三角形中的几何计算

1、2.2.1 三角形中的几何计算1.边与角的关系边与角的关系 大边对大角大边对大角.大角对大边大角对大边2sinsinabcRsinABC2222222222cos2cos2cosabcbcAbcaacBcababC 2sin2sinsinsinABabRARBAB 复习回顾复习回顾2.三角形的面积公式三角形的面积公式12S 底底高高111sinsinsin222SabCbcAacB1(),2Sprpabc r 其其中中 = =为为内内切切圆圆半半径径 (4abcSRR 为为三三角角形形外外接接圆圆半半径径) )1()()()()2Sp papbpcpabc 其其中中例题讲解例题讲解例例1 如图

2、所示，在梯形如图所示，在梯形ABCD中，中，ADBC，AB=5，AC9，BCA30，ADB45.求求BD的长的长.ABCD594530解解 在在ABC中，中， AB=5，AC9，BCA30.由由正弦定理，得正弦定理，得ABCACBCAAB sinsin109530sin9sinsin ABBCAACABC因为因为ADBC，所以，所以BAD180 ABC109sinsin ABCBAD于于是是同理同理,在在ABD中中, AB=5， ，ADB45109sin BAD9 22BD解得例题讲解例题讲解例例2 一次机器人足球比赛中，甲队一次机器人足球比赛中，甲队1号机器号机器人由点人由点A开始作匀速直线

3、运动，到达点开始作匀速直线运动，到达点B时，时，发现足球在点发现足球在点D处正以处正以2倍于自己的速度像点倍于自己的速度像点A作匀速直线滚动作匀速直线滚动.如图所示，已知如图所示，已知 若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？器人最快可在何处截住足球？o oA AB B = = 4 4 2 2d dm m, ,A AD D = =1 17 7d dm m, , B BA AD D = = 4 45 5ABD45例题讲解例题讲解ABCD45分析分析 机器人最快截住足球的地方正式机器人机器人最快截住足球的地方正式机器人与足球同时到达的地

4、方，设为与足球同时到达的地方，设为C点点.利用速度建利用速度建立立AC与与BC之间的之间的 关系，再利用余弦定理便可关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题建立方程解决问题.例题讲解例题讲解ABCD45解解 设该机器人最快可在点设该机器人最快可在点C处截住足球，点处截住足球，点C在线段在线段AD上，设上，设BCx dm，由题意，由题意，CD2x dmAC=AD-CD=(17-2x) dm在在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得AACABACABBCcos2222 45cos)217(242)217()24(222xxx 即即)(337),(521dmxdmx解得解得1727 (),23()(

5、)3ACxdmACdm所以 或不合题意，舍去例题讲解例题讲解思考思考 为什么为什么出现负值出现负值ACCBABA，求求角角）（满满足足、的的两两根根，角角03sin2 02322 xxba是方程是方程、例例3 3 锐角三角形中，边锐角三角形中，边的面积的面积. .的长度及的长度及的度数，边的度数，边ABCcD D例题讲解例题讲解解：解：23sin03sin2 ）（，）（BABA为为锐锐角角三三角角形形ABCD DoBA120 oC60 的的两两根根是是方方程程、边边02322 xxba232 abba，Cabbaccos2222 abba32 ）（6612 2323221sin21 D DCa

6、bSABC6 c例题讲解例题讲解例例4 已知已知ABCABC的三内角的三内角A A、B B、C C成等差，而成等差，而A A、B B、C C三内角的三内角的对边对边a a、b b、c c成等比成等比. .试证明：试证明：ABCABC为正三角形为正三角形. .证明：证明：aa、b b、c c成等比，成等比，b b2 2=ac=acAA、B B、C C成等差，成等差，2B=A+C2B=A+C，又又A+B+C=180A+B+C=180o o，B=60B=60o o，A+C=120A+C=120o o又由余弦定理得：又由余弦定理得：accaaccaBaccab222222260cos2cos2accaac22，即，即0)(2 ca，a=ca=c又又B=60B=60o o，ABCABC是正三角形是正三角形. .例题讲解例题讲解 例例