wl直线的方向向量与平面的法向量

1、 新泰一中 王玲 新泰一中 王玲研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用. .1.如何确定一个点在空间中的位置如何确定一个点在空间中的位置2.在空间中给一个定点在空间中给一个定点A和一个定方向，和一个定方向，能确定一条直线在空间中的位置吗？能确定一条直线在空间中的位置吗？3.给定一个定点和两个定方向，能确给定一个定点和两个定方向，能确定一个平面在空间中的位置吗？定一个平面在空间中的位置吗？4.给一个定点和一个定方向，能确定一个给一个定点和一个定方向，能确定一个平面在空间中的位置吗？平面在空间中的位置吗？思考

2、思考一、点、直线、平面的位置的向量表示一、点、直线、平面的位置的向量表示点点OP基点基点空间中任意一点空间中任意一点P的的位置可用向量位置可用向量 表示表示 OP直线直线APla()APaR定点定点A和和 不仅可以确定不仅可以确定直线直线l的位置，还可以具体表的位置，还可以具体表示出示出l上的任意一点上的任意一点P。a平面平面OP ab( ,)OPxayb x yR点点O和和 、 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出的位置，还可以具体表示出 内的任内的任意一点意一点P。a b二、平面的法向量二、平面的法向量平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所

3、在直线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n An l 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是完全确定的为法向量的平面是完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向量是平面的法向量，向量 是是 与平面平行或在平面内，则有与平面平行或在平面内，则有0n

4、 m n m 由两个三元一次方程由两个三元一次方程组成的方程组的解是组成的方程组的解是不惟一的，为方便起不惟一的，为方便起见，取见，取z=1z=1较合理。较合理。其实平面的法向量不其实平面的法向量不是惟一的。是惟一的。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 则，（ ， ， ）， （ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的单位法向量为， ，）问题：如何求平面的

5、法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的111222(3), ,0000 x y za xb yc zn an ba xb yc z 根根据据法法向向量量的的定定义义建建立立关关于于的的方方程程组组个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(平面的法向平面的法向量不惟一，量不惟一，合理取值即合理取值即可。可。例例3. 3. 在空间直角坐标系内，设平面在空间直角坐标系内，设平面 经过经过 点点 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ， 为平面为平面 内任意一点，求内任意一点，求 满足的关系式。满足的

6、关系式。),(000zyxP),(CBAe ),(zyxMzyx,000(,)PMxxyyzz ，解：由题意可得解：由题意可得 0 PMe000(,) (,)0A B Cxxyyzz 即即000()()()0A xxB yyC zz 化化简简得得： 因为方向向量与法向量可以确定直线和因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的面间的平行、垂直、夹角平行、垂直、夹角等位置关系等位置关系. . 那么如何用直线的方向向量表示空间那么如何用直线的方向向量表

7、示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？二面角的大小呢？线线面面平平行行 面面面面平平行行 三、平行关系：三、平行关系：111222(,),(,),lea b cna b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/00;lena abbc cABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE ，/MNCDE平平面面例例4 4 如图，已知矩形如图，已知矩形和矩形和矩形所在平面

8、互相垂直，点所在平面互相垂直，点分别在对角线分别在对角线上，且上，且求证：求证：ABCDEFxyzMN), 0 ,2(caBMABNANM)0 ,3 , 0(bAD 0NM AD 由NMAD得到简证：因为矩形简证：因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 为正交为正交基底，建立如图所示空间坐标系，基底，建立如图所示空间坐标系，设设AB,AD,AF长分别为长分别为3a，3b，3c，AB AD AF ， ，则可得各点坐标，从而有则可得各点坐标，从而有又平面又平面CDECDE的一个法向量是的一个法向量是因为因为MN不在平

9、面不在平面CDE内内所以所以MN/平面平面CDE四、垂直关系：四、垂直关系：111222222,0, /abca b cenabc当时111222(,),(,),ea b cna b c若则121212/,.lenenaa bb ccA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例例5.5.在正方体在正方体中，中，E、F分别是分别是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位正交为单位正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：1,DADCDD 以以， 1(1,0,0)(

10、1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 又又因因为为00n DAn DE 则则由由，得得 所以所以1D FADE 平平面面ADEnxyz 设设平平面面的的一一个个法法向向量量为为 =(=( ， ， ) )000102xxyz 12xyz 则则 =0=0，不不妨妨取取，得得01 -2n 所所以以 =(=( ， ， ) )/1D F n 所所以以还有其他方法吗？还有其他方法吗？如何用向量法求点到平面的距离如何用向量法求点到平面的距离：思考题分析思考题分析 n A P O 详细答案详细答案DABCGFExyzDABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG

11、 ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyz 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 1答案答案2答案答案APDCBMN2.(2.(课本第课本第116116页练习页练习2)2)如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，两点，直线直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直ABAB，已，已知知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 解：如图解：如图, ,以以D D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系D Dxyzxyz 则则D(0

12、,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )2aa2aaaDMPNAxCBzy2.2.如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，直线两点，直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直ABAB，已知已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条

13、件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2

14、,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m= .巩固性训练3/llll1如图，正方体如图，正方体 中，中， E为为 的中点，的中点， 证明：证明： /平面平面AECDCBAABCDDD DB DABA BCCDE2 2、在正方体、在正方体AC 中，中，E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱分别是所