数学基础1常用函数

1、第一部分第一部分 数学基础数学基础 1-1 常用函数常用函数 变型变型xf(x)xf(x- x0)x0 xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移平移(原点移至原点移至x0)折叠折叠与与f(x)关于关于y轴轴镜像对称镜像对称取反取反与与f(x)关于关于x轴轴镜像对称镜像对称倍乘倍乘y方向幅度变方向幅度变化化比例缩放比例缩放a1, 在在x方向展宽方向展宽a倍倍a1, 在在x方向压缩方向压缩a倍倍1-1 常用函数常用函数变型变型（例）（例）xf(x)01x, 0 x01/2, x=00, x00, x=0-1, x0定义: Sgn(x)=原型代表“p”相移器、反相器与 Step函数的关

2、系:Sgn(x)=2 Step (x)-11-1 常用函数常用函数 三三.矩形函数矩形函数 Rectangle Function定义其它 , 021x , 1)(rect xxrect(x)0 1/2-1/21-其它标准型 , 021 , 1)(rect:00axxaxx原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数快门; 单缝, 矩孔,区域限定,”门函数“其它 , 02x , 1)(rectaax )( rect0axx -x0ax0yxx0, y0yab0)( rect )( rect00byyaxx-1-1 常用函数常用函数四、三角形函数四、三角形函数 Trian

3、gle Function底宽:2|a|, 面积: S= |a|-其它标准型其它其它原型 , 01 ,1)(tri:, , 0 ,1)(tri, , 01 ,1)(tri:000axxaxxaxxaxaxaxxxx底宽: 2最大值：tri(0)=1曲线下面积: S=1xtri(x)01-111xa+x0-a+x0 x0五、五、sinc函数函数axaxaxxxxpppp)sin()(sinc ,)sin()(sinc:原型xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0 x0特点:最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0 x曲线下面积: S=1，偶函数0点位置:x=n (n=1, 2

4、, 3)等间隔两个一级0点之间的主瓣宽度=2)(sinc: 0axx-标准型1-1 常用函数常用函数 五五.sinc函数函数Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数xsinc2(x)01-11sinc (x)二维sinc函数:sinc(x)sinc(y)sin2(px) (px)2 sinc2函数sinc2(x)=sinc(x)21-1 常用函数常用函数六、高斯函数六、高斯函数 Gaussian FunctionGaus(x) = exp(-px2)Gaus(0) =

5、1S = 1是非常平滑的函数,即各阶导数均连续.Gaus(x)01二维情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp- p(x2+y2)可代表单模激光束的光强分布Gaus(x/a) = exp(-px2/a2)Gaus(0) =1S = aGaus(x)0a二维情形:Gaus(x/a)Gaus(y/a)=exp- p(x2+y2)/a21-1 常用函数七、圆域函数七、圆域函数 Circular Function定义: circ(r) =其它 , 01 , 1)(circ2222yxyxcirc函数是不可分离变量的二元函数描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率1xy00定义: circ(r) =

6、其它 , 0 , 1)(circ022022ryxryx1-1 常用函数常用函数八、复指数函数八、复指数函数 Complex exponential functionAexp(jq)=Acosq +jAsinqq：振子的位相角对于简谐振动，q = 2pn t推广到二维：Aexpj 2p (fxx+fyy)A0qw = 2pn注意注意以上定义的函数,其宗量均无量纲. 在处理实际问题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子.例: 以 rect(x) 代表单缝. 若x单位为cm, 则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝.若x单位为mm,则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝. 课堂练习课堂练习