函数的单调性与曲线的凹凸性

1、 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性1函数单调性的判别法函数单调性的判别法函数单调区间的求法函数单调区间的求法小结小结 思考题思考题 作业作业 6.4 函数的单调性与函数的单调性与 曲线的凹凸性曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法第第6章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性20)( xf0)( xf定理定理6.8, 0)(),()2( xfba内内如果在如果在单调增加单调增加;单调减少单调减少.一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法xyO

2、abAB)(xfy xyO)(xfy abAB设函数设函数y = f (x)在在a, b上连续上连续,在在(a, b)内可导内可导.那末函数那末函数y = f (x)在在a, b上上那末函数那末函数y = f (x)在在a, b上上, 0)(),()1( xfba内内如果在如果在 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性3证证,21baxx ,21xx 且且 拉氏定理拉氏定理)()()(1212xxfxfxf , 0)( f则则),()(12xfxf , 0)( f则则),()(12xfxf )(21xx , 0)( xf, 0)( xf(1)(2) 此定理不论对于开、闭、

3、有限或无穷此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确区间都正确.注注若在若在(a, b)内内,若在若在(a, b)内内,因为因为所以所以y = f (x)在在a, b上单调增加上单调增加;因为因为所以所以y = f (x)在在a, b上单调减少上单调减少. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性4例例解解.1e的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xyx. 1e xy,)0,(内内在在 , 0 y,), 0(内内在在 , 0 y.), 0单调增加单调增加函数在函数在 ).,( 定义域为定义域为;0,(单调减少单调减少函数在函数在 因为因为所以所以所以所以 6.4 函数的单调性

4、与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性5方法方法不存在不存在的根及的根及用方程用方程)(0)(xfxf 问题问题如上例如上例, 函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的,若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导然后判定区间内导数的符号数的符号.的的分界点分界点二、函数单调区间的求法二、函数单调区间的求法但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调.则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间. .导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间的点划分函数的点划分函数f (x)的定义区间的定义

5、区间, 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性6例例解解的的确定函数确定函数31292)(23 xxxxf12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx, 11 x. 22 x).,(定义域定义域)1 ,()2 , 1(), 2( x)(xf)(xf 单调区间为单调区间为,1 ,(,2 , 1 )., 2 xyO1122,0)(得得解方程解方程 xf单调区间单调区间. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性7例例解解.)(32的的单单调调区区间间确确定定函函数数xxf )0(,32)(3 xxxf,0时时当当 x单调减少区间为单调减少区间为,0 ,(

6、 )., 0 32xy )0,( ), 0( x)(xf)(xf ).,( 定义域定义域xyO单调增加区间为单调增加区间为导数不存在导数不存在. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性(1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分界点。的分界点。如如, ,3xy , 00 xy上上但在但在),(注注单调增加单调增加.3xy xyO(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.如如, ,),(sin 在在xxy内可导内可导,且且xycos1 等号只在等号

7、只在), 1, 0()12( kkx (无穷多个离散点无穷多个离散点)处成立处成立,故故),(sin 在在xxy内内单调增加单调增加., 0 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性9例例.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx 单调性的单调性的应用应用: (1) 证明不等式证明不等式.证证),1ln()(xxxf 设设( ).1xfxx;), 0上单调增加上单调增加所以在所以在,0时时所以当所以当 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即, 0)( xf, 0)0()( fxf0)0( f且且 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性10例

8、例证证xxxfxsine21)(2 设设xxxfxcose)( , 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上单单调调增增加加在在所所以以xf 定不出符号定不出符号0)0( f且且0)0( f且且.1 , 0)(Cxf 0 .21sine, 102xxxx 证明证明xxfxsine1)( 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性11 )(,10 xfx有有时时当当0sine212 xxx,10时时当当 x, 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上单单调调增增加加在在所所以以xf )(xf有有)0(f . 0 .1 , 0)(Cxf )0(f. 0 xxxfxcose)(

9、 即即xxxfxsine21)(2 上单调增加上单调增加在在1 , 0)(xf .21sine2xxx 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性(a) 方程根的存在性：零点定理方程根的存在性：零点定理(b) 方程根的唯一性：方程根的唯一性：RolleRolle定理或单调性定理或单调性(c) 方程根的个数：须确定单调区间，由区间方程根的个数：须确定单调区间，由区间端点的单侧极限，结合零点定理确定根的个端点的单侧极限，结合零点定理确定根的个数以及根所在的区间。数以及根所在的区间。(2) 确定某些方程实根的个数确定某些方程实根的个数单调性的单调性的应用应用: 6.4 函数的单调性

10、与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性内的实根。在例讨论方程) 1 , 0(01223xxx解解, 12)(23xxxxf令令上连续，上连续，在在则则 1 , 0)(xf(0)1,(1)3,ff 因由零点定理，由零点定理，内内至至少少有有一一个个零零点点。在在1 , 0)(xf时，时，1 , 0 x223)( 2xxxf0所以，所以，内单调递增，内单调递增，在在1 , 0)(xf因此，因此， f (x)的图形与的图形与x轴至多有一个交点，轴至多有一个交点，内至多有一个零点。内至多有一个零点。在在1 , 0)(xf所以，所以，内有且只有一个零点，内有且只有一个零点，在在1 , 0)(xf即原方

11、程有且仅有一个根。即原方程有且仅有一个根。 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例 判断方程判断方程0|2| xex有几个实根有几个实根, 并指出各个根所在的区间并指出各个根所在的区间. 方法方法：须确定单调区间：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极、区间端点值（或单侧极限），从而判定根的个数以及根所在的区间。限），从而判定根的个数以及根所在的区间。解解( )|2|xf xex令222,2xexxxexx ，12( )1,2xexfxxex，02xx 是导数为零的点，是导数不存在的点， 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性22( )2,2xe

12、xxf xxexx ，12( )1,2xexfxxex，02xx 是导数为零的点，是导数不存在的点，列表列表x)(xf )(xf2( 2,0)0(0,)(, 2) 不存在不存在2e01lim( )lim(2),xxxf xex lim( )lim(2)xxxf xex 有一根有一根有一根有一根有一根有一根 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性16(concave and convex)三、三、曲线曲线凹凸凹凸性的判别法性的判别法1. 定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向xyOABC 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性17)(xf

13、y )(xfy 1x2x1x2x定义定义6.1,)(baCxf 设设,2)()()2(2121xfxfxxf 恒有恒有凹凹2)()()2(2121xfxfxxf (凸凸)221xx 221xx 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方xyOxyO如果对如果对(a, b)内任意内任意两点两点x1, x2,那么称那么称f (x)在在(a, b)内的图形是内的图形是 的的. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性18)(xfy )(xfy 曲线弧上每一点的切线都在曲线的曲线弧上每一点的切线都在曲线的

14、下下或或定义定义 (上上)方方,称为称为凹凹 弧弧. .(凸凸)凹凹弧的曲线段弧的曲线段)(xf 即即 f (x)的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的,是单增的是单增的,弧的切线斜率是单减的弧的切线斜率是单减的,)(xf 即即是单减的是单减的. .而凸而凸利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性从几何直观上从几何直观上, 随着随着x的增大的增大,xyOxyO 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性19递增递增)(xf 0)( xf递减递减)(xf 0)( xf定理定理6.96.9具有具有二阶导数二阶导数,0)( xf若若),0( 凹凹(凸凸)2. 凹凸性的

15、判别法凹凸性的判别法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 如果如果 f (x)在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内内在在(a, b)内内,在在a, b上的图形是上的图形是 的的.则则 f (x) 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性20证证20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之间之间与与在在xx )()()(000 xxxfxfxf即即)()()(000 xxxfxfxf 这说明切线位于曲线的下方这说明切线位于曲线的下方,),(0bax 任取任取 泰勒公式泰勒公式),(bax 处的切线处的切线在在曲线曲线0)(xxf

16、y 0 20)(! 2)(xxf 即即f (x)是凹的是凹的. .),(bax 0)( xf若若 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y.), 0为为凹凹的的在在曲曲线线 注注)0 , 0(点点 凸凸变变凹凹的的分界点分界点.是是曲曲线线由由3xy xyO 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例 利用函数图形的利用函数图形的凹凸性证明不等式凹凸性证明不等式:凹凸性的应用：凹凸性的应用：

17、证明不等式证明不等式22)1, 0, 0(2)(21 nyxyxyxyxnnnnttf )( )(tf )(tf)()(21yfxf 即即.2)(21nnnyxyx 证证,1 nnt2)1( ntnn0 yxt,0内内任任意意两两点点对对 2yxf)0( t设设图形是图形是凹的凹的. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性证证 法一法一 用单调性证用单调性证.法二法二 用凹凸性证用凹凸性证.,2sin)(xxxf ,2cos)( xxf.)(的的图图形形是是凸凸的的xf, 0)0( f又又, 0)( xf因因此此.2sinxx .2sin,20:xxx 时时当当证明不等式

18、证明不等式例例xxfsin)( 设设则则, 0 , 0)2( f即即 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性1.1.定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点. .几何上几何上二、曲线的二、曲线的拐点拐点及其求法及其求法3xy xyO0)( xf0)( xf 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性25,)(0变号变号两近旁两近旁xfx ,)(0不变号不变号两近旁两近旁xfx 拐点的充分条件拐点的充分条件0)(0 xf且且2. 拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存

19、在的点处. .拐点的必要条件拐点的必要条件若若f (x)具有二阶导数具有二阶导数,则点则点. 0)(0 xf(1)(2)(x0, f (x0)是拐点的是拐点的必要条件为必要条件为(或或x0为二阶导数不存在的点为二阶导数不存在的点)设函数设函数f (x)在点在点x0邻域内邻域内二阶二阶可导可导,点点(x0, f (x0)即为即为拐点拐点;点点(x0, f (x0)不是不是拐点拐点. . 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一般求拐点的步骤一般求拐点的步骤求二阶导数求二阶导数; 求二阶导数的零点与二阶不可导点求二阶导数的零点与二阶不可导点;求相应区间的二阶导数符号求相应区间

20、的二阶导数符号,判别凹凸性判别凹凸性;求拐点求拐点.(1)(2)(3)(4) 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性27例例.95)2(235的拐点及凹、凸性的拐点及凹、凸性求曲线求曲线xxy 解解),( ,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得 不不存存在在的的点点y 不存在不存在定义域为定义域为(1)(2). 22 x(3) 列表列表x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐点拐点拐点拐点)920, 2( )4, 3( 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性28例

21、例.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线xxy 解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令,431 x得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0),0 ,43(拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件, 0)(0 xf且且,0)(0 xf而而.472 x).0 ,47(设函数设函数f (x)在在x0的邻域内的邻域内是曲线是曲线 y = f (x)的的拐点拐点. .三阶可导三阶可导,那末那末(x0, f (x0) 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性29例例.3的拐点的

22、拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性3032)1(xxy 求求例例的单调区间、凹凸区间和拐点的单调区间、凹凸区间和拐点.解解,3235xxy 31323235 xxy)52(3531 xxyx 处处0不存在不存在,处处52 x. 0 y y),51(9103

23、4 xx343192910 xx,51处处 x. 0 y 不存在不存在x)51,( 0y 拐点拐点)2556,51(3 y y51 )0 ,51( )52, 0(52),52( 0 0 单调增加区间单调增加区间),52()0 ,( 及及单调减少区间单调减少区间)52, 0(凸区间凸区间凹区间凹区间)51,( )., 0()0 ,51( 和和不存在不存在 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性31考研数学考研数学( 三三,四四)10分分设函数设函数 y = y (x)由方程由方程0ln yxyy确定确定,试判断曲线试判断曲线 y = y (x)在点在点(1,1)附近的凹凸性

24、附近的凹凸性.解解0ln yxyy在在两边对两边对x求导得求导得, 012ln yyy解得解得,ln21yy 两边对两边对x再求导得再求导得,)ln2(2yyyy 代入得代入得将将y ,)ln2(13yyy 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性32考研数学考研数学( 三三,四四)10分分设函数设函数 y = y (x)由方程由方程0ln yxyy确定确定,试判断曲线试判断曲线 y = y (x)在点在点(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.,)ln2(13yyy 代入得代入得将将1, 1 yx.81)1( y由于二阶导函数由于二阶导函数1 xy 在在的附近是连续函数的附近

25、是连续函数,所以由所以由,81)1( y1 x可知在可知在的附近的附近, 0 y故曲线故曲线 y = y (x)在点在点(1,1)附近是凸附近是凸. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性33五、小结五、小结单调性的判别单调性的判别单调性的单调性的应用应用:改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点: :凹凸性凹凸性;拐点拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向研究曲线的弯曲方向: :凹凸性凹凸性的的应用应用: 利用利用凹凸性凹凸性证明不等式证明不等式. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

26、函数的单调性与曲线的凹凸性34证证 只要证只要证.lnlnbaab 令令,lnln)(xaaxxf ax 0)( afxaaxf ln)(xa 1,时时当当ax ,)(时单调增加时单调增加在在axxf 所以所以,时时当当ab )()(afbf 即即有有, 0lnln baabbaablnln 得得.abba , 0 0 思考题思考题1也即也即., eabbaab 证明证明设设 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性35作业作业习题习题6.4(2196.4(219页页) )1. 5.1. 5.奇数题奇数题 6.(1)(3)(9)(12) 6.(1)(3)(9)(12) 7.

27、 9.(2)(4) 7. 9.(2)(4) 10.(2)(3) 12.10.(2)(3) 12. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性36思考题思考题2考研数学二考研数学二, 8分分,0ba 设设证明不等式证明不等式.1lnln222abababbaa 证证 先证右边不等式先证右边不等式.设设axaxaxx lnln)( ),0( ax0)( a )221(11)(xxaxaxx axxax2)(2 0 ,时时当当ax )(x 单调减少单调减少, 故有故有)()(ax 0 即即.lnlnaxaxax bbb 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性3

28、7思考题思考题2考研数学二考研数学二, 8分分,0ba 设设证明不等式证明不等式.1lnln222abababbaa 再证左边不等式再证左边不等式.方法一方法一设函数设函数xxfln)( ),0( ax由拉氏定理知由拉氏定理知,至少存在一点至少存在一点),(ba 使使 abablnln由于由于,0ba 1从而从而.2lnln22baaabab xx)(ln,1 ,222baa b1 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性38思考题思考题2考研数学二考研数学二, 8分分,0ba 设设证明不等式证明不等式.1lnln222abababbaa 再证左边不等式再证左边不等式.方法

29、二方法二 设设)(2)ln)(ln()(22axaaxaxxf ),0( ax因为因为axaxaxxxf21)()ln(ln2)(22 xaxaxx2)()ln(ln2 0 ,时时故当故当ax )(xf单调增加单调增加, 故有故有)()(afxf 0 0)( af即即0)(2)ln)(ln(22 axaaxax从而从而,0时时当当 ab0)(2)ln)(ln(22 abaabba即即ababbaa lnln222 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性39考研数学考研数学(一一, 二二) 12分分).(e4lnln,ee2222ababba 证明证明设设证证 法一法一,e4ln)(22xxx 设设则则,e4ln2)(2 xxx ,ln12)(2xxx 所以所以,e时时当当 x, 0)( x )(x 故故单调减少单调减少, 从而从而,ee2时时当当 x)e ()(2 x,ee2时时即当即当 x)(x 单调增加单调增加.,ee2时时当当 ba因此因此),()(ab 即即,e4lne4ln2222aabb 故故).(e4lnln222abab , 0e4e422 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性40).(e4