第3章多自由度线性振动

1、多自由度系统的振动第三章 多自由度系统的线性振动3.1 多自由度系统振动方程的建立3.2 多自由度系统的自由振动3.3 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的振动3.1 多自由度系统振动方程的建立一、力学模型的简化 工程中大多为多构件多部件的弹性系统，自由度往往为无限多，但研究这种情况比较困难，因此要对其建立近似的数学模型。变无限为有限，将无限多自由度系统离散为有限多自由度系统。有集中参数法和有限单元法两种方法。 机械系统中有两类构件，一类是有较大的惯性和刚度，我们可以视其为质量块而忽略其弹性；另一类视惯性较小柔度较大，可以视其为无质量的弹簧。 把连续弹性体的分布质量用若干个集中质量代替，得到另

2、一类集中参数系统。第三章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 如图给出了弹簧连接的两个质量块组成的振动系统。系统在x轴向运动，其质量分布为m1、m2，弹簧刚度分别为k1、k2、k3，作用于两质量块上的激振力为F1（t）和F2（t）。设立两个广义坐标。不考虑阻尼，用牛顿第二运动定律可建立运动方程二、动力学方程的建立 将振动系统的力学模型简化后，就要建立系统的运动微分方程。最常用的方法有：根据牛顿定律建立振动方程和用拉格朗日方程来导出振动方程。本章介绍根据牛顿定律来建立方程的方法。首先看一个二自由度的例子。多自由度系统的振动1 11 1212122322122()( )()( )m xk xkx

3、xF tm xk xkxxF t 122111122322220( )0( )kkkmxxF tkkkmxxF t（3.1.1）或写成：( )MxKxF t（3.1.2）这就是这个二自由度系统的受迫振动方程。式中x系统的广义矩阵12Txxx经整理写成矩阵形式：多自由度系统的振动111212122200mmmMmmmK系统的刚度矩阵12211122232122kkkkkKkkkkkF（t）系统的广义力矩阵12( )( )( )TF tF tF t当F1（t）F2（t）0时，(3.1.2）式成为0MxKx（3.1.3）(3.1.3）式即为系统的自由振动方程M系统的质量矩阵多自由度系统的振动1 11

4、 1212122322122()( )()( )JkkT tJkkT t 若不考虑阻尼，也可以用牛顿定律建立其振动方程。如图所示为一个扭转振动系统。两圆盘转动惯量分别为J1、J2，各段轴的扭转刚度分别为k1、k2、k3，在两个圆盘上作用有激振力矩T1（t）、T2（t）。设立1、2两个广义坐标。多自由度系统的振动122111122322220( )0( )kkkJT tkkkJT t或写为( )MKT t这就是这个二自由度系统的受迫振动的方程。式中 系统的广义坐标列阵12T（3.1.4）（3.1.5）M系统的质量矩阵111212122200mmJMmmJ经整理后写成矩阵的形式多自由度系统的振动K

5、系统的刚度矩阵12211122232122kkkkkKkkkkkT（t）系统的广义力列阵12( )( )( )TT tT tT t当T1（t）T2（t）0时，(3.1.5）式成为0MK(3.1.6）式即为系统的自由振动方程（3.1.6）多自由度系统的振动设车体的质量为m，对其质心的转动惯量为J，前后车轮的刚度分为k1、如图所示为汽车车体振动的简化力学模型。在这里，不考虑零部件的振动和车体的左右振动，只研究车体在其对称平面内的振动。将车体视为一刚体，将车轮部件（包括轮胎和悬挂弹簧）视为无质量弹簧。车体作上下垂直振动和绕其质心的前后俯仰振动。多自由度系统的振动 根据牛顿定律和转动方程式，可写出自由

6、振动方程如下：11221 112 22()()()()mxk xlkxlJk l xlk lxl 经整理后写成矩阵的形式0MUKU（3.1.7）（3.1.8）TUxk2，质心与前后车轮的距离分别为l1和l2。以质心垂直位移x和车体绕质心的角位移为两个独立坐标。00mMJ121 12 2221 12 21 12 2kkk lk lKk lk lk lk l式中： U系统的广义坐标列阵M系统的质量矩阵K系统的刚度矩阵多自由度系统的振动 二自由度广义坐标由一个增加到两个，其振动方程写成矩阵形式后与单自由度系统的振动方程在形式上相类似，只是广义坐标和广义力由一维扩展到多维，用质量矩阵和刚度矩阵代替了单

7、自由度方程中的质量和刚度系数。 但是，也有一个重要区别：二自由度系统的振动方程是一个微分方程组，它由两个微分方程组成。一般情况下，在第一个方程中也含有第二个广义坐标，在第二个方程中也含有第一个广义坐标。这种情况我们称之为方程耦合。方程的耦合使我们无法利用单自由度系统的公式直接地来求解多自由度系统的振动方程组中的每一个方程。三、多自由度系统振动方程的特点 用牛顿定律建立二自由度振动系统微分方程的上述方法完全可以推广到多自由度系统。其中的广义坐标列阵和广义力列阵均为n维列阵，质量矩阵和刚度矩阵均为nn矩阵。对于具有微小位移的线性弹性系统，刚度矩阵和质量矩阵总是对称的。多自由度系统的振动例例1：用牛

8、顿第二定理建立下图所示的系统的振动方程：用牛顿第二定理建立下图所示的系统的振动方程解：针对每一个集中质量，依据牛顿第二定理，可建立其平衡方程为：解：针对每一个集中质量，依据牛顿第二定理，可建立其平衡方程为：111111()()()()( )iiiiiiiiiiiiiiim xk xxkxxc xxcxxF t 写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：( )MxCxKxF t多自由度系统的振动多自由度系统的振动例例2：用拉格朗日方程建立下图所示的热力发动机组的振动方程：用拉格朗日方程建立下图所示的热力发动机组的振动方程多自由度系统的振动多自由度系统的振动0MXKX（3.2.1）式中 X广义坐标列阵12T

9、nXxxxM、K系统的质量矩阵和刚度矩阵，均为对称矩阵，质量矩 阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵或半正定矩阵。3.2 多自由度系统的自由振动一、固有频率和主振型 上节得到了二自由度系统的自由振动方程式（3.1.3）、式（3.1.6）。实际上，对于具有微小位移的n自由度线性弹性系统，其自由振动方程都具有这一形式多自由度系统的振动sin()XAt（a）式中A为振幅列阵，将式（a）对时间求两次导数，得到广义加速度列阵2sin()XAt （b）将式（a）、（b）代人式(3.2.1），得到20KM A（3.2.2） 这里导出的式(3.2.2）是一个以振幅列阵A为未知数的齐次线性代数方程组，它在振动理论中

10、有着重要的意义。其中矩阵K、M均为已知矩阵。根据线性代数理论，方程(3.2.2）有非零解的条件是系统矩阵的行列式等于零，即2det0KM（3.2.3）设方程(3.3.1）具有如下形式的解多自由度系统的振动 式（式（3.2.33.2.3）称为特征方程或频率方程。将其展开，）称为特征方程或频率方程。将其展开，得到一个关于得到一个关于 2 2的的n n次代数方程，它的根称为特征值。次代数方程，它的根称为特征值。 特征值开平方即得到特征值开平方即得到 系统的固有频率。在质系统的固有频率。在质量矩阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵或半正定矩阵量矩阵为正定矩阵，刚度矩阵为正定矩阵或半正定矩阵的情况下，的情况

11、下，n n个特征值均为非负实数个特征值均为非负实数。在大多数情况下，在大多数情况下，这这n n个特征值互不相等，将其按大小排列起来个特征值互不相等，将其按大小排列起来12n称为一阶固有频率、二阶固有颁率称为一阶固有频率、二阶固有颁率n n阶固有频率。将阶固有频率。将 i i（i i1 1，2 2，。），。）代回式（代回式（3.2.23.2.2）就得到）就得到A A的非零解，记的非零解，记之为之为A A(i)(i)，A A(i)(i)就是与就是与 i i对应的特征矢量，它是一组振幅的相对应的特征矢量，它是一组振幅的相对值，称为第对值，称为第i阶固有振型，也称为第阶固有振型，也称为第i i阶主振型

12、。阶主振型。多自由度系统的振动（2 2）求固有频率）求固有频率设方程的特解：设方程的特解： 1122( )sin()( )sin()y tYty tYt（1）两质量的振动方程两质量的振动方程002221212221211111ykykymykykym 例例1 1 在图示悬臂梁中，有在图示悬臂梁中，有集中质量集中质量m m1 1和和m m2 2，不计梁不计梁的质量，试求系统的固有的质量，试求系统的固有频率与振型。频率与振型。（3.2.4）（3.2.5）多自由度系统的振动21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y整理得频率方程 211112221222()0()km

13、kDkkm解频率方程得 两个根： ，规定212, 1212第一频率或基本频率， 第二频率即两质量作简谐振动代入振动方程（即两质量作简谐振动代入振动方程（3.2.43.2.4）得位移幅值方程）得位移幅值方程 （3.2.6）（3.2.7）多自由度系统的振动（3 3）求振型）求振型 将将 代入式（代入式（3.2.63.2.6），得），得 1211122211111 YkYkm质点质点 的振动方程为的振动方程为 12,m m11112211( )sin()( )sin()y tYty tYt体系按体系按 振动有如下特点：振动有如下特点： 1两质量同频同步两质量同频同步多自由度系统的振动定义：体系上所有

14、质量按相同频率作自由振动时的振动定义：体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称体系的主振型。这形状称体系的主振型。这n n个主振型线性无关个主振型线性无关按第一振型自由振动的条件按第一振型自由振动的条件 111111221212(0)(0),(0)(0)yYyYyYYy振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素无关。无关。 同理，将同理，将 代入式得到代入式得到 1212122221121 YkYkm 即第二振型即第二振型 211121)0()0(YYyy多自由度系统的振动图示两个振型图示两个振型 第一主振型第一主振型12第二主振型第二

15、主振型 多自由度系统的振动 圆盘扭转系统，假定k1k2k3k，J1J2J，求其固有频牢和主振型，并解释其物理意义。解：由上述假定，其自由振动方程成为例21122020020JkkJkk 其特征方程为22202kJkkkJ可求出123kkJJ，多自由度系统的振动sin()At将此式和固有频率代入振动方程，即可得到与两固有频率相应的主振型。将1回代(1)1(1)200kkAkkA (1)(1)12AA于是有或(1)11A 令令1 1、 2 2具有如下形式的解具有如下形式的解多自由度系统的振动(2)1(2)200kkAkkA (2)(2)12AA于是有或(2)11A如图中给出了主振型的图解。每个振型

16、的两个元意之比即为两个四盘在这一扳型申的振幅比。在第一振型中，两个回盘连同中间的轴段一起总是向同一方向运动，并保持相同的位移。在第二振型中，两个圆盘总是向相反方向运动，并保持相同的位移。二自由度扭转振动系统主振型图解将2回代多自由度系统的振动11220000JkkJkk 220kJkkkJ1220kJ，其特征方程为可求出 这里，出现了一个零值固有频率。用与上题相同的方法可求出1 0相对应的主振型： 。即两个圆盘连同整个轴向同一方向运动，并保持相同的位移。换言之，系统存在零值回有频率说明存在着未被约束的刚体运动。(1)(1)12AA若轴两端为自由端，则可认定若轴两端为自由端，则可认定k k1 1

17、k k3 30 0，其自由振动方程成其自由振动方程成为为多自由度系统的振动 例3 已知图示两层刚架，横梁为无限刚性。该质量集中在楼层上，分别为m1，m2。层间侧移刚度（层间产生单位相对侧移时所需施加得力）分别为k1， k2。 求刚架水平振动时固有频率和主振型。m1m2k1k2 解：解：（1）系统的质量矩阵和刚度矩阵 2111kkk21221kkk222kk111222 mmmm多自由度系统的振动（2）求固有频率由频率方程 0222221121211mkkkmk当 时，mmmkkk2121,有0)(2(222kmkmk 所以 mk618. 01 mk618. 12 多自由度系统的振动（3 3）求

18、主振型）求主振型 两个主振型图： 第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 第一主振型 618. 1112111122111mkkYY 618. 11)1(Y 第二主振型 618. 012211122212mkkYY 618. 01)2(Y11.61810.618多自由度系统的振动 例例4 4 求等截面简支梁的自振频率和主振型求等截面简支梁的自振频率和主振型 解：方法一解：方法一 （1 1）求柔度系数）求柔度系数 由由 图图21,MM图图 1M2Mmm12L/3L/3L/3图图 EIl243432211 EIl486732112 利用图乘法求得利用图乘法求得 1112L/9211212L/9多

19、自由度系统的振动由频率方程由频率方程 0112222112211 mmmm31692. 5mlEI 32045.22mlEI 求得求得（2 2）求固有频率）求固有频率 多自由度系统的振动两个主振型图：两个主振型图：第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型111-11112111122111 mmYY11)1(Y1112211122212 mmYY11)2(Y第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型（3 3）求固有振型）求固有振型 多自由度系统的振动 例例5 试求如图所示的两个耦合振子的振动频率。试求如图所示的两个耦合振子的振动频率。 解：自由度为解：自由度为2，以位移，以位移21,xx为广义坐

20、标，则为广义坐标，则)(21)(2122212212221xxxxkVxxmT （1） 将（将（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得2112kxkxxm （2）2122kxkxxm （3）引进两个新的坐标引进两个新的坐标 ,212211xxqxxq 分别将（分别将（2）和（）和（3）相加减，得）相加减，得011 qmkq 0322 qmkq 1q2q由此得由此得和和振动模式的频率分别为振动模式的频率分别为mk /1 mk /32 和和 多自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统的振动 二、多自由度系统自由振动的通解 将第i组特征对代回原假设的解的形式（a）式，就得

21、到原方程（3.2.1）的一个特解。( )( )sin()iiiiXAt(3.2.8)由线性代数知识可知原方程的通解( )1( )sin()niiiiX tAt该通解中含有n个振型A（1）、A（2）、A（n）。方程中有2n个待定常量由2n个初始条件来确定：(3.2.9)1212(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)TnTnXxxxXxxx多自由度系统的振动在某些特殊的初始条件下，系统只按其中的某一个固有频率i在自由振动，这时式（3.2.1）通解形式就变为如下特殊形式：( )sin()iiiXAt 这时系统的运动形态称为第i阶主振动，在一般情况下系统的运动形态是各阶主振动的叠加。至于每阶

22、主振动所占的比重，那要由初始条件来确定。 三、主振型的正交牲和正则化 振型是多自由度系统振动中的一个非常重要的慨念。在本章第一节中我们曾指出，多自由度系统的振动可以转化为单自由度系统振动的叠加。之所以能这样处理，其基础恰在于主振型的性质。从式(3.2.2）可得到关系式 1、主振型的正交性多自由度系统的振动( )( )2( )( )( )( )2( )( )j Tjj Tjij Tij TijAKAAMAAKAAMA（e）（f）两式相减，有从式（g）和式（e）可得出( )( )( )( )00j Tij TiAMAAKA22( )( )0j TiijAMA（g）（3.2.10）（3.2.11）(

23、 )2( )( )2( )jiiijjKAMAKAMA（c）（d）用A（j）T左乘式（c），用A（i）右乘式（d）的转置，由于K和M是对称矩阵，有多自由度系统的振动 上两式表明，不同阶的主振型之间存在着对质量矩阵M的正交性，也存在着对刚度矩阵K的正交性，统称为主振型的正交性。3.主振型的正则化在ij的情况下，从式（e）或式（f）可得出( )( )2( )( )i Tii TiiAKAAMA（h） 因为质量矩阵M是正定矩阵，所以A（i）TMA（i）为是正定二次型。令( )( )0(1,2,3,)i TiiAMAMin（3.2.12）Mi称为第I阶主质量。对于正定系统，刚度矩阵K也是正定矩阵，令(

24、 )( )0(1,2,3, )i TiiAKAKin（3.2.13）多自由度系统的振动( )( )2( )( )(1,2,3,)i Tiiii TiiKAKAinAMAM（3.2.14） 这就是说，第i阶固有频率的平方2等于第i阶主刚度Ki和第i阶主质量Mi之比。 引入振型矩阵(1)(2)( )111(1)(2)( )(1)(2)( )222(1)(2)( )nnnnnnnAAAAAAAAAAAAA（3.2.15）根据（3.2.10）和（3.2.11）有Ki称为第i价主刚度。同时由式（h）可得到如下关系多自由度系统的振动12000000TPnMMA MAMM（3.2.16）同样地，式(3.2.

25、12）、式(3.2.14)合并起来可以写成12000000TPnKKA KAKK（3.2.17） 因为振型矢量各元素间可以任意改变比例，所以可将某一阶任意选定的主振型矢量除以一个常数Ci，将其正则化，即令()()1iiiAC（i）多自由度系统的振动（3.2.18）使得()()1iTiM（i）为正则振型，正则振型是满足条件(3.2.18）的一组特定的主振型。Ci称为正则化因子，将式（i）代入式(3.2.18），则可导出1211112(1)( 2 )()22212nnnnnnn()()iTiiCAM A （3.2.19） 对各阶主振型依次进行上述处理，可求得n个正则振型矢量，它们构成的矩阵称为正则

26、振型矩阵记为，即（3.2.20）多自由度系统的振动TMI（3.2.21）将式（3.2.21）代入式（3.2.22），得21, 2 ,iiKin于是（3.2.17）化为2122200TnK （3.2.22）矩阵称为特征值矩阵。引入正则振型矩阵后，由式（3.2.16）得主质量矩阵变成一个单位矩阵，即多自由度系统的振动四、多自由度振动方程的耦合与解耦 由线性代数知识可知，n个n维的线性无关矢量构戚n维线性空间的一组基底，该空间的任意一个矢量都可以用这组基底的线性组合来表示：(1)(2)( )12nnX （3.2.23）式中12Tn称为振型坐标矢量，1 ，2 ，n称为振型坐标，而原来选定的广义坐标x1

27、，x2，xn称为物理坐标。从式(3.2.23）可得X利用正则振型矩阵，可以把质量矩阵演化成单位矩阵，把刚度矩阵演化成对角形的特征值矩阵。这是解决多自由度系统振动方程耦合问题的理论基础。多自由度系统的振动0TTMK根据正则振型矩阵的正交性质，即式（3.2.21）、（3.2.22），上式可化为0 （3.2.24）因为是对角形的特征值矩阵，所以式（3.2.24）是n个互不耦合的独立方程，其展开形式力：211122222000nnn （3.2.25）将上式和式（3.2.23）代入系统的振动方程（3.2.1），并前乘T，得到多自由度系统的振动 方程组（3.2.25）可以看成是n个单自由度的振动方程。这样

28、，实现了原方程（3.2.1）的解耦，将n个自由度的振动问题转化为n个单自由度的振动问题，即以各阶固有频率为振动频率，以各阶主振型为振幅比的振动。反过来说，原来用物理坐标描述的运动状态可以认为是各阶主振动的叠加。这种方法就是所谓振型叠加法。 五、振型截断法 从理论上说，各个振型对系统的振动都有贡献。但是，各价振型的贡献并不相同。在实际工程问题中，常常是固有频率较低的几个振型的贡献占了压倒地位，尤其是在激振力中高频成分较少，或系统自由度数甚高的情况下更是这样。因而，在实际计算中，常取前r（rn）阶主振动之和作为系统响应的近似值，也能满足精度要求，这就是振型截断法。多自由度系统的振动( )1( )(

29、 )riiiX tt （3.2.26）引入截断正则振型矩阵，它由前r（rn）个主振型构成：(1)(2)( )111(1)(2)( )(1)(2)( )222(1)(2)( )rrrrnnn（3.2.27）由截断正则振型矩阵 求得的截断正则质量矩阵是rr阶的单位矩阵，即Tr rMI（3.2.28）这时，式（3.2.23）成为多自由度系统的振动2122200TrK截断正则刚度矩阵为（3.2.29）同时，式(3.2.26）可以写为X（3.2.30）式中12Tn（3.2.31）把式（3.2.30）代人系统振动方程（3.2.1），前乘 ，并注意到T多自由度系统的振动式（3.2.28）和式（3.2.29）

30、，则原方程变成了r个独立的单自由度振动方程：211122222000rrr （3.2.32）多自由度系统的振动 一、阻尼假定 各种弹性结构在振动时总要受到各种阻尼的作用。但是可以根据对系统不同的影响来决定是否计入阻尼。阻尼对系统的影响的大小与激振力的性质有关。一般来说，加于系统的激振力可能很复杂，所以阻尼的影响效应是事先不知道的，故在计算结构的动态响应时，必须考虑阻尼。 产生阻尼的原因是多方面的。这些阻尼的机理比较复杂，通常将各种阻尼都简化为与速度成正比的粘性阻尼。对于一个考虑粘性阻尼的多自由度系统，在激振力的作用下，其运动方程为MXCXKXF（3.3.1）3.3 多自由度系统的有阻尼受迫振动

31、多自由度系统的振动X将其代入式（3.3.1）并前乘 ，于是式（3.3.1）化为TCN （3.3.2）式中TTCCNF（3.3.3）（3.3.4）N称为正则振型激振力列阵。 在大多数情况下，阻尼的机制是不能确切地知道的，从而阻尼矩阵C的形式也是不知道的。所以常对阻力矩阵的形式作某种假设。常用的阻尼假定有两种：振型阻厄和比例阻尼。下面主要介绍振型阻尼。在振型阻尼假定中，认为阻尼矩阵能使正则振型矩阵对其为加权正交，即式中C为阻尼矩阵，引入线性变换多自由度系统的振动211222220202TnnCC （3.3.5）作出这种振型阻尼的假设考虑有三：1）假设C为对角矩阵可使方程成为非耦合的，此时（3.3.

32、2）成为下列展开式1211112N 矩阵C称为正则振型阻尼矩阵。其中i（il，2，n）称为正则阻尼比。（3.3.6）nnnnnnN212 多自由度系统的振动 2）如前所述，阻尼矩阵C中诸元素很难确定，但式（3.3.5）中的各阶振型阻尼比i则可以用实测或假设的方法确定。 3）在阻尼比较小的情况下（0 i 02），来用振型阻尼假设对于分析不会引起很大误差。 还有一种比例阻尼假定，即认为阻尼矩阵可以表示为质量矩阵和刚度矩阵的加权和。CMK（3.3.7）式中和为正常数。不难证明这种形式的阻尼矩阵也能使正则振型矩阵对其为加权正交。式(3.3.6）相当于n个有阻尼的单自由度振动方程。这样作大大简化了有阻尼

33、的多自由度系统振动的分析计算工作。多自由度系统的振动 通过引入线性变换和振型阻尼假设，已将具有粘性阻尼的多自由度振动系统的振动微分分方程（3.3.l）转化为以振型坐标为基本未知量的非耦合的微分方程组（3.3.6）。二、用振型叠加法求系统的自由响应（3.3.8）2111120 2120nnnnn 00(0),(0)XXXX首先利用线性变换的逆变换将其转换到振型坐标上去110000,XX若初始条件是按物理坐标给出的多自由度系统的振动002( )cossin1itiiidiididiitett （3.3.9）式中221 arctan1idiiiii 根据式（3.2.23）和式（3.3.8）中的每个方

34、程的解可以写为式（3.39）就是振型坐标对初始条件的响应。原来选定的物理坐标的响应即可求得( )1( )( )niiiX tt（3.3.10）多自由度系统的振动1 运动方程运动方程 tFyKyMP 2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12yY2111YY1222Yy21y2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12yY2111YY1222Yy21y对于两个自由度体系对于两个自由度体系, 即即 P111111122212222P200FtyymkkmkkyyFt2 解耦解耦设设 1、 2为两个新的坐标，并为两

35、个新的坐标，并使新旧坐标之间有如下关系：使新旧坐标之间有如下关系： 212221121121YYYYyy三、用振型叠加法求系统对任意激励的响应多自由度系统的振动写成矩阵形式为写成矩阵形式为 Yy 式中式中 y是物理坐标，实际位移；是物理坐标，实际位移； 是是正则坐标正则坐标，把，把y按按Y分解时的组合系数；分解时的组合系数；Y是主振型矩阵，新旧坐标之是主振型矩阵，新旧坐标之间的转换矩阵。间的转换矩阵。Y是非奇异矩是非奇异矩阵，因而能保证新旧坐标间存阵，因而能保证新旧坐标间存在确定的单值关系。在确定的单值关系。2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12

36、yY2111YY1222Yy21y2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12yY2111YY1222Yy21y第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 任一瞬时的动位移任一瞬时的动位移 多自由度系统的振动3 主振型矩阵分块主振型矩阵分块主振型矩阵可表达为主振型矩阵可表达为 2122211211YYYYYYY 2211YYy这是将各振型分量沿动位移这是将各振型分量沿动位移1、2方向加以叠加，从而得出质点的方向加以叠加，从而得出质点的总位移。因此，总位移。因此，hi就是把实际位移就是把实际位移y按主振型分解时的组合系数。按主振型分解时的组合系数。 也可以

37、写成展开式也可以写成展开式2PF (t)F (t)P1AB1mm2AB2mm11mm2BAB1mm2A12y12yY2111YY1222Yy21y第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 任一瞬时的动位移任一瞬时的动位移 多自由度系统的振动4 广义质量、广义刚度和广义荷载广义质量、广义刚度和广义荷载将将 及及 代入方程代入方程 ，进行正则坐标变换：，进行正则坐标变换： y y tFyKyMP YyYy,利用主振型的正交性，简化式利用主振型的正交性，简化式(b)的计算：的计算： )(PtFYKYM (b)将式将式(b)前乘以前乘以 ，则，则 21111YYYT )(P111tFYYKYYMYTT

38、T 多自由度系统的振动于是有于是有 tFTKTMTtFYYKYYMY111P1111111此方程只含一个变量此方程只含一个变量 1及其对时间的导数。及其对时间的导数。同理，第二项同理，第二项 11212111212TTTYKYYYKYYKY第二正交条件为第二正交条件为0其中，第一项其中，第一项 20211112211121211 第一正交条件为YMYYMYYYMYYYMYTTTT )(P111tFYYKYYMYTTT 多自由度系统的振动同样，将式同样，将式 前乘以前乘以 ，则，则 )(PtFYKYM 22122YYYT tFKM22222 对应于第二主振型。对应于第二主振型。 11111111

39、PTTTMYMYKYKYF tYFt广义质量广义质量广义刚度广义刚度广义荷载广义荷载则则 tFKM11111 对应于第一主振型。这里，把联立方程变成了独立方程。对应于第一主振型。这里，把联立方程变成了独立方程。引入符号引入符号多自由度系统的振动注意：由注意：由Mi组成的广义质量矩阵以及由组成的广义质量矩阵以及由Ki组成的广义组成的广义刚度矩阵都是对角矩阵，即刚度矩阵都是对角矩阵，即nMMMM21nKKKK21 iiiiiMtFtt2 ni, 2 , 15 解耦后运动方程的一般形式解耦后运动方程的一般形式 tFtKtMiiiii ni, 2 , 1上式两边同时除以上式两边同时除以Mi，再考虑自振

40、频率的平方再考虑自振频率的平方 则得则得iiiMK2关于正则坐标的运动方程，对于关于正则坐标的运动方程，对于n个自由度体系，这是彼此个自由度体系，这是彼此独立的独立的n个一元方程。个一元方程。多自由度系统的振动写为写为 tiiiiitFMt0dsin16 运动方程的解运动方程的解可参照可参照杜哈梅积分杜哈梅积分 iiiiiMtFtt2 ni, 2 , 1多自由度系统的振动 杜哈梅积分tttiiiiiisin0cos0 iTiiiTiiMyMYMyMY0000式中式中即即 22iiiiMtFt若考虑不为零的初始条件，则若考虑不为零的初始条件，则7 特例：对于简谐干扰力特例：对于简谐干扰力 st2

41、221sin1iiiiiiF ttytM多自由度系统的振动故故 111111ttMtyMYMtyMYTT 111 MyMYT即即【补证】【补证】对式对式 两边前乘以，则可得两边前乘以，则可得 Yy 2021111221112121111 第一正交条件为YMYYMYYYMYYYMYYMYyMYTTTTTT11M多自由度系统的振动8 原运动方程的解原运动方程的解 Yy 必须指出：此法必须指出：此法基于叠加原理基于叠加原理，不能用于分析非线性，不能用于分析非线性振动体系。振动体系。故对于第故对于第i个振型，若个振型，若t=0时有初位移时有初位移 和初速度和初速度 ，则有，则有 0y 0y iTiii

42、TiiMyMYMyMY0000证毕。证毕。多自由度系统的振动例例1 1. . 用振型分解法计算一般力的强迫响应用振型分解法计算一般力的强迫响应例：求图示结构在突加荷载例：求图示结构在突加荷载 作用下的位移作用下的位移)(tFp已知：已知：0, 00,)(11ttFtFpp1.1.确定体系的自振频率和主振型；确定体系的自振频率和主振型； 3.3.求广义质量，广义荷载；求广义质量，广义荷载； 3.3.求广义坐标；求广义坐标； 4.4.求质点位移。求质点位移。 L/ 3y( t )1L/ 3L/ 3m =m112m =my( t )2多自由度系统的振动解解可求得可求得 12335.69222.045

43、EIEImlml（1 1）确定自振频率和主振型）确定自振频率和主振型主振型主振型 (1)(2)11 11YY （2 2）求广义质量、广义荷载）求广义质量、广义荷载 (1)(1)1(2)(2)2 2 2TTMYMYmMYMYm多自由度系统的振动（3 3）求广义坐标）求广义坐标 111111111120111222221112220222( )1( )( )sin()(1 cos)2( )1( )( )sin()(1 cos)2tpptppMkF tFtFtdtMmMkF tFtFtdtMm(1)11(2)21( ) ( )( )( ) ( )( )TppTppF tYF tFtF tYF tFt(t)FKM11111(t)FKM22222多自由度系统的振动（4 4）求质点位移）求质点位移 由坐标变换由坐标变换 yY1112122112121221( )( )(