九年级上册第四章锐角三角函数《复习与小结》(湘教版)

1、湘教版湘教版九年级数学上九年级数学上小结与复习小结与复习 黄亭市镇中学黄亭市镇中学 阳卫民阳卫民 一一. .锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念正弦：正弦：把锐角把锐角A A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A A的正弦，记作的正弦，记作 caA sin余弦：余弦：把锐角把锐角A A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A A的的余弦，记作余弦，记作 正切：正切：把锐角把锐角A A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A A的的正切，记作正切，记作 cbA cosbaA tanBCA对边对边a a邻边邻边b b斜边斜边c c锐角锐角A A的正弦、余弦、正切都叫做的正弦、余弦、正切都叫

2、做AA的锐角三角函数的锐角三角函数. .对这些关系式对这些关系式要学会灵活变要学会灵活变式运用式运用同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系是：正弦值等于它的余角的余弦值，余是：正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值弦值等于它的余角的正弦值. .即即sinAsinAcoscos（9090一一 A A）cosB cosB cosAcosAsinsin（9090一一A A）sinBsinB思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之间有何关系？间有何关系？二二. .特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值212322212322331

3、3 锐角的锐角的三角函数值三角函数值有何变化规律呢？有何变化规律呢？三三. .解直角三角形解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形有未知元素的过程，叫做解直角三角形. .1.1.什么叫解直角三角形？什么叫解直角三角形？2.2.直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系：222cbaA A十十B B9090 caA sincbA cosbaA tan归纳：归纳：只要知道其中的只要知道其中的2 2个元素（至少有一个是边），个元素（至少有一个是边），就可以求出其余就可以求出其余3 3个未知个未知元素元素.

4、. （1 1）三边关系：）三边关系：（勾股定理）（勾股定理）（2 2）两锐角的关系：）两锐角的关系：（3 3）边角的关系：）边角的关系：四四. .解直角三角形的应用解直角三角形的应用1.仰角和俯角仰角和俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角. .铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角2.2.方向角方向角指南或北的方向线与目标方向线构成小于指南或北的方向线与目标方向线构成小于9090的角的角, ,叫做方向角叫做方向角. .如图：点如

5、图：点A A在在O O的北偏东的北偏东3030点点B B在点在点O O的南偏西的南偏西4545（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南坡度（坡比）：坡度（坡比）：坡面的铅坡面的铅直高度直高度h h和水平距离和水平距离l l的的比叫做坡度，用字母比叫做坡度，用字母i i表表示，则示，则3.3.坡度、坡角坡度、坡角坡角：坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示表示. .tanhilhltanhil坡度通常写成坡度通常写成 的形式的形式. .解：原式解：原式=2=2 +1 +12121=1+=1+21例例1.1.计算计算2sin30 2sin30

6、+tan45 +tan45 cos60cos6021= =步骤：步骤：一一“代代”二二“算算”例例2.2.若若 ，则锐角，则锐角=01tan33030点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先将原式变形为将原式变形为tan= tan= ，从而求得，从而求得的度数的度数. .33例例3.3.在在Rt Rt ABC ABC中，中，C=90C=90， A=30 A=30，a=5a=5，求求b b、c c的大小的大小. .解解: : sinA=a/c,sinA=a/c, c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10. c=a/sinA=5/sin

7、30=5/(1/2)=10.ABC530B=90B=90- - A=90 A=90-30-30=60=60，tanB=b/a,tanB=b/a,b=ab=atanB=5tanB=5tan60tan60= =35解直角三角形分为两类解直角三角形分为两类: :一是已知一边一角解直角三一是已知一边一角解直角三角形角形; ;二是已知两边解直角三角形二是已知两边解直角三角形. .例例4.4.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，若若tanB=cosDAC.tanB=cosDAC.（）（）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由；DCBA故故BD=ACB

8、D=AC解：（）解：（）在在Rt Rt ABDABD和和ACDACD中，中，tanB=tanB=，BDADACAD因为因为tanB=cosDACtanB=cosDAC，所以，所以BDADACADcosDACcosDAC（）若（）若sinCsinC，BC=12BC=12，求，求ADAD的长的长. .1312例例4.4.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，若若tanB=cosDAC.tanB=cosDAC.（）（）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由；DCBA（）若（）若sinCsinC，BC=12BC=12，求，求ADAD的长的长. .1

9、312（）（）设设AC=13k,AD=12kAC=13k,AD=12k，所以，所以CD=5k,CD=5k,又又AC=BD=13kAC=BD=13k，在在Rt Rt ACDACD中，因为中，因为sinCsinC1312所以所以BC=18k=12,BC=18k=12,故故k=k=32所以所以AD=12AD=1232例例5.5.海中有一个小岛海中有一个小岛P P，它的周围，它的周围1818海里内有暗礁，海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A A测得小岛测得小岛P P在北在北偏东偏东6060方向上，航行方向上，航行1212海里到达海里到达B B点，这时测得小点，这

10、时测得小岛岛P P在北偏东在北偏东4545方向上如果渔船不改变航线继续方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由向东航行，有没有触礁危险？请说明理由D D分析：作分析：作PDBCPDBC，设，设PD=x,PD=x,则则BD=x,AD=x+12,BD=x,AD=x+12,根据根据AD= PD,AD= PD,得得x+12= x,x+12= x,求出求出x x的值的值, ,再再比较比较PDPD与与1818的大小关系的大小关系. .33解：有触礁危险解：有触礁危险. .理由：过点理由：过点P P作作PDACPDAC于于D.D.设设PDPD为为x x，在，在RtRtPBDPBD中，

11、中，PBD=90PBD=9045454545BDBDPDPDx,AD=12+x.x,AD=12+x.在在RtRtPADPAD中，中，PADPAD909060603030，,3PDAD 渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险 ,312xx .18) 13(61312xD D.30cos260tan45sin22) 1 ( 20002 6tan 303sin602cos45 .1.1.若若 ，则锐角，则锐角=02sin22.2.若若 ，则锐角，则锐角=0320tan(）3.3.计算：计算：45458080212214.4.如图，在如图，在RtRtABCABC中

12、，中，C=90C=90，b= ,c=4.b= ,c=4.则则a=a= ，B=B= ，A=A= . .32ABC2 260603030D D5.5.如果如果那么那么ABCABC是（是（ ） A.A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.等边三角形等边三角形03tan321cosBA6.6.直角三角形纸片的两直角边分别直角三角形纸片的两直角边分别BCBC为为6 6，ACAC为为8,8,现将现将ABCABC，按如图折叠，使点，按如图折叠，使点A A与点与点B B重合，折痕为重合，折痕为DEDE，则，则tanCBEtanCBE的值的值是是 . .AB

13、C68ED方法点拨方法点拨: :设设CE=x,CE=x,则则AE=BE=8-x,AE=BE=8-x,利用勾股定理求出利用勾股定理求出x,x,再求再求tanCBEtanCBE的值的值. .247锐角三角函数锐角三角函数1.1.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义正弦正弦余弦余弦正切正切2.302.30、4545、6060特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值3.3.解直角三角形解直角三角形 定义定义解解直角三角形的依据直角三角形的依据三边间关系三边间关系锐角间关系锐角间关系边角间关系边角间关系解直角三角形在实际问题中解直角三角形在实际问题中 的应用的应用2、在我国钓鱼岛海域内，外国船只，除特许外，

14、不得、在我国钓鱼岛海域内，外国船只，除特许外，不得进入我国海洋进入我国海洋100海里以内的区域。如图，设海里以内的区域。如图，设A、B是我是我们的观察站，们的观察站，A和和B之间的距离为之间的距离为160海里，海岸线是过海里，海岸线是过A、B的一条直线。一艘外国船只航行到的一条直线。一艘外国船只航行到P点，在点，在A点测点测得得BAP=450，同时在，同时在B点测得点测得ABP=600。问此时是。问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.ABP1604560ABP4560C分析：作分析：作PCAB于于C ，A = 45 APC=45 AC=PC

15、PCBCcotB = B = 60 33 BC = PCcot60 = PC AC + BC = AB = 160 33PC + PC = 160PC = )33(8033480101.44此时不要向外国船只发出警告，令其退出我国海域。此时不要向外国船只发出警告，令其退出我国海域。 1001如图所示，边长为如图所示，边长为1的小正方形构成的的小正方形构成的网格中，半径为网格中，半径为1的的 O的圆心的圆心O在格点在格点上，则上，则AED的正切值等于的正切值等于。DCBOEA122.A 关于原点对称的点关于原点对称的点B 的坐标的坐标是是( ).Acos60 -12,33 -32,33 -12,

16、-33 -12,32 ACDB3.如图，已知如图，已知RtRtABC中，斜边中，斜边BCBC上的高上的高AD AD = 4，则，则cosBcosB= ，ACAC=_=_。54ABCD54.如图所示，在正方形如图所示，在正方形网格中，网格中，的位置如图所示，则的位置如图所示，则sin的的值为（值为（ ） 。1035正切值和正弦值正切值和正弦值都随着锐角度数的增大而都随着锐角度数的增大而_；余弦值余弦值随着锐角度数的增大而随着锐角度数的增大而_._.增大增大减小减小思考：若思考：若A+A+B=90B=900 0，那么：，那么：sinAsinA cosAcosA cosBcosBsinBsinB(2

17、)2sin30(2)2sin30+3tan30+3tan30+tan45+tan45(3)cos(3)cos2 24545+ tan60+ tan60cos30cos30(1)tan45(1)tan45-sin60-sin60cos30cos30(4)2sin60(4)2sin60-3tan30-3tan30-(-(-cos30-cos30)+(-1)+(-1)20122012（1 1）已知）已知 sinA= sinA= ，求锐角，求锐角A .A .23（2 2）已知）已知2cosA - = 0 , 2cosA - = 0 , 求锐角求锐角A.A. 2（3 3）已知）已知 tan( tan(

18、A+20A+20)= )= ，求锐角，求锐角A .A .3（4 4）在）在ABCABC中，中， B B、 C C均为锐角，且均为锐角，且 ，求，求A的度数。的度数。023cos21sin2CB（1 1）sin250_sin430（2 2）cos70_cos80（3 3）sin400_cos600（4 4）tan480_tan4003 3. .我校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所我校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示示BCADBCAD，斜坡，斜坡AB=40AB=40米，坡角米，坡角BAD=60BAD=60，为防夏季因瀑雨，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造经地质引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过人员勘测，当坡角不超过4545时，可确保山体不滑坡，改造时时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚保持坡脚A A不动，从坡顶不动，从坡顶B B沿沿BCBC削进到削进到E E处，问处，问BEBE至少是多少米至少是多少米（结果保留根号）？（结果保留根号）？G GF F试一试：试一试：如图，在航线如图，在航线l的两侧分别有