数学沪教高二上册向量的数量积学习教案

1、会计学1数学数学(shxu)沪教高二上册向量的数量积沪教高二上册向量的数量积第一页，共33页。问题问题(wnt)(wnt)2:2: Fs一个物体在力一个物体在力 的作用下发生了位移的作用下发生了位移 ，那么该力对此物体所做的功为多少？那么该力对此物体所做的功为多少？Fs| s|F|Wcos其中力其中力 和位移和位移 是向量，是向量， 是是 与与 的夹角，而功的夹角，而功 W是数量是数量. FssF第2页/共33页第二页，共33页。将公式中的力与位移将公式中的力与位移(wiy)(wiy)推广到一推广到一般向量般向量| s|F|Wcos功是力与位移功是力与位移(wiy)(wiy)的大小及其夹角余弦

2、的的大小及其夹角余弦的乘积；乘积； 结果结果(ji gu)是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。出现了向量的一种新的运算第3页/共33页第三页，共33页。.0, 的夹角，其中与向量叫做向量的夹角、那么射线，作为起点，如果以、对于两个非零向量baOBOAbOBaOAObaOABab 1 1、向量、向量(xingling)(xingling)的夹的夹角角第4页/共33页第四页，共33页。方向相同；与，则向量）若（ba01OABbaOABba方向相反；与，则向量）若（ba2OABab baba 23记作垂直，与，则向量）若（互相平行。与时，向量或即当ba0规定规定(gu

3、dng)：零向量与其它向量的夹角可根据需：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。要确定。第5页/共33页第五页，共33页。如图如图,等边三角形等边三角形ABC中中,求求求（求（1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC平移向量至平移向量至始点重合始点重合12060CD D0120第6页/共33页第六页，共33页。OABba 2 2、向量、向量(xingling)(xingling)的数的数量积的定义量积的定义ba、），（0|b|a |cosba与ba 一般地，如果两个非零向量一般地，如果两个非零向量 的夹角的夹角为为 那么我们把那么我们把 叫做向量叫做向量 的数

4、量积，记作的数量积，记作 ，即即cos| b|a |ba第7页/共33页第七页，共33页。cos| b|a |ba 2 2、向量的数量积是一个、向量的数量积是一个(y )(y )数量数量, ,不是向不是向量。量。向量向量(xingling)(xingling)的数量积的说明的数量积的说明3 3、规定、规定00a1 1、 不能写成不能写成 且且 不能省略。不能省略。ba，ba”“当当 为非零向量时，数量积的正负为非零向量时，数量积的正负由夹角余弦值决定。由夹角余弦值决定。b ,a2aaa4 4、特别记、特别记第8页/共33页第八页，共33页。./(3) (2)120) 1 (, 4| , 5|

5、10bababababababa时，求当；时，求当；时，求的夹角是与当已知、例第9页/共33页第九页，共33页。如图所示，等边三角形如图所示，等边三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，求，求 （1 1） 的数量的数量(shling)(shling)积；积； （2 2） 的数量的数量(shling)(shling)积；积； ABCBCAB与ACAB与第10页/共33页第十页，共33页。ba ,ba同向时与）当（ 1|ba ba ,ba反向时与当| |ba baba(2)3 3、向量的数量、向量的数量(shling)(shling)积积的重要性质的重要性质bab ,a的夹角为与均为非零向量，且

6、已知即|b|a|bab/a0两个两个(lin )重要的充要条件重要的充要条件第11页/共33页第十一页，共33页。aa(5)3 3、向量的数量、向量的数量(shling)(shling)积的积的重要性质重要性质cos(4)a ba b | b|a| ba|）（ 3?|b|a|ba|成立吗20acosaa22aa 即即第12页/共33页第十二页，共33页。_ 254912| (1)ba,ba|b|a的夹角与则，若三角形。为时，当，已知_ABC 0 ABABC (2)ba, bAC,a_|8 (3)2|aaa，则满足已知向量1350直角直角(zhjio)22例例2 2、填空、填空(tinkng)(

7、tinkng)第13页/共33页第十三页，共33页。00)1( a( ( ) )( () )00)2(abababa/|,|)3(则则若若 ( )( )22|)4(aaaa( )( ). 0, 0)5(中至少有一个为与则若baba( ( ) )1、已知、已知 均为非零向量均为非零向量,试试判断下列说法是否正确？判断下列说法是否正确？cba,第14页/共33页第十四页，共33页。的形状是，则中，、在ABCBCABABC03 （ ）的形状是，则中，、在ABCBCABABC02A A、 锐角三角形锐角三角形C C、 钝角三角形钝角三角形D D、 不能确定不能确定B B、 直角三角形直角三角形（ ）D

8、CABC第15页/共33页第十五页，共33页。问题问题(wnt):(wnt):（1 1）实数乘法有哪些）实数乘法有哪些(nxi)(nxi)运算律？运算律？（2 2）这些运算律是否能适用）这些运算律是否能适用(shyng)(shyng)于于 向量的数量积的运算？向量的数量积的运算？ 4 4、向量的数量积的运算律、向量的数量积的运算律第16页/共33页第十六页，共33页。实数实数(shsh)乘法乘法baab ）交换律：）交换律：（ 1)()(2bcacab ）结合律：）结合律：（bcaccba )(3 ）分分配配律律：（向量向量(xingling)的数量积的数量积类比类比(lib)猜想猜想abba

9、 ）交换律：）交换律：（ 1)()(2cbacba ）结结合合律律：（cbcacba )(3 ）分配律：）分配律：（)()()(4bababa ）数数乘乘结结合合律律：（是否都成立？是否都成立？第17页/共33页第十七页，共33页。验证验证(ynzhng)(ynzhng)向量数量积的运算律向量数量积的运算律ababbaba coscosabba ）交换律：）交换律：（ 1第18页/共33页第十八页，共33页。都成立？能否对任意向量c ,b ,a)cb(ac)ba(思考思考(sko)：即：向量数量积运算即：向量数量积运算(yn sun)不满足结不满足结合律合律第19页/共33页第十九页，共33页

10、。若若0,若若0 ，)()()(2bababa ）数乘结合律：）数乘结合律：（0 ，若若则显然成立则显然成立的夹角分别是什么？与；与；与)b(abab)a( 的夹角又是什么？与；与；与)b(abab)a( 第20页/共33页第二十页，共33页。cbcacba )(3 ）分配律：）分配律：（如何(rh)验证？或通过向量数量或通过向量数量(shling)积的坐标表示验证。积的坐标表示验证。可借助可借助(jizh)向量数量积的几何意向量数量积的几何意义验证；义验证；第21页/共33页第二十一页，共33页。5 5、向量的数量积的几何、向量的数量积的几何(j (j h)h)意义意义如图，作出 cos，并

11、说出它的几何意义；cos的几何意义又是什么？ba(B1)B1B1OBA(1)baBOA（3）abaBAO(2)b第22页/共33页第二十二页，共33页。 cos cos叫做向量叫做向量 在向量在向量 上的投影，上的投影， coscos叫做向量叫做向量 在向量在向量 上的投影上的投影.bbbaaa1cosbOB1cosbOB cos0b0222(B1)B1B1OBA(1)baBOA（3）abaBAO(2)b5 5、向量、向量(xingling)(xingling)的数量的数量积的几何意义积的几何意义第23页/共33页第二十三页，共33页。(1)(1)投影是一个数量，不是投影是一个数量，不是(b

12、shi)(b shi)向量。向量。11(2)OBOB 当当时时投投影影为为 当当时时投投影影为为 为为锐锐角角正正值值为为钝钝角角负负值值- -为为直直角角0 0为为0 0当当时时投投影影为为 当当时时投投影影为为 当当时时投投影影为为为为b b- - b b5 5、向量的数量积的几何、向量的数量积的几何(j (j h)h)意义意义第24页/共33页第二十四页，共33页。OAB|b|cos abB1的乘积。方向上的投影在向量另一个向量与的模向量的数量积是其中的一个、两个向量 cosbabaaba5 5、向量的数量、向量的数量(shling)(shling)积积的几何意义的几何意义第25页/共3

13、3页第二十五页，共33页。cbcac)ba(）分配律：（ 3 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . 向量a、b、a + b在c上的投影分别是OM、MN、 ON, 则ONMa+bbac用向量的几何意义(yy)验证第26页/共33页第二十六页，共33页。向量向量(xingling)(xingling)的数量积的常用公式的数量积的常用公式2222)(1(bbaaba 22)()(2(bababa 例例3 3、证明、证明(zhngmng)(zhngmng)第27页/共33页第二十七页，共33页。例例4 4、已知、已

14、知, 4, 6baab与与 的夹角为的夹角为6060，求：（求：（1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2） 在在 方向上的投影；方向上的投影；bbaa）（）（baba32ba k为何值时，与为何值时，与 互相垂直？互相垂直？ba2bak （5）a b 2）（ba（3） （6）（4）（7）ba328）（第28页/共33页第二十八页，共33页。512 aba baab例例 、已已知知，且且与与 垂垂直直，求求 与与 的的夹夹角角解：解：垂垂直直与与aba 0 aba）（02 aba即即122aabababa cos2221 ，04 4 的夹角为的夹角为与与ba第29页/共33页第二十九页，

15、共33页。011,120ababtatb、已知：与 夹角为， 问 取何值时，最小？第30页/共33页第三十页，共33页。例例6 6、用向量、用向量(xingling)(xingling)方法证明方法证明：径所对的圆周角为直角。径所对的圆周角为直角。ABCO分析分析(fnx)：要证：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B 设设 则则 ，由此可得：由此可得： , ,A AO Oa a O OC Cb b, ,A AC Ca ab b C CB Ba ab b A AC CC CB Ba ab ba ab b 2 22 22 22 2| | | | |a ab ba ab b 22220