高等数学7-6高阶线性微分方程—解的结构

1、一、概念的引入一、概念的引入例例: :设有一弹簧下挂一设有一弹簧下挂一质量为质量为 m 的的物物体体,如果使物体如果使物体具有一个初始速度具有一个初始速度00 v,物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置,并并在平衡位置附近作上下振动在平衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规试确定物体的振动规律律)(txx . 解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢复力恢复力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo6. 高阶线性高阶线性微分方程微分方程,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若受到铅直干扰力若受到铅直干扰

2、力pthxkdtdxndtxdsin2222 强迫振动的方程强迫振动的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :定定理理 1 1

3、如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常数数） 问题问题: :一一定定是是通通解解吗吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy定义定义：设：设nyyy,21为定义在区间为定义在区间 I内的内的 n个函数如果存在个函数如果存在 n个不全为零的常数，使得个不全为零的常数，使得当当 x在该区间内有恒等式成立在该区间内有恒等式成立 02211 nnykykyk， 那么称这那么称这 n个函数在区间个函数在区间 I内内线性线性相关相关否则否则称称线性无

4、关线性无关 例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( x特别地特别地: 若若在在 I 上上有有常常数数， )()(21xyxy则则函函数数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线线性性无无关关.定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211yCyCy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. . 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 为通解为通解.2.2

5、.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定理定理 3 3 设设*y是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程 )2()()()(xfyxQyxPy 的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)(1)的通的通解解, , 那么那么*yYy 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. . 定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函 数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1

6、xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . 解的叠加原理解的叠加原理114.,22xyyye 二二性性微微分分方方程程有有三三 特特解解. )(A该方程的通解是则 2123,xxxxxyeyeeyee )()()()(221221xxxxxxxxeeCeeCeBeCeCeA)()()()(221221xxxxxxeeCeeCDeCeCC*三、降阶法与常数变易法三、降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法的的一一个个非非零零特特解解，是是方方程程设设)1

7、(1y12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降阶法降阶法的一阶方程的一阶方程 v2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2

8、211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy 设设0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)得得代入方程代入方程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系数行列式系

9、数行列式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)()()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx对应齐方一特解为对应齐方一特解为,1xey 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 例例,)()(21xexcxxcy 设原方程的通解为设原方程的通解为应满足方程组应

10、满足方程组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解为原方程的通解为. 1221 xxeCxCyx小小 结结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法；补充内容补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解0)()( yxQyxPy, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey

11、特特解解思考题思考题 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解.思考题解答思考题解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为.221xCeCx 122231yyCyyCy 一、一、 验证验证21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并写出该方程的通并写出该方程的通解解 . .二、二、 证明下列函数是相应的微分方程的通解证明下列函数是相应的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常数是任意常数ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常数是任意常数cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .练练 习习 题题 三三、已已知知xexy )(1是是齐齐次次线线性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一个个解解, ,求求此此方方程程的的通通解解