数学回归分析基本思想及其初步应用人教A选修学习教案

1、会计学1数学回归分析基本思想及其初步数学回归分析基本思想及其初步(chb)应应用人教用人教A选修选修第一页，共31页。回归回归(hugu)分析的内容：分析的内容： 数学3中，已对具有相关关系的变量利用回归分析的方法(fngf)进行了研究，其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。 回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用的方法，也就是通过一个变量或一些(yxi)变量的变化解释另一变量的变化。第2页/共31页第二页，共31页。最小二乘法最小二乘法(chngf)： y = bx+a(x,y)(x,y)称为称为(chn wi)样本点的中心。样本点的中心。回归直线过样本

2、点中心回归直线过样本点中心n n( (x x- - x x) )( (y y- - y y) )i ii ii i= =1 1b b = =n n2 2( (x x- - x x) )i ii i= =1 1a a = = y y - - b bx x. .n nn n1 11 1其其 中中 x x = =x x , ,y y = =y y . .i ii in nn ni i= =1 1i i= =1 1n niiiii=1i=1n n2 22 2i ii=1i=1x y -nxyx y -nxy=,=,x-nxx-nx第3页/共31页第三页，共31页。例例1 从某大学中随机从某大学中随机(

3、su j)选取选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高求根据一名女大学生的身高(shn o)预报她的体重的回归方程，并预报一名身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高(shn o)为为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高：女大学生的身高(shn o)与体重与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为，体重为因变量因变量y，作散点图：，作

4、散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。程刻画它们之间的关系。分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量身高为自变量，体重为因变量第4页/共31页第四页，共31页。172.85849. 0 xy学学身身高高172cm女172cm女大大生生体体重重y = 0.849y = 0.849172-85.712 = 60.316(kg)172-85.712 = 60.316(kg)2.2.回归方程：回归

5、方程：1. 散点图；散点图；第5页/共31页第五页，共31页。探究：探究：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定的女大学生的体重一定(ydng)是是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般，但一般(ybn)可以认为她的体重接近可以认为她的体重接近于于60.316kg。即，用这个回归方程不能给出每个身高为即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的的女大学生的体重的预测值，只能给出她们女大学生的体重的预测值，只能给出她们(t men)平均体重的

6、值。平均体重的值。第6页/共31页第六页，共31页。例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重名女大学生，其身高和体重(tzhng)数据如表数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据求根据(gnj)一名女大学生的身高预报一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一她的体重的回归方程，并预报一名身高为名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高：女大学生的身高(shn o)与体重与体重解：解：1、选取身高

7、为自变量、选取身高为自变量x，体重，体重为因变量为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数，所以不能用一次函数y=bx+a描述它描述它们关系。们关系。第7页/共31页第七页，共31页。函数模型函数模型(mxng)与回归模型与回归模型(mxng)之间的差别之间的差别函数模型

8、：abxy线性回归模型：eabxy当随机误差恒等于当随机误差恒等于(dngy)0时，时，线性回归模型就变为函数模型线性回归模型就变为函数模型第8页/共31页第八页，共31页。函数函数(hnsh)模型与回归模型之模型与回归模型之间的差别间的差别函数模型：abxy回归模型：eabxy 线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能(zh nn)解析部分y的变化。 在统计中，我们也把自变量x称为解析(ji x)变量，因变量y称为预报变量。第9页/共31页第九页，共31页。我们可以我们可以(ky)用下面的线性回归模型来表示：用下面的线性回归

9、模型来表示：y=bx+a+e， (3)其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差。称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2.在线性回归模型在线性回归模型(4)中，随机误差中，随机误差e的方差的方差 越小，通过越小，通过回归直线回归直线 (5)2ybxa预报真实值预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实与真实值值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。y 另一方面，由于公式另一方面，由于公式(1)和和(2)中中 和和 为截距和斜率的估计值为

10、截距和斜率的估计值，它们与真实值，它们与真实值a和和b之间也存在误差，这种误差是引起预报之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值值与真实值y之间误差的另一个原因。之间误差的另一个原因。 y ab第10页/共31页第十页，共31页。思考思考:产生产生(chnshng)随机误差项随机误差项e的原因的原因是什么？是什么？随机误差随机误差e e的来源的来源( (可以推广到一般）：可以推广到一般）：1 1、用线性回归、用线性回归(hugu)(hugu)模型近似真实模型所引模型近似真实模型所引起的误差；起的误差；2 2、忽略了其它因素的影响：影响身高、忽略了其它因素的影响：影响身高 y y 的因素不的

11、因素不只是体重只是体重 x x，可能还包括遗传基因、饮食习惯，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；、生长环境等因素；3 3、身高、身高 y y 的观测误差。的观测误差。 以上三项误差越小，说明我们的回归以上三项误差越小，说明我们的回归(hugu)(hugu)模型的拟合效果越好。模型的拟合效果越好。第11页/共31页第十一页，共31页。探究探究:e 是是 用预报真实值用预报真实值Y的随机误差，它是一个不可观测的量，的随机误差，它是一个不可观测的量，那么怎样研究随机误差呢那么怎样研究随机误差呢？abx回归模型：eabxyybxaeyyiiiiieyyybxa其估计值为其估计值为而言，它们

12、的随机误差而言，它们的随机误差对于样本点对于样本点第12页/共31页第十二页，共31页。表表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应(xingyng)的残差数据。的残差数据。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断(pndun)它们是否线性相关，它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。是否可以用回归模型来拟合数据。残差分析残差分析(fnx)与残差图的定义：与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始来判断模型拟合的效果，判

13、断原始数据中是否存在可疑数据，数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。12,ne ee 编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称

14、为残差图残差图。第13页/共31页第十三页，共31页。残差图的制作及作用。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择(xunz)(xunz)；若模型选择若模型选择(xunz)(xunz)的正确，残差图中的点应该分布在以横的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明： 第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正个

15、样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正(jizhng)，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。第14页/共31页第十四页，共31页。显然，显然，

16、R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合(n h)效果越好。效果越好。在线性回归模型中，在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报表示解析变量对预报(ybo)变量变化的贡献率。变量变化的贡献率。 R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量(binling)和预报变量(binling)的线性相关性越强）。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值的值来做出选择，即选取来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。较大的模

17、型作为这组数据的模型。总的来说：总的来说：相关指数相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力代表自变量刻画预报变量的能力。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和第15页/共31页第十五页，共31页。1354总计0.36128.361残差变量0.64225.639随机误差比例平方和来源表表1-3 从表从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了中可以看出，解析变量对总效应约贡

18、献了64%，即，即R2 0.64，可以叙述为，可以叙述为“身高解析了身高解析了64%的体重变化的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的，而随机误差贡献了剩余的36%。 所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和第16页/共31页第十六页，共31页。用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我

19、们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些这些(zhxi)问题也使用于其他问题。问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：涉及到统计的一些思想：模型适用模型适用(shyng)的总体；的总体；模型的时间性；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；样本的取值范围对

20、模型的影响；模型预报结果的正确理解。模型预报结果的正确理解。小结小结(xioji)第17页/共31页第十七页，共31页。一般地，建立回归一般地，建立回归(hugu)模型的基本步骤为：模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析）确定研究对象，明确哪个变量是解析(ji x)变量，哪个变量是预报变量。变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察(gunch)它们之间的关系它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回

21、归方）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。第18页/共31页第十八页，共31页。第19页/共31页第十九页，共31页。第20页/共31页第二十页，共31页。、

22、y y线性相关呢？它们的相关程度线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？怎样呢？n niiiii=1i=1nnnn2222iiiii=1i=1i=1i=1(x - x)(y - y)(x - x)(y - y)r =r =(x - x)(y - y)(x - x)(y - y)第21页/共31页第二十一页，共31页。负相关负相关正相关正相关(xinggun)第22页/共31页第二十二页，共31页。n n(x -x)(y -y)(x -x)(y -y)iiiii=1i=1r=r=nnnn2222(x -x) (y -y)(x -x) (y -y)iiiii=1i=1i=1i=1相关系数相关系数正相关正

23、相关(xinggun)(xinggun)；负相关；负相关(xinggun)(xinggun)通常，通常， r-1,-0.75- r-1,-0.75-负负相关相关(xinggun)(xinggun)很强很强; ; r0.75,1r0.75,1正相关正相关(xinggun)(xinggun)很强很强; ; r-0.75,-0.3-r-0.75,-0.3-负相关负相关(xinggun)(xinggun)一一般般; r0.3, 0.75; r0.3, 0.75正相关正相关(xinggun)(xinggun)一般一般; ; r-0.25, 0.25-r-0.25, 0.25-相关相关(xinggun)(

24、xinggun)性较性较弱弱; ; 第23页/共31页第二十三页，共31页。例例2：一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y与温度与温度x有关有关,现收集现收集了了7组观测数据组观测数据,试建立试建立y与与x之间的回归方程之间的回归方程 解解:1):1)作散点图作散点图; ;从散点图中可以看出产卵从散点图中可以看出产卵(chn lun)(chn lun)数和温度之间的关数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像系并不能用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。第24页/共31页第二十四页，共31页。解

25、解: : 令令 则则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换列出变换(binhun)(binhun)后数据表后数据表并画并画 出出x x与与z z 的散点图的散点图 z =lnyz =lnyx和z之间的关系可以(ky)用线性回归模型来拟合z = ax+b+ez = ax+b+e2 2c xc x1 1用用y = c e模y = c e模型型; ;1)x x2121232325252727292932323535z z1.9461.946 2.3982.398 3.0453.045 3.1783.1784.194.194.7454.745 5.

26、7845.784第25页/共31页第二十五页，共31页。2) 2) 用用 y=cy=c3 3x x2 2+c+c4 4 模型模型, ,令令 , ,则则y=cy=c3 3t+ct+c4 4 , ,列出变列出变换后数据表并画出换后数据表并画出t t与与y y 的散点图的散点图 2 2t t = = x x散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是模型拟合他们的效果不是(b shi)最好的。最好的。t t44144152952962562572972984184110241024 12251225y y7 71111212124246666115115325325第26页/共31页第二十六页，共31页。( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3( (2 2) )2 2y y= = e e, ,y y= = 0 0. .3 36 67 7x x - -2 20 02 2. .5 54 4( (1 1) )( (1 1) )0 0. .2 27 72 2x x- -3 3. .8 84 43 3i ii ii i( (2 2) )( (2 2) )2 2i ii ii ie e= = y y - -y y= = y y - -e e, , ( (i i = =1 1,