有限元程序设计--第七章平面问题的有限单元法(Q4)ppt课件

1、四边形单元四边形单元2引引 言言l3节点三角形单元是常应变常应力单元。在应变梯度较大的部位亦即应力梯度较大的部位，单元划分应适当密集，否那么不能反映真实的应变变化而导致较大的误差。l提高计算精度的其它措施l采用高精度三角形单元2次单元、3次单元l采用四边形单元1次单元、2次单元34节点四边形单元节点四边形单元412341234uxyxyvxyxy112131411212232422312333433412434444uxyx yuxyx yuxyx yuxyx y构造位移函数：112131411212232422312333433412434444vxyx yvxyx yvxyx yvxyx

2、y对u,v分别利用节点条件：4节点四边形单元节点四边形单元51111112222223333334444441 1 1 1 uxyx yuxyx yuxyx yuxyx y112213344uuuuT11112222333344441 1 1 1 xyx yxyx yxyx yxyx yTTTT*1*T对于普通四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。对于普通四边形，逆矩阵的表达式比较复杂。4节点四边形单元节点四边形单元T的伴随矩阵的伴随矩阵64节点四边形单元节点四边形单元1 12233441 12 23 34 4uN uN uN uN uvN vN vN vN v12341234uxyxyvxyxy1

3、12213344uuuuT112213344vvvvT 1,2,3,4iiiiiNab xc yd xyi4节点四边形单元的形函数节点四边形单元的形函数74节点四边形单元节点四边形单元1122123431234344000 0000 0 uvuvNNNNuuNNNNvvuv N单元外形函数矩阵单元外形函数矩阵de 单元节点位移矩阵单元节点位移矩阵( , )( , )ex yx yuNd四边形单元内恣意一点的位移四边形单元内恣意一点的位移84节点四边形单元节点四边形单元特例：特例：4 4节点矩形单元节点矩形单元0010020030041(1)(1)41(1)(1)4 1(1)(1)41(1)(1

4、)4xxyyNabxxyyNabxxyyNabxxyyNab00,xy 矩形单元的重心坐标矩形单元的重心坐标12341234000 0( , )000 0 NNNNx yNNNNN3412022xxxxx2314022yyyyy342122xxxxa324122yyyyb4节点四边形单元节点四边形单元11223344 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4euvuuuuuudx, uy, v1 (x1, y1)(u1, v1)2 (x2, y2

5、)(u2, v2)3 (x3, y3)(u3, v3)2afsyfsx4 (x4, y4)(u4, v4)2b4节点四边形单元节点四边形单元114124134144(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)NNNN1134at node 111134at node 211134at node 311134at node 41(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)1(1)(1)0NNNNDelta 条件条件4123411414(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)1iiNNNNNPartition of unity14(1)(1)jjjN 1 (1, 1)(u1

6、, v1)2 (1, 1)(u2, v2)3 (1, +1)(u3, v3)2a4 (1, +1)(u4, v4)2b114节点四边形单元节点四边形单元12341234 0 000 0( , )0 000 0 xNNNNx yNNNNyyxBLNTdeetKB DB应变矩阵应变矩阵刚度矩阵刚度矩阵11111111111111110000100004aaaabbbbaaaabbbbBLN00, xxayyb不再是常数矩阵！不再是常数矩阵！12等参单元等参单元对于普通的四边形单元，在总体坐标系下构造位移插值函数，那么计算外形函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时非常冗繁；而对于矩形单元，相应的

7、计算要简单的多。矩形单元明显的缺陷是不能很好的符合曲线边境，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合运用网格划分困难。更为普通的方法是经过等参变换将部分自然坐标系内的规格化矩形单元变换为总体坐标系内的恣意四边形单元包括高次曲边四边形单元。引入等参单元引入等参单元 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实践领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。 13等参单元等参单元等参单元：用同样的节点和一样的外形函数经过插值的方式表示出单元的几何坐标与位移的单元，称为等参单元。假设坐标变换节点数多于位移插值的节点数，称为超参变换。反之，假设坐标变换节点数少于位移插值的节点数，那么称为亚参变换。等参单元的插值

8、函数用自然坐标给出。 2 (x2, y2) y x 1 (1, 1) 2 (1, 1) 3 (1, +1) 4 (1, +1) 3 (x3, y3) 4 (x4, y4) 1 (x1, y1) 物理坐标系物理坐标系自然坐标系自然坐标系( , )( , )e uNd( , )( , )e xNx( , )( , )xxyy 映射关系映射关系14等参单元等参单元( , )( , )xxyy 12341234xy ( ,)( ,)iiiiiixxyy 节点条件：节点条件：112 1314 1 1212232422312333433412434444xxxx 11234212343123441234x

9、xxx11332244( ,)( 1, 1) (,)(1,1)(,)(1, 1) (,)( 1,1) 2 (x2, y2) y x 1 (1, 1) 2 (1, 1) 3 (1, +1) 4 (1, +1) 3 (x3, y3) 4 (x4, y4) 1 (x1, y1) 15等参单元等参单元11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1xxxx11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1yyyy12341 1223344123411223344xN xN xN xN xyN yN yN yN y 同理：同理：132411(

10、1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN( , )( , )e xNx1122123431234344000 0000 0 xyxyNNNNxxNNNNyyxy 16等参单元等参单元12341234( ( , ), ( , )( , )( ( , ), ( , )( , )u xyuv xyv ( ,)( ,)iiiiiiuuvv 节点条件：节点条件：11332244( ,)( 1, 1) (,)(1,1)(,)(1, 1) (,)( 1,1) 位移函数17等参单元等参单元112 1314 1 1212232422312333433412434444uuuu 112

11、34212343123441234uuuu11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1uuuu11223344 1 1 1 11 1 1 111 1 1 14 1 1 1 1vvvv同理可得：同理可得：18等参单元等参单元12341 122334412341 12 23 34 4( ( , ), ( , )( ( , ), ( , )u xyN uN uN uN uv xyN vN vN vN v 132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN1122123431234344000 0( ( , ), ( , )000 0

12、 ( ( , ), ( , )uvuvNNNNu xyuNNNNv xyvuv ( ( , ), ( , )( , )exy uNd19等参单元等参单元单元的几何坐标与位移用同样的节点和一样的外形函数经过插单元的几何坐标与位移用同样的节点和一样的外形函数经过插值的方式表示。外形函数用自然坐标给出。值的方式表示。外形函数用自然坐标给出。( , )( , )e xNx( ( , ), ( , )( , )( , )exy uuNq132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNN20等参单元形函数性质等参单元形函数性质)1)(1 ()1)(1 ()1)(1 ()1)

13、(1 (414413412411NNNN1134at node 111134at node 211134at node 311134at node 41(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)1(1)(1)0NNNNDelta 性质4123411414(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)1iiNNNNN单位分解性)1)(1 (41jjjN 1 (1, 1) (u1, v1) 2 (1, 1) (u2, v2) 3 (1, +1) (u3, v3) 2a 4 (1, +1) (u4, v4) 2b 21等参单元等参单元12341234 0 0 0 0 0( , )0

14、0 0 0 0 xNNNNNNNNyyx B ( ( , ), ( , )( , )( , )( , )eexy uNqBq132411(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)(1)(1)44NNNNiiNxNy?22等参单元等参单元1 iiiiiiiiiiiiiiiNNxNyxyNNxNyxyNxyNNxxNNNxyyyNNxNy JJ*1 iNJJJ求导链式法那么求导链式法那么 xyxyJ雅可比矩阵：雅可比矩阵：1131242233312444xyNNNNxyxyNNNNxyJ( , )( , )e XNx23等参单元等参单元11111111( ( , ), ( , )( ( , )

15、, ( , )( , )( , )( , )TeTeSxyxyhdxdyhd dd d KBDBBDBJFJcsVVetfqNqNfddTT借助于等参元可以对于普通的恣意几何外形的工程问题方便地进展有限元离散。等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母单元内进展，相关运算大大简化。不论各个积分方式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用规范化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了一致的通用化程序。等参单元等参单元25等参单元等参单元不能有重节点不能有重节点不能出现内角大于不能出现内角大于180o180o的情况的情况内角最好介于内角最好介于30o-

16、150o30o-150o之间有限变形的情况之间有限变形的情况防止出现防止出现1 iiiiNNxNNyJ几何意义所在几何意义所在|J|0 (area cannot be transformed to a line or a point or turned inside out!)例子例子 xyxyJ例子例子几何意义所在几何意义所在q 回想回想|J| q 节点转换节点转换30数值积分数值积分计算刚度矩阵及等效节点载荷列阵的元素时，往往涉及到复杂函数的定积分，在有限元分析中广泛采用数值积分方法。数值积分方法是一种近似的方法。一个函数的定积分可以经过一个函数的定积分可以经过n n个结点的函数值的加权组

17、合来个结点的函数值的加权组合来表示表示1111TTeeeeeedVhd d KB DBB DB J1( )( )nbiiaifdA f31数值积分数值积分( )( )( )2babaf x dxf af byxab32数值积分数值积分yxab( )( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b33数值积分数值积分高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数，求出被积分的函数在指定积分点上的数值，加权后求和，就得到了该函数的积分。高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积分点的高斯积分可以到达2n-1阶的精度，也就是说，假设被积分的函数是2n-1次多项式，用n个积分点的高斯积分可

18、以得到准确的积分结果。 )()d(111jjmjfwfI111111( , )d d( ,)yxnnijijijIfww f 34数值积分数值积分m j wj Accuracy n 1 1 0 0 2 2 1 1 2 2 -1/-1/ 3, 3, 1/1/ 3 31, 1 1, 1 3 3 3 3- - 0.60.6, 0, , 0, 0.60.65/9, 8/9, 5/9 5/9, 8/9, 5/9 5 54 4-0.861136, -0.339981, -0.861136, -0.339981, 0.339981, 0.861136 0.339981, 0.861136 0.347855,

19、 0.652145, 0.347855, 0.652145, 0.652145, 0.347855 0.652145, 0.347855 7 75 5-0.906180, -0.538469, -0.906180, -0.538469, 0,0,0.538469, 0.906180 0.538469, 0.906180 0.236927, 0.478629, 0.236927, 0.478629, 0.568889, 0.478629, 0.568889, 0.478629, 0.236927 0.236927 9 96 6-0.932470, -0.661209, -0.932470, -0

20、.661209, -0.238619, 0.238619, -0.238619, 0.238619, 0.661209, 0.932470 0.661209, 0.932470 0.171324, 0.360762, 0.171324, 0.360762, 0.467914, 0.467914, 0.467914, 0.467914, 0.360762, 0.171324 0.360762, 0.171324 111135数值积分数值积分积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算任务量。积分阶次的选择必需保证积分的精度。完全准确积分很多情况下，实践选取的高斯积分点数低于准确积分的要求，往往可以获得

21、较完全准确积分更好的精度。减缩积分线性单元线性单元完全准确积分完全准确积分 减缩积分减缩积分36节点位移和约束反力节点位移和约束反力经过求解平衡方程即可解出全部未知的节点位移：经过求解平衡方程即可解出全部未知的节点位移：把解出的把解出的d代入未经修正的平衡方程，即可得到约束反力：代入未经修正的平衡方程，即可得到约束反力： 关于上述方程的解算方法，普通不采用求逆的方法求解，而关于上述方程的解算方法，普通不采用求逆的方法求解，而是直接采用高斯消元法等求解线性方程组的方法求解求解。是直接采用高斯消元法等求解线性方程组的方法求解求解。施加边境条件后，得到修正后的平衡方程施加边境条件后，得到修正后的平衡

22、方程fdK(未约化的未约化的)fKd1fKd 37应力处置应力处置*111223344*211223344*311223344*41122334411,3311,3311,3311,33NNNNNNNNNNNNNNNN 3*3*1*4*2124*11*22*33*443131,1222abcbbabccbabbcbaabc 38例题例题(0,0)A(0, 2)B(4,0)D(4,1)C1F q思索一个平面应力问题如下图，假设厚度思索一个平面应力问题如下图，假设厚度h=1，资料为各项同，资料为各项同性，杨氏模量为性，杨氏模量为E=1，泊松比为，泊松比为=0，相关力和位移边境条件，相关力和位移边境

23、条件如图中所示，问题左端为固定约束。试用一个四边形单元分如图中所示，问题左端为固定约束。试用一个四边形单元分析此问题，四边形单元的网格划分如下图。试求问题各节点析此问题，四边形单元的网格划分如下图。试求问题各节点位移位移u、v和应力和应力x，y和和xy。 413239例题例题)1)(1 ()1)(1 ()1)(1 ()1)(1 (414413412411NNNN对于四边形单元，其等参元形函数的表达式为：对于四边形单元，其等参元形函数的表达式为： 111(1)41(1)4NN221(1)41(1)4NN331(1)41(1)4NN441(1)41(1)4NN 1 (1, 1) 2 (1, 1)

24、3 (1, +1) 4 (1, +1) 4132123440例题例题选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为 12340.39430.39430.10570.1057NNNN 1 (1, 1) 2 (1, 1) 3 (1, +1) 4 (1, +1) 对于积分点对于积分点1 1 12340.39430.10570.10570.3943NNNN 1112342213312344420.394300.8943xyNNNNxyxyNNNNxyJ13, 1313,1313,1313, 1341例题例题120.39431.788600.8943J110.50.2205

25、01.1181J1 iiiiNNxNNyJ12340.11020.22050.02950.1398NNNNxxxx 12340.44090.11810.11810.4409NNNNyyyy 10.110200.220500.029500.1398000.440900.118100.118100.44090.44090.11020.11810.22050.11810.02950.44090.1398B42例题例题选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为 12340.10570.10570.39430.3943NNNN 1 (1, 1) 2 (1, 1) 3 (

26、1, +1) 4 (1, +1) 13, 1313,1313,13对于积分点对于积分点2 2 12340.39430.10570.10570.3943NNNN 1112342223312344420.105700.8943xyNNNNxyxyNNNNxyJ13, 1343例题例题220.10571.788600.8943J120.50.059101.1181J1 iiiiNNxNNyJ12340.02950.05910.19090.2205NNNNxxxx 12340.44090.11810.11810.4409NNNNyyyy 20.029500.059100.190900.2205000.

27、440900.118100.118100.44090.44090.02950.11810.05910.11810.19090.44090.2205B44例题例题选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为 12340.39430.39430.10570.1057NNNN 1 (1, 1) 2 (1, 1) 3 (1, +1) 4 (1, +1) 对于积分点对于积分点3 3 12340.10570.39430.39430.1057NNNN 1112342233312344420.394300.6057xyNNNNxyxyNNNNxyJ13, 1313,1313,1

28、313, 1345例题例题320.39431.211400.6057J130.50.325501.6511J1 iiiiNNxNNyJ12340.16280.32550.07550.0872NNNNxxxx 12340.174450.65110.65110.1745NNNNyyyy 30.162800.325500.075500.0872000.174500.651100.651100.17450.17450.16280.65110.32550.65110.07550.17450.0872B46例题例题选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为 12340.1

29、0570.10570.39430.3943NNNN 1 (1, 1) 2 (1, 1) 3 (1, +1) 4 (1, +1) 13, 1313, 1313,1313,13对于积分点对于积分点4 4 1112342243312344420.105700.6057xyNNNNxyxyNNNNxyJ12340.10570.39430.39430.1057NNNN 47例题例题420.10571.211400.6057J140.50.087201.6511J1 iiiiNNxNNyJ12340.04360.08720.16280.2064NNNNxxxx 12340.17450.65110.6511

30、0.1745NNNNyyyy 40.043600.087200.162800.2064000.174500.651100.651100.17450.17450.04360.65110.08720.65110.16280.17450.2064B48例题例题41T|iiiiyixiehwwJDBBK单元部分刚度矩阵为单元部分刚度矩阵为 11143214321hwwwwwwwwyyyyxxxx2101001001011000.5002EvD代入可得代入可得 0.8606 0.1731- 0.4038 0.1538- 0.5288- 0.1538 0.7356- 0.1731 0.1731- 0.56

31、73 0.0962 0.1154 0.1538 0.3654- 0.0769- 0.3173- 0.4038 0.0962 1.1298 0.0577 1.0673- 0.0577- 0.4663- 0.0962- 0.1538- 0.1154 0.0577 0.6442 0.1923 0.5192- 0.0962- 0.2404- 0.5288- 0.1538 1.0673- 0.1923 1.1923 0.1923- 0.4038 0.1538- 0.1538 0.3654- 0.0577- 0.5192- 0.1923- 0.7692 0.0962 0.1154 0.7356- 0.07

32、69- 0.4663- 0.0962- 0.4038 0.0962 0.7981 0.0769 0.1731 0.3173- 0.0962- 0.2404- 0.1538- 0.1154 0.0769 0.4423 eK1, (1)2, (3)3, (4)4, (2)1, (1)2, (3)3, (4)4, (2)49例题例题1.1298 0.0577 1.0673- 0.0577- 0.4038 0.0962 0.4663- 0.0962- 0.0577 0.6442 0.1923 0.5192- 0.1538- 0.1154 0.0962- 0.2404- 1.0673- 0.1923 1

33、.1923 0.1923- 0.5288- 0.1538 0.4038 0.1538- 0.0577- 0.5192- 0.1923- 0.7692 0.1538 0.3654- 0.0962 0.1154 0.4038 0.1538- 0.5288- 0.1538 0.8606 0.1731- 0.7356- 0.1731 0.0962 0.1154 0.1538 0.3654- 0.1731- 0.5673 0.0769- 0.3173- 0.4663- 0.0962- 0.4038 0.0962 0.7356- 0.0769- 0.7981 0.0769 0.0962- 0.2404-

34、0.1538- 0.1154 0.1731 0.3173- 0.0769 0.4423 K(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)整体刚度矩阵为整体刚度矩阵为 T00000001f载荷向量载荷向量50例题例题Ku = f系统方程可表示为：系统方程可表示为： 100000001.1298 0.0577 1.0673- 0.0577- 0.4038 0.0962 0.4663- 0.0962- 0.0577 0.6442 0.1923 0.5192- 0.1538- 0.1154 0.0962- 0.2404- 1.0673- 0.1923 1.1923 0.1923- 0.5288- 0

35、.1538 0.4038 0.1538- 0.0577- 0.5192- 0.1923- 0.7692 0.1538 0.3654- 0.0962 0.1154 0.4038 0.1538- 0.5288- 0.1538 0.8606 0.1731- 0.7356- 0.1731 0.0962 0.1154 0.1538 0.3654- 0.1731- 0.5673 0.0769- 0.3173- 0.4663- 0.0962- 0.4038 0.0962 0.7356- 0.0769- 0.7981 0.0769 0.0962- 0.2404- 0.1538- 0.1154 0.1731 0.3173- 0.0769 0.4423 44332211vuvuvuvu51例题例题Ku = f施加 BCs:222(0,0)uv333( , )u v444( ,)u v111(0,0)uv100000001.1298 0.0577 1.0673- 0