯稳定判据、低阶系统的劳斯稳定判据 q

19、 二阶系统二阶系统2210( )0D sa sa sa劳斯表为：劳斯表为：s2a2a0s1a10s0a0a00，a10，a20二阶系统稳定的二阶系统稳定的充要条件为：充要条件为：q 三阶系统三阶系统323210( )0D sa sa sa sa劳斯表为：劳斯表为：s3a3 a1s2a2 a0s1 0s0a012032()a aa aa三阶系统稳定的充要条三阶系统稳定的充要条件为：件为：a30, a20, a10, a00, a1a2- a0a30 机械工程控制基础机械工程控制基础18河北工程大学Hebei University of Engineering 例：闭环系统的开环传递函数为：例：闭

20、环系统的开环传递函数为：求系统稳定时求系统稳定时K和和T的取值范围。的取值范围。(1)( )(1)(51)kK sG ss Tss解：系统闭环特征方程为：解：系统闭环特征方程为：32 1( ) 5(5)(1)0kG sTsT sK sK即的分子为0：这是三阶系统，所以系统稳定条件为：这是三阶系统，所以系统稳定条件为：00(5)(1)50TKTKTK05045TTKT1( )0kG s 机械工程控制基础机械工程控制基础19河北工程大学Hebei University of Engineering 4、系统稳定的特殊情况、系统稳定的特殊情况 如果如果Routh表中任意一行的第一个元素为表中任意一行

21、的第一个元素为0，而其它各，而其它各素元不全为素元不全为0，则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。，则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是于是Routh表计算无法继续，为克服这一困难，用一个很小表计算无法继续，为克服这一困难，用一个很小的正数的正数代替第一列的代替第一列的 0（摄动法），然后计算（摄动法），然后计算Routh表的表的其余各元素。其余各元素。 情况一：情况一：例：系统特征方程：例：系统特征方程：04244)(2345ssssssD试用试用RouthRouth表判断其稳定性。表判断其稳定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：4s3s142144205s0 机械

22、工程控制基础机械工程控制基础20河北工程大学Hebei University of Engineering 4s3s2s1s0s1421442024 42448425s0 04改变符号两次，由改变符号两次，由Routh判据：系统不稳定。判据：系统不稳定。4202484042 机械工程控制基础机械工程控制基础21河北工程大学Hebei University of Engineering 如果如果Routh表中任意一行的所有元素都为表中任意一行的所有元素都为0，Routh表的表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用

23、辅助多项式的导数的系数组成一个辅助多项式，并用辅助多项式的导数的系数组成Routh表的下一行。这样，表的下一行。这样，Routh表就可以继续计算下去。表就可以继续计算下去。 出现这种情况，一般是由于系统的特征根中，或存在出现这种情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（响应发散，系统不稳定），或存在两个符号相反的实根（响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（响应维持某一频率的等幅振荡，系统一对共轭的纯虚根（响应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定），或是以上几种根（复根）的组合。临界稳定），或是以上几种根（复根）的组合。 情况二：情况二：例：系统特征方程：例：系统特征方

24、程：0502548242)(2345ssssssD试用试用Routh判据判断其稳定性。判据判断其稳定性。解：列解：列Routh表如下：表如下：4s3s1242524850005s 机械工程控制基础机械工程控制基础22河北工程大学Hebei University of Engineering 8964s3s2s1s0s12425248500024507 .1125s50Routh表中出现表中出现0元素行，元素行，构造辅助多项式如下：构造辅助多项式如下：050482)(24sssF取取F(s)对对s的导数得新方程：的导数得新方程：0968)(3sssF用上式中的系数用上式中的系数8和和96代替代替

25、0元素行，继续进行运算。元素行，继续进行运算。改变符号一次，由改变符号一次，由Routh判据：系统不稳定。判据：系统不稳定。本例中辅助多项式为：本例中辅助多项式为：050482)(24sssF解此辅助多项式可得：解此辅助多项式可得：1;5ssj 这两对复根是原特征方程的根的一部分。这两对复根是原特征方程的根的一部分。 3s 机械工程控制基础机械工程控制基础23河北工程大学Hebei University of Engineering 应用应用Routh判据可检验判据可检验稳定稳定系统系统的的相对稳定性相对稳定性方法如下：方法如下：5、劳斯判据下系统相对稳定性的检验、劳斯判据下系统相对稳定性的检

26、验 首先，将首先，将s s平面的虚轴向左平面的虚轴向左移动某个数值（减某数），即移动某个数值（减某数），即令令s sz-z-（为正实数）为正实数），代，代入系统传递函数的原特征方程，入系统传递函数的原特征方程，则得到关于则得到关于z z的新方程；的新方程； 为了保证系统稳定，且具有良好的动态特性，在控制为了保证系统稳定，且具有良好的动态特性，在控制工程中还要涉及相对稳定性的问题，用它来说明系统的稳工程中还要涉及相对稳定性的问题，用它来说明系统的稳定程度定程度高低高低。在时域分析中，以实部最大的特征根与虚轴。在时域分析中，以实部最大的特征根与虚轴的距离的距离 来表示系统的相对稳定性或稳定裕量。来

27、表示系统的相对稳定性或稳定裕量。0j 机械工程控制基础机械工程控制基础24河北工程大学Hebei University of Engineering 例：系统传递函数方框图例：系统传递函数方框图如图所示，已知如图所示，已知T T1 1=0.1=0.1，T T2 2=0.25=0.25，求，求: :)(sXi)(sXo)1)(1 (21sTsTsK解：解：1 1）求）求系统稳定时系统稳定时K K值的取值范围值的取值范围1 1）系统稳定时）系统稳定时K K值的取值范围；值的取值范围；2 2）若要求系统的特征根（闭环极点）均位于）若要求系统的特征根（闭环极点）均位于s=-1s=-1线的左侧，线的左侧

28、，K K值的取值范围。值的取值范围。KssTTsTTKsHsGsGsGB221321)()()(1)()( 然后，利用然后，利用RouthRouth表和表和RouthRouth判据对新的特征方程（判据对新的特征方程（z z为为自变量自变量）进行稳定性判别。如果新系统稳定，则说明原系）进行稳定性判别。如果新系统稳定，则说明原系统特征方程的根均在新的虚轴之左边，统特征方程的根均在新的虚轴之左边，越大，系统相对稳越大，系统相对稳定性越好，则系统具有定性越好，则系统具有 的稳定裕量的稳定裕量。 机械工程控制基础机械工程控制基础25河北工程大学Hebei University of Engineerin

29、g 列列RouthRouth表如下：表如下：0400404014KK140 K3s2s1s0s14014K4014404014KK40解得系统稳定时解得系统稳定时K K的取值范围为：的取值范围为：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判据得：判据得：2 2）令）令s sz z1 1，代入特征方程得：，代入特征方程得：32(1)14(1)40(1)400zzzK0)()(221321KssTTsTTsD040401423Ksss因为：因为：将将T T1 1和和T T2 2代入得：代入得： 机械工程控制基础机械工程控制基础26河北工程大学Hebei University of Eng

30、ineering 列列RouthRouth表如下：表如下：02740040192KK8 . 4675. 0 K3z2z1z0z115112740K1127401511K2740K解得：解得：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判据得：判据得：与与1)1)的结果比较可知，的结果比较可知，K K的取值范围变小了。的取值范围变小了。02740151123Kzzz即：即： 机械工程控制基础机械工程控制基础27河北工程大学Hebei University of Engineering 提出原因：提出原因：1、代数判别方法根难以求取、不能清晰反应各、代数判别方法根难以求取、不能清晰反应各环

31、节对系统稳定性的影响；环节对系统稳定性的影响；2、在系统系统时或在实际系统、在系统系统时或在实际系统测试中，通常容易给出系统的开环传递函数，这就希望谋求测试中，通常容易给出系统的开环传递函数，这就希望谋求一个能用开环传递函数来判别闭环系统稳定性的判别方法。一个能用开环传递函数来判别闭环系统稳定性的判别方法。判断方法：判断方法：将闭环系统的特征方程将闭环系统的特征方程 1+G(s)H(s)=0 与开环频与开环频率特性率特性GK(j )联系起来，通过联系起来，通过GK(j)的的Nyquist图，利用图图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性。解法来判明闭环系统的稳定性。二、二、 Nyquist稳定判据

32、稳定判据Nyquist稳定判据的数学基础是复变函数中的稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理幅角原理。提出过程：提出过程：该稳定性判据由该稳定性判据由H.Nyquist于于1932年提出，在年提出，在1940年以后得到广泛应用。年以后得到广泛应用。 机械工程控制基础机械工程控制基础28河北工程大学Hebei University of Engineering Nyquist判据不需要求取闭系统的特征根，而是应用判据不需要求取闭系统的特征根，而是应用开环频率特性开环频率特性Gk(j )，即，即G(j )H(j )曲线，进而分析闭环系曲线，进而分析闭环系统的稳定性。特别是当系统的某些环节的传递函

33、数无法用统的稳定性。特别是当系统的某些环节的传递函数无法用分析法求得时，可以通过实验来获得这些环节的频率特性分析法求得时，可以通过实验来获得这些环节的频率特性曲线或系统的曲线或系统的Gk(j )。 1、辅助函数、辅助函数F(s)与开、闭环传递函数的零、极点的关系与开、闭环传递函数的零、极点的关系X i (s)G(s)H(s)X o (s)其闭环传递函数为：其闭环传递函数为： ( )( )( )1( ) ( )1( )BKG sG sGsH s G sGs)()()(sNsMsGGG)()()(sNsMsHHH 机械工程控制基础机械工程控制基础29河北工程大学Hebei University o

34、f Engineering ( )( )( )( )( )( )( )( )( )GGHHkGHGHMsMsMsG sG s H sNsNsNs可求得：可求得： 推导过程：推导过程：( )/( )( )( )( )( )1( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )GGBGHGHGHGHGHMsNsG sGsMs MsG s H sNsNsMs NsMN sNs NsMs MsD s亦可求得：亦可求得：做辅助函数做辅助函数：( )( )( )1( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )GHGHGHGHGHGHMs MsF sG s

35、H sNsNsNs NsMs MsD sNs NsNs 式中式中MGH(s)、NGH (s)为为s的多项式，的多项式，s的阶次分别为的阶次分别为m、n，且，且n m。 机械工程控制基础机械工程控制基础30河北工程大学Hebei University of Engineering )(sGB)(sF)(sGK零点零点极点极点零点零点极点极点零点零点极点极点相同相同相同相同故有：故有： 定常线性系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的全部定常线性系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的全部根具有负实部，即在根具有负实部，即在s右半平面内没有极点，也就是说，右半平面内没有极点，也就是说，F(s)在在s平面的

36、右半平面没有零点平面的右半平面没有零点。根据闭环极点（根据闭环极点（特征特征根根）在）在s左半平面、左半平面、右半平面的分布右半平面的分布系统是否稳定系统是否稳定系统是否稳定系统是否稳定目标：目标：根据根据辅助函数辅助函数F F的零的零点点在在s左半平面、左半平面、右半平面的右半平面的分布分布目标转目标转化为：化为：判断判断判断判断 机械工程控制基础机械工程控制基础31河北工程大学Hebei University of Engineering 观察观察F(s)与开环传递函数与开环传递函数Gk，注意到它们之间，注意到它们之间之间只差之间只差常量常量1。所以，所以， 的几何意义为的几何意义为：F平

37、面上平面上的坐标原点就是的坐标原点就是GH平面上的平面上的 点。点。 sHsGsF)(1)(1, 0j *平面就是平面就是*坐标系，坐标系，s平面是一种复数域，是自变平面是一种复数域，是自变量量s的坐标系，的坐标系，F平面平面就是依据就是依据F(s)的值域构成的平面，也的值域构成的平面，也是一种复平面。是一种复平面。s平面通过计算平面通过计算F(s)可以可以映射到映射到F平面平面。s平面平面、F平面平面、GH平面的关系平面的关系F 0ReIm(1, j0)F(s)GH 0ReIm( 1, j0)G(s)H(s)s 0ReImF(s)虚轴平移虚轴平移映射映射在此坐标系中画系统在此坐标系中画系统的

38、开环传递函数。的开环传递函数。在此坐标系中判断系统在此坐标系中判断系统特征根的分布情况。特征根的分布情况。 机械工程控制基础机械工程控制基础32河北工程大学Hebei University of Engineering 2、幅角原理（、幅角原理（Cauchy定理）定理）)(sFip siZ 当一动点在当一动点在s平面上沿一封闭曲线平面上沿一封闭曲线Ls按顺时针转一周，按顺时针转一周，只要曲线只要曲线Ls不经过不经过F(s)的极点和零点，则在的极点和零点，则在F(s)平面上的平面上的像将绕原点按顺时针转像将绕原点按顺时针转N周。周。N=Z- -P，其中，其中Z和和P分别为包分别为包含在封闭曲线含

39、在封闭曲线Ls内的内的F(s)的零点（闭环极点）和极点（开的零点（闭环极点）和极点（开环极点）的个数环极点）的个数。这种映射关系称为映射定理，又称。这种映射关系称为映射定理，又称Cauchy幅角定理幅角定理。Ls映射映射LFLF在在F平面内包围原点顺时针平面内包围原点顺时针转转Z圈，同时包围原点逆时针圈，同时包围原点逆时针转转P圈，即总共顺时针转圈，即总共顺时针转N圈。圈。Ls在在s平面内顺时针旋平面内顺时针旋转一周，包围了转一周，包围了F(s)的的Z个零点、个零点、P极点。极点。 机械工程控制基础机械工程控制基础33河北工程大学Hebei University of Engineering

40、j j j01L2Ls 为了判断闭环系统的稳定性，需为了判断闭环系统的稳定性，需要检验要检验F(s)有无零点位于有无零点位于s平面的右平面的右半平面，可选择一条包围整个半平面，可选择一条包围整个s右半右半平面的封闭曲线平面的封闭曲线Ls。3、Nyquist稳定判据稳定判据 Ls由两部分组成：由两部分组成：1、L1为为- -到到+的整个虚轴；的整个虚轴；2、L2为半径为半径R趋趋于无穷大的半圆弧。于无穷大的半圆弧。因此，因此，Ls封闭地封闭地包围了整个包围了整个s平面的右半平面。平面的右半平面。 s平面上这一特定封闭曲线平面上这一特定封闭曲线Ls的映射即为的的映射即为的Nyquist曲曲线。当线

41、。当-到到+时，时，Ls轨迹的方向为顺时针方向。（标轨迹的方向为顺时针方向。（标准的奈氏图要求准的奈氏图要求=0+ ，此处应该再做关于虚轴对称的，此处应该再做关于虚轴对称的奈氏图让其奈氏图让其=-0，在奈奎斯特判据中，经常用到，在奈奎斯特判据中，经常用到-到到+及对应的奈氏图。及对应的奈氏图。 ） 机械工程控制基础机械工程控制基础34河北工程大学Hebei University of Engineering N=Z-P Nyquist稳定判据：稳定判据：闭环系统稳定的充要条件闭环系统稳定的充要条件是特征是特征方程式的根都具有负实部，即方程式的根都具有负实部，即Z=0，也就是，也就是N=- -P

42、。（N：系统开环奈奎斯特曲线顺时针方向包围系统开环奈奎斯特曲线顺时针方向包围( 1，j0)点的圈数；点的圈数； Z：系统闭环极点在：系统闭环极点在s平面右侧的个数；平面右侧的个数；P：系统开环极：系统开环极点在点在 s平面右侧的个数。）平面右侧的个数。）因此，当因此，当 由由变到变到+ 时，时，系统开环系统开环奈奎斯特奈奎斯特曲线逆时针方向包围曲线逆时针方向包围( 1，j0)点的圈数点的圈数N等于等于开环极点开环极点在复平面在复平面右侧右侧的的个数个数P，系统稳定；否则，系统稳定；否则闭环系统不稳定闭环系统不稳定。)(sGB)(sF)(sGK零点零点极点极点 零点零点Z极点极点P零点零点极点极

43、点相同相同相同相同 机械工程控制基础机械工程控制基础35河北工程大学Hebei University of Engineering 根据闭环极点（根据闭环极点（特征根特征根）在在s平面的分布。平面的分布。系统是系统是否稳定否稳定系统是系统是否稳定否稳定目标为：目标为：根据根据辅助函数辅助函数F F的零点的零点在在s平面的分布。平面的分布。目标转目标转化为：化为：根据开环传递函数根据开环传递函数Gk在在F平面的奈奎斯特曲线包围平面的奈奎斯特曲线包围原点的圈数原点的圈数N，以及开环，以及开环极点数极点数P。系统是系统是否稳定否稳定系统是系统是否稳定否稳定目标再目标再转为：转为：根据开环传递函数根据

44、开环传递函数Gk在在GH平面的奈奎斯特曲线平面的奈奎斯特曲线包围包围(-1, 0j)点的圈数点的圈数N，以及开环极点数以及开环极点数P。目标确目标确定为：定为：判断判断判断判断判断判断判断判断引入引入辅助辅助函数函数F(s)F(s)幅角幅角原理原理FF到到GHGH平移平移虚轴虚轴 机械工程控制基础机械工程控制基础36河北工程大学Hebei University of Engineering 例：以下两个开环稳定的系统，判断闭环系统的稳定性。例：以下两个开环稳定的系统，判断闭环系统的稳定性。Z=0, 稳定稳定Z=2, 不稳定不稳定 对开环稳定（闭环系统的开环传递函数是稳定的，即开对开环稳定（闭环

45、系统的开环传递函数是稳定的，即开环极点都具有负实部）的系统，即有环极点都具有负实部）的系统，即有P=0，此时闭环系统稳定，此时闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性的充要条件是：系统的开环频率特性G(j )H(j )的奈奎斯特的奈奎斯特曲线不包围曲线不包围(-1, j0)点。点。 机械工程控制基础机械工程控制基础37河北工程大学Hebei University of Engineering 例：例：2 21123(1)(1)( ) ( )(21)(1)(1)abK T sT sG s H sT sTsT sTs开环不稳定，开环不稳定，闭环稳定闭环稳定 根据开环传递函数，确定根据开环传递函

46、数，确定P； 作作G(j )H(j )的的Nyquist图，确定图，确定N； 运用判据运用判据N=Z-P，确定，确定Z。Nyquist判据的判别步骤：判据的判别步骤：已知所有已知所有T都大于都大于0，P=1，判断开、闭环稳定性？判断开、闭环稳定性？ 机械工程控制基础机械工程控制基础38河北工程大学Hebei University of Engineering j j j01L2Ls00 在应用幅角原理时，要求曲线在应用幅角原理时，要求曲线Ls不不能通过能通过F(s)函数的任何零、极点，所以当函数的任何零、极点，所以当函数函数F(s)有若干极点（即开环极点）位于有若干极点（即开环极点）位于s平面

47、的原点处时，应增加以原点为圆平面的原点处时，应增加以原点为圆心、以无穷小为半径的圆弧按逆时针方心、以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向绕过原点。可以认为向绕过原点。可以认为Ls曲线仍然包围曲线仍然包围了整个了整个s平面的右半平面。（此时平面的右半平面。（此时Ls包包含三部分：含三部分：由负到正整个虚轴（除原由负到正整个虚轴（除原点）点）、顺时针大半圆顺时针大半圆、逆时针小半圆逆时针小半圆）4、开环含有积分环节的开环含有积分环节的Nyquist轨迹及轨迹及稳定判据稳定判据轨迹特点：轨迹特点：当系统中串联有积当系统中串联有积分环节时，分环节时，那么那么开环传递函数开环传递函数有位于有位于s平面坐标原点

48、处的极平面坐标原点处的极点点 。积分环节：输出量正比于积分环节：输出量正比于输入量对时间的积分。输入量对时间的积分。 TssXsXsGio1)()()( 机械工程控制基础机械工程控制基础39河北工程大学Hebei University of Engineering 设开环传递函数：设开环传递函数： vniivmjjKsTssTKsHsGsG11) 1() 1()()()(式中，式中，v 为系统中积分环为系统中积分环节的个数，当节的个数，当s沿无穷小沿无穷小半圆弧逆时针方向移动时，半圆弧逆时针方向移动时，如果如果jrres0lim映射到映射到GH平面上的平面上的Nyquist轨迹为：轨迹为：10

49、1lim0lim0(1)( )( )lim(1)mjjjvn vvrviijsrerjsrerKT sKG s H sersT s 当当s沿小半圆从沿小半圆从0变化到变化到0时，时， 角从角从/2变变化到化到/2，这时，这时GH平面上的平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向顺时针方向从从v/2转到转到 -v/2。 机械工程控制基础机械工程控制基础40河北工程大学Hebei University of Engineering ImRe)0, 1(j0 0GH 0ImRe)0, 1(j00GH0在在GH平面怎么补全平面怎么补全Nyquist轨迹？轨迹？ 根据根据从

50、从0+到到+ 的曲线补足的曲线补足从从到到0-的曲线；的曲线； 根据开环传递函数的型次，从根据开环传递函数的型次，从=0-到到0+顺时针补足曲线。顺时针补足曲线。N=2N= -1型系统型系统型系统型系统 机械工程控制基础机械工程控制基础41河北工程大学Hebei University of Engineering ) 1(10)(sssG1010)(ssH) 1)(11 . 0(10)()(ssssHsG例例：某系统前向通道和反馈通道的传递函数分别为：某系统前向通道和反馈通道的传递函数分别为解解：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为 其幅相频率特性曲线如图其幅相频率特性曲线如图所示，开环传递

51、函数中无右平所示，开环传递函数中无右平面极点，即面极点，即P=0，由图可见，由图可见，系统开环系统开环Nyquist不包围不包围( 1, j0)点，即点，即N=0，故，故N=P，所以，所以闭环系统是稳定的。闭环系统是稳定的。试判别闭环系统的稳定性。试判别闭环系统的稳定性。GH 0ReIm1 =0-=+=0+ 机械工程控制基础机械工程控制基础42河北工程大学Hebei University of Engineering 例例：某单位反馈系统，其开环传递函数某单位反馈系统，其开环传递函数 试用试用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。判据判别闭环系统的稳定性。) 1()(2TssKsG解解：系统

52、开环系统开环Nyquist轨迹轨迹如图所示。图中虚线是按如图所示。图中虚线是按 =2画的总相角增补圆弧，画的总相角增补圆弧，开环幅相频率特性曲线顺时开环幅相频率特性曲线顺时针包围针包围( 1，j0)点点两两圈圈，所，所以以N = 2。另外，。另外，开环右极开环右极点数点数P=0，即，即N P，所以，所以闭环系统不稳定。闭环系统不稳定。GH 0ReIm=+=0+=0-=- 机械工程控制基础机械工程控制基础43河北工程大学Hebei University of Engineering 关于关于Nyquist判据的几点说明：判据的几点说明： Nyquist判据是判据是根据根据GK在在GH平面平面的形

53、态来的形态来判别系统判别系统的稳定性的稳定性； Nyquist判据判据证明复杂，但应用简单证明复杂，但应用简单； 开环、闭环是否稳定主要看开环、闭环是否稳定主要看GK（对应（对应P）、）、GB（对应（对应Z）的极点有无正实部；）的极点有无正实部； 频率由频率由-到到+的的开环开环Nyquist轨迹是对称的。（奈奎轨迹是对称的。（奈奎斯特图斯特图 仅是正频率对应的轨迹。）仅是正频率对应的轨迹。）4512345123(1)(1)( )( )(1)(1)(1)0K T sT sG s H sT sT sT sKTTTTT，、 、由上式易得：由上式易得：P=0。 机械工程控制基础机械工程控制基础44河

54、北工程大学Hebei University of Engineering 若若K不变，亦可增加导前环节的时间常数不变，亦可增加导前环节的时间常数T4、T5使相位绝对值使相位绝对值减小，曲线变成曲线。由于曲线不包围减小，曲线变成曲线。由于曲线不包围 (1，j0)点，故系点，故系统稳定。统稳定。 若若G(j )H(j )如图曲线如图曲线所示，包围（所示，包围（-1，j0）点）点1圈，则系统不稳定。圈，则系统不稳定。 减小减小K值，使值，使 G(j )H(j ) 减小，曲减小，曲线有可能因模减小变线有可能因模减小变成曲线，相位不变，成曲线，相位不变，而不包围而不包围(-1，j0）点，）点，因而系统趋

55、于稳定。因而系统趋于稳定。 机械工程控制基础机械工程控制基础45河北工程大学Hebei University of Engineering 例：例：41234123(1)( )( )(1)(1)(1)0K T sG s H ss TsT sT sKTTTT，、 、 、 、当导前环节作用小，即当当导前环节作用小，即当T4小时，开环小时，开环Nyquist轨迹轨迹为曲线，它包围点为曲线，它包围点(1，j0），闭环系统不稳定；），闭环系统不稳定；当导前环节作用大，即当当导前环节作用大，即当T4大时，开环大时，开环Nyquist轨迹轨迹为曲线，它不包围点为曲线，它不包围点(1，j0），闭环系统稳定。）

56、，闭环系统稳定。 由上式易得：由上式易得：P=0。 机械工程控制基础机械工程控制基础46河北工程大学Hebei University of Engineering 例：导前环节和积分环节的作用例：导前环节和积分环节的作用若若T1、T2均为正，系均为正，系统的开环传递函数为：统的开环传递函数为：) 1() 1()()(122sTssTKsHsGImRe)0, 1(j0GH 0021TT ImRe)0, 1(j0GH 0 021TT ImRe)0, 1(j0GH 0012TT1、T2大，表示导前环节作用大，可使系统稳定；大，表示导前环节作用大，可使系统稳定；2、开环系统中串联的积分环节越多，开环、

57、开环系统中串联的积分环节越多，开环Nyquist轨迹越容轨迹越容易包围点（易包围点（- -1，j0）。）。 机械工程控制基础机械工程控制基础47河北工程大学Hebei University of Engineering 1、根据开环传递函数、根据开环传递函数Gk (s) 的极点，确定的极点，确定P；2、根据、根据G(j )H(j )的的Nyquist图，确定图，确定N；3、运用判据、运用判据N=Z-P，确定，确定Z。二、利用二、利用Nyquist判据判别：判据判别：一、系统开环一、系统开环Nyquist图绘制：图绘制：1、由、由Gk (s)写出写出U()、V()，并估算象限，再写出，并估算象限

58、，再写出A()、 ()；2、算出起终点的、算出起终点的A、，再令，再令U=0、V=0算出曲线与算出曲线与坐标轴的交点的坐标轴的交点的A、 ；3、由、由U、V的表达式估算曲线在哪些象限，画出曲线。的表达式估算曲线在哪些象限，画出曲线。根据根据Gk(s) 式子利用式子利用Nyquist稳定判据的判别步骤：稳定判据的判别步骤： 机械工程控制基础机械工程控制基础48河北工程大学Hebei University of Engineering 三、三、 Bode稳定判据稳定判据对应对应关系关系ImRe)0, 1(j0GH021341、乃奎斯特图和伯德图之间的对应关系、乃奎斯特图和伯德图之间的对应关系 开环

59、频率特性开环频率特性G(j)的奈奎斯特轨迹与的奈奎斯特轨迹与单位圆单位圆相交的一相交的一点频率为点频率为c（称为：（称为：幅值穿越频率、剪切频率、幅值交界幅值穿越频率、剪切频率、幅值交界频率频率），即是对数幅频特性曲线与），即是对数幅频特性曲线与0dB线线交点的频率；交点的频率； 开环频率特性开环频率特性G(j)的奈奎斯特轨迹与的奈奎斯特轨迹与实轴实轴相交的一点相交的一点频率为频率为g（称为：（称为：相位穿越频率、相位交界频率相位穿越频率、相位交界频率），即是），即是对数相频特性曲线与对数相频特性曲线与- -180线线交点的频率。交点的频率。GHlg20cGH1801g12342g3g 机械工

60、程控制基础机械工程控制基础49河北工程大学Hebei University of Engineering 20lg( )0A当幅值当幅值A()1时时(在单位圆上或外在单位圆上或外)就相当于就相当于当幅值当幅值A()0的范围内，沿频率的范围内，沿频率增加的方向，若对数相频特增加的方向，若对数相频特性图中曲线自下而上（相位性图中曲线自下而上（相位增加）穿越增加）穿越-180线称为正穿线称为正穿越；相反，若曲线自上而下越；相反，若曲线自上而下（相位减小）穿越（相位减小）穿越-180线称线称为负穿越。为负穿越。 机械工程控制基础机械工程控制基础51河北工程大学Hebei University of E