第四讲 各种多属性决策方法

1、一、多属性决策问题的准备工作一、多属性决策问题的准备工作设可供选择的方案集为:,21mXXXX方案的属性集为:,21nyyyY决策矩阵为:mnmjminijinjyyyyyyyyy1111111、决策矩阵、决策矩阵例例1学校扩建问题。学校扩建问题。设某地区现有6所学校，由于无法完全容纳该地区适龄儿童，需要扩建其中的一所。在扩建时既要满足学生就近入学的要求，又要使扩建的费用尽可能小。(至于所扩建学校的教学质量我们稍后再考虑。)经过调研，获得如下表所示的决策矩阵。学校序号费用/(万元)平均就读距离/(km)1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例例2 研究生院评估

2、。研究生院评估。为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评估。为了取得经验，先选5所研究生院，收集有关数据资料进行了试评估。下表中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了的数据。 ji人均专著y1/(本/人)生师比y2科研经费y3/(万元/年)逾期毕业率y4/(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.22 数据预处理数据预处理 数据预处理又称属性值的规范化，主要有三个作用：(1)属性值有多种类型。属性值有多种类型。有的

3、属性值越大越好。有的属性值越小越好，有的属性值越接近于某个值越好。因此，需要对决策矩阵中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。(2)无量纲化无量纲化。多目标间的不可公度性，要求仅用数值的大小来反映属性值的优劣。(3)归一化。归一化。即把表中数均变换到0,1区间上。 数据处理的本质是要给出某个指标的属性值在决策人评价方案优劣时的实际价值。1、线性变换、线性变换 原始的决策矩阵为Y=yi j ,变换后的决策矩阵记为Z=zij,i=1,m,j=1,n。设yjmax是决策矩阵第j列中的最大值。若j为效益型属性，则 zij=yij/yjmax (1)采用上式进行数据预处理时

4、，经过变换的最差属性值不一定为0，最佳属性值为1。 若j为成本型属性，可以令 zij=1-yij/yjmax (2) 经过(2)变换后的最佳属性值不一定为1，最差为0。成本型属性也可以用下式进行变换： zij=yjmin/yij (2)用式(2)变换后的属性最差不一定为0,最佳为1,且是非线性变换。2、标准、标准0-1变换变换 对于线性变换，属性值进行线性变换后，若属性j的最优值为1，则最差值一般不为0;若最差值为0,最优值就往往不为1。为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0,可以进行标准0-1变换。对效益型属性j,令(4) ，j(3) minmaxmaxminmaxminjjijjij

5、jjjijijyyyyzyyyyz令为成本型属性时3、最优值为给定区间时的变换、最优值为给定区间时的变换 设给定的最优属性区间为yj0,yj*,yj为无法容忍下限，yj为无法容忍上限，则 (5)变换后的属性值zij与原属性值yij之间的函数图形为一般梯形。其他若若若 0 )/()(1 1 )/()(1* * *0000jijjjjjijjijjjijjjjijjijyyyyyyyyyyyyyyyyyz4、向量规范化、向量规范化 无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下式进行变换：这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变换不同，从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣。它的最大特点是

6、，规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1，因此常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧式距离的场合。(6) /12miijijijyyz5、原始数据的统计处理、原始数据的统计处理 有些时候某个目标的各方案属性值往往相差极大，或者由于某种特殊原因只有某个方案特别突出。如果按一般方法对这些数据进行预处理，该属性在评价中的作用将被不适当地夸大。为此可以采用类似于评分法的统计平均方法。方法之一是设定一个百分制平均值M，将方案集X中各方案该属性的均值定位于M，再用下式进行变换：其中， 是各方案属性j的均值，m为方案个数，M的取值可在0.5-0.75之间。(7) )00. 1 (maxM

7、Myyyyzjjjijijmiijjymy11、专家打分数据的预处理、专家打分数据的预处理有时某些性能指标很难或根本不能用适当的统计数据来衡量其优劣。通常要请若干个同行专家对被评价对象按指标打分。再用各专家打分的平均值作为相应指标的属性并据此确定被评价对象的优劣。为了改变无形中造成的各专家意见重要性不同的状况，使各位专家的意见在评价中起同样的重要作用，应该把所有专家的打分值规范到相同的分值区间M0,M*。M0和M*的选值不同对评价结果并无影响，只要所有专家的打分值都规范到该区间就行。具体算法为 (8)若选M0=0,M*=1，上式就与效益型属性的标准0-1变换式(3)相同。minmaxmin0*

8、0)(jjjijijyyyyMMMz9.5 TOPSIS法法1、TOPSIS法的解题思路法的解题思路 TOPSIS是逼近理想解的排序方法(technique for order preference by similarity to ideal solution)，它借助多属性问题的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。 理想解x*是一个方案集X中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值；而负理想解x0则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性最差的值。在n维空间中，将方案集X中的各备选方案xi与理想解x*和负理想解x0的距离进行比较，既靠近理想解又

9、远离负理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并可以据此排定方案集X中各备选方案的优先序。TOPSIS法的思路可以用下图来说明。图1 理想解和负理想解示意图x1x5x4x0 x2x6x3x*f2f1 (9.35)n ,1,j j minj max(9.34)n ,1,j j minj max,)3()33. 9( , 1;, 1 , ,),( (2)(9.32)n ,1,jm;,1,i ,/ ,) 1 (20*00*0*2112为效益型属性为成本型属性负理想解为成本型属性为效益型属性理想解则个属性为第负理想解个属性值为的第设理想解和负理想解确定理想解则设由决策人给定构成加权规范矩阵则规范化决策矩

10、阵策矩阵设多属性决策问题的决得规范决策矩阵用向量规范化的方法求的算法步骤xijxxxijxxxjxxjx。xxnjmizwxwwww。xXyyzzZyY。、TOPSISiijijiijijjjijjijTnijmiijijijijij。C(6)(9.38) m,1,i ),/(C )。(5)(9.37) m,1,i ,)(d x(9.36) m,1,i ,)(d )4(*i*00*in1j200iin1j2*i劣次序由大到小排列方案的优按即综合评价指数值计算各方案的排队指示到负理想解的距离为备选方案到理想解的距离为备选方案负理想解的距离计算各方案到理想解与iiijijjijidddxxxxx。

11、 ji人均专著y1/(本/人)生师比y2科研经费y3/(万元/年)逾期毕业率y4/(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.23、用、用TOPSIS法求解例法求解例2(1)对表所示属性值向量规范化，所得属性矩阵见下表.表中最右一列是属性2经式(5)变换后的值再进行向量规范化的结果。i j z1(y1)z3(y3)z4(y4)z2(z2)10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.41740.

12、53780.444450.96950.03980.16550.0000(2)设权向量仍为w=0.2,0.3,0.4,0.1,得加权的量规范化属性矩阵如下:i jz1z2z3z410.006920.200000.278240.0648220.013860.166670.222600.0303430.041560.666670.070120.0413740.020790.133330.166960.0537850.193900.00000.159200.01665(3)由上表和式(9.34)、式(9.35)，得理想解x*为(0.1939,0.2000,0.2872,0.01655)负理想解x0为(

13、0.00692,0.0000,0.01592,0.06482)(4)分别用式(9.36)和式(9.37)求各方案到理想点的距离di*和负理想点的距离di0,列于下表。(5)计算排队指示值Ci*(见上表),由Ci*值的大小可确定各方案的排序为：di*di0Ci*10.19310.65430.772120.19180.43540.657730.21940.25280.529740.21970.20220.479350.65430.19310.225454321xxxxx二、基于离差最大化的多属性决策方法二、基于离差最大化的多属性决策方法1、 决策方法 对于某一多属性决策问题,属性权重信息完全未知.

14、决策矩阵为 ,A经过规范化处理后,得到规范化矩阵mnijaA)(mnijrR)(假设属性权重向量为并满足单位化约束条件:Mjwwwwwjm, 0),.,(21mjjw121则各方案的综合属性值可定义为:mjjijiwrwz1)( 多属性决策,一般是对这些方案综合属性值的排序比较.若所有方案属性uj下的属性值差异越小,则说明该属性对方案决策与排序所起的作用越小;反之,如果属性uj能使所有方案的属性值有较大差异,则说明其对方案决策与排序将起重要作用.因此,从对方案进行排序的角度考虑,方案属性值偏差越大的属性(无论其本身的重要性程度如何)应该赋予越大的权重.特别地,若所有方案在属性uj下的属性值无差

15、异,则属性uj对方案排序将不起作用,可令其权重为0.对于属性uj,用Vij(w)表示方案与其他所有方案之间的离差.则可定义MjNiwrwrVnkjkjjijij,1令MjwrrwVwVjninkkjijniijj,)()(111则Vj(w)表示对属性uj而言,所有方案与其他方案的总离差.根据上述分析,加权向量w的的选择应该使所有属性对所有方案的总离差最大.为此,构造目标函数为mjjninkkjijnjjwrrwVwV1111)()(max于是,求权重向量w等价于求解如下最优化模型:1, 0. .)(max12111mjjjmjjninkkjijwMjwtswrrwV解此最优化模型,作拉格朗日(

16、lagrange)函数) 1(21),(12111mjjmjjninkkjijwwrrwL求其偏导数,并令01, 01211mjjjninkkjijjwLMjwrrwL求得最优解为:Mjrrrrwmjninkkjijninkkjijj 121111*由于传统的加权向量一般都满足于归一化约束条件而不是单位化约束条件,因此在得到单位化权得向量w*之后,为了与人们的习惯用法一致,还可以对w*进行归一化处理,即令Mjwwwmjjjj,*1由此得到:Mjrrrrwmjninkkjijninkkjijj,111112、 实例分析某单位在教练机选型论证中，选取了10种国内外教练机：X1L-39；X2MB33

17、9，X3T-46，X4膺，X5C101，X6S211，X7阿尔法喷气，X8歼教5，X9初教6，X10T-4。评价指标属性为：u1-过载范围，u2-升限，u3-最大平飞速度，u4-着陆速度，u5-最大爬升率，u6-续航时间，其性能数据如下表。试对方案进行排序和择优。(1.1)u1u2u3u4u5u6X11211.5780175222.43X21214.689816533.52.83X310.313.574118122.73X41215.24193820447.34X511.412.19833.4180195.9X6912.866717019.83.8X712.213.37991170593.3X

18、81214.3104823037.21.9X996.2528710553.6X1010.331592716752.63.14利用下列式子将数据归范化)(maxijiijijaar ijijiijaar)(min效益型成本型u1u2u3u4u5u6X10.9840.7550.7440.60.3730.412X20.9840.9580.8570.6360.5680.480X30.8440.8860.7070.5800.3850.508X40.98410.9900.5150.8020.678X50.9340.80.7950.6830.3221X60.7380.8400.6360.6180.3360.

19、644X710.8770.9460.61810.559X80.9840.93810.4570.6310.322X90.7380.4100.27410.0850.610X100.8470.9840.8850.6290.8920.532由(1.1)得最优权重：W=(0.0950,0.1464,0.1956,0.1114,0.2849,0.1667)再计算方案的综合属性值zi(w)Z(w)=(0.5913,0.7410,0.6071,0.8323,0.6847,0.5894,0.8553,0.7107,0.4210,0.8810)X10X7X4X2X8X5X3X1X6X9三、三、 基于信息商的多属性

20、决策方法基于信息商的多属性决策方法1、 决策方法 熵的概念最初产生于热力学,它被用来描述运动过程中的一种不可逆现象,后来在信息论中用熵来表示事物出现的不确定性.熵值越大,系统的不确定性越大.下面介绍一种基于信息熵的多属性决策方法:步骤1:对于某一多属性决策问题,构造决策矩阵,并利用适当的方法把它规范化为mnijaA)(mnijrR)(步骤2:计算矩阵 ,得到列归一化矩阵 , 其中mnijrR)(mnijrR)(MjNirrrniijijij,1步骤3:计算属性输出的信息熵MjrrnEniijijj,lnln11步骤4:计算属性权重向量 ,其中),.,(21mwwww mkkjjEEw1)1 (

21、1步骤5:计算方案xi的综合属性值zi(w)并进行排序.预备知识预备知识1、互反判断矩阵：、互反判断矩阵：判断矩阵nnijhH)(满足Njihhhhiiiijiij, 0, 1, 1互反判断矩阵主要用在层次分析法中。2、模糊互补判断矩阵：、模糊互补判断矩阵：设模糊矩阵满足nnijbB)(5 . 0, 1iijiijbbb三、对方案有偏好信息的多属性决策方法三、对方案有偏好信息的多属性决策方法1、对方案的偏好信息为互反判断矩阵的情形、对方案的偏好信息为互反判断矩阵的情形对于某一多属于性决策问题，设决策矩阵mnijaA)(属性类型主要有效益型和成本型。为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，决策时需

22、要对A进行规范化处理，并得到规范化矩阵mnijrR)( 设决策者根据互反标度对决策方案 进行两两 比较，并构造互反判断矩阵 。为了使决策信息一致化，利用下列转换函数把所有方案 的综合属性值转化成互反判断矩阵形式 ，其中)(NixinnijhH)()(NixinnijhH)(Njiwrwrwzwzhmkkjkmkkikjiij,)()(11若互反判断矩阵 ，即 ，则有HH Njihhijij,NjiwrwrhNjiwrwrwzwzhmkkikmkkjkijmkkjkmkkikjiij,)()(1111或在此情形下，可直接利用互反判断矩阵的排序方法（如特征向量法）求出矩阵H的排序向量，并依此对方案

23、进行排序和择优。然而，互反判断矩阵 和 之间往往存在着一定的偏差，为此引入线性偏差函数nnijhH)(nnijhH)(Njiwrrhwrwrhwfmkkikjkijmkkikmkkjkijij,)()(111显然，为了得到合理的属性权重向量w，上述偏差值总是越小越好，为此可建立下列优化模型：MjwwtswrrhwfwFjmjjninjmkkikjkijninjij , 0, 1.)()()(min12111112构造拉格朗日函数：12)(),(1mjjwwFwL令)(0MlwLl得到：Mlwrrhrrhkmkninjiljlijikjkij , 0)(112、对方案的偏好信息为模糊互补判断矩阵

24、的情形、对方案的偏好信息为模糊互补判断矩阵的情形 设决策者根据互补标度对决策方案 进行两两 比较，并构造模糊互补判断矩阵 。为了使决策信息一致化，利用下列转换函数把所有方案 的综合属性值转化成互补判断矩阵形式 ，其中nnijbB)(nnijbB)()(Nixi)(NixiNjiwrrwrwrwzwzbkjkmkikmkkjkmkkikjiij,)(1 211 21)()(1 21111易知：0, 5 . 0, 1ijiijiijbbbb一般情况下，模糊互补判断矩阵 和 之间往往存在着一定的偏差，为此引入线性偏差函数nnijbB)(nnijbB)(Njibwrrwrrbbbwfijmkkjkik

25、mkkjkikijjiijij,) 12()(21)(121)(11显然，为了得到合理的属性权重向量w，上述偏差值总是越小越好，为此可建立下列优化模型：MjwwtsbwrrwfwFjmjjninjmkijkjkikninjij , 0, 1.) 12()(41)()(min12111112构造拉格朗日函数：12)(),(1mjjwwFwL令)(0MlwLl得到：Mlrrbwrrrrninjjlilijkmkninjjliljkik ,)(21 ()(111113、对方案的偏好信息为效用值的情形、对方案的偏好信息为效用值的情形 设决策者对方案xi的偏好值以效用值i的形式给出，i0,1,i越接近1

26、，决策者越偏好方案xi。这里把握规范化矩阵 中的属性值rij看成决策者在属性uj下对方案xi的客观偏好值。 由于种种条件的制约，决策者的主观偏好与客观偏好之间往往存在着一定的差距，为了使决策具有合理性，属性权重向量w的选择应使决策者的主观偏好值与客观偏好值（属性值）的总偏差最小化。为此建立下列单目标优化模型：mnijrR)(MjwwtswrwrwFjmjjninjjiijninjjiij, 0, 1.)()()(min11122211解此模型，作拉格朗日函数：nimjjmjjiijwwrwL1112212)(),(求其偏导数，并令01)(02)(2112mjjnijiijlwLMjwrwL解得

27、：Mjrrwmjniiijniiijj,)()(1111212四、基于理想点的多属性决策方法四、基于理想点的多属性决策方法1 决策方法决策方法判断各方案的优劣因此可用下面的方法来越优就，或越远离负理想点也越接近正理想点就越优显然，方案，案）对应于，负理想点（负理想方想方案）对应于，可令正理想点（正理根据规范化矩阵相对应与方案中的行向量矩阵矩阵为决策矩阵及其规范化分别和集合，所确定的属性可能权重为已知的部分权重信息属性的权重向量为，分别为方案集和属性集和题，设对于某一多属性决策问.)0 , 0 , 0() 1 , 1 , 1 (.),(.)()(.),(2121iiimiimnijmnijmxx

28、xRxrrrRrRaAUX(1)由于决策方案xi越接近正理想点就越优,因此,可令方案xi与正理想点之间的加权偏差之和为.,)1 (1)(11Nirremjjijjmjiji对于给定的权重向量w,ei+(w)越小则方案xi越优.于是可建立如下多目标决策模型:. .),(,),(),()(min) 1 . 321tseeeeMn由于每个方案都是公平竞争的,不存在任何偏好关系,因此可将模型(M-3.1)等权集结为如下单目标最优化模型:. .)(min) 3 . 3(. .)()(min)2 . 3(111tsrneMtseeMnimjjijnii即mjjnimjjijimjjijimjjjniiii

29、iimrLLagrangexrfMjtsfFMNieNixNieNie1112121121),1(2)1 (),()(.)1 ()(, 1, 0. .),()(min)4 . 3(.)()()(),)(),(函数建立拉格朗日解此模型，与正理想点之间的偏差表示方案其中单目标最优化模型：可建立下列简单的提供任何权重信息，则特别的，若决策者不能为最优方案的最小值所对应的方案进行排序，方案的值由小到大的顺序对再按把它代入解求解该模型，得到最优.)()()(),)(),()1 .3(,)()(,01,02)1 (22111111111对应的方案为最优方案的最小值所进行排序。到大的顺序对方案的值由小按代入

30、把求得最优解求其偏导数，并令NifNixNifNifMjrnrnLMjrLiiiimniijmjniijjmjjnijijj.)()()(),)(),(. .,)(max)6 . 3(. ., )()(max)5 . 3() 1 ()(,0)()2(2111111为最优方案的最大值所对应的方案（进行排序，方案的值由大到小的顺序对（再按（把它代入解求解该模型，得到最优即化决策模型：可建立如下单目标最优中的讨论，越优。于是根据类似越大则方案对于给定的权重向量加权偏差和为与负理想点之间的，因此，可令方案越远离负理想点就越优由于方案NieNixNieNietsreMtseeMxeNirrexxiiii

31、mnimjjijniiiimjjijmjjijiii高地作为防御要点？个。问我指挥员应选择哪的数据如表对各高地分析后采集到高程差坡度，内瞰制高地的个数）；在瞰制高地个数（某高地火力控制距离，通视率，通常有：主要地形因素（属性）响某一高地成为要点的可被选为防御要点，影方案个高地有方向保持一致的情况下御，在同上级主要防御奉命在肖山地域组织防员要。我坦克第一营指挥防御战斗的胜利至关重正确地选择要点对确保。在防御战斗中，起支柱作用的重要地点防御要点是防御地区内例1 . 3.)21)4 , 3 , 2 , 1()(41 . 354321uukmkmuuuixi2 实例分析实例分析u1u2u3u4u5X1

32、X2X3X40.370.580.520.4318002800350019002553192832279010513098步骤1 虽然上述各因素均为效益型，但量纲不一致，将决策矩阵转化为规范化矩阵R，如下表所示：u1u2u3u4u5X1X2X3X40.63791.00000.89660.74140.51430.80001.00000.54290.400001.00001.00000.60000.59380.87501.00000.75380.69230.80771.00000.8438.055. 0)(0054. 0)(0208. 0)(0840. 0)()4 , 3 , 2 , 1)(2215

33、. 02404. 01653. 01446. 02282. 0) 1 . 3(12314234321xxxxxffffifi故最优方案为的方案排序为因此由上述方法所得到，的值：并求得），（式求得属性权重向量为，则利用）若属性权重完全未知（现考虑两种情况：步骤3142343214321515432154321.7067.0)(,9773.0)(,9008.0)(,5755.0)(,2933.0)(,0227.0)(,0992.0)(,4245.0)(:)4, 3 , 2, 1)(),(23.020.020.015.022.0)6 .3()3 .3(,1,23.020.0,25.020.0 ,20

34、.015.0,15.013.0 ,25.015.0|,(2xxxxxeeeeeeeeieeMMiijj故最优方案为的方案排序也均为故由上述两种方法所得并求得），（求得属性权重向量为和模型则利用模型息为）若已知的属性权重信（五、五、 基于方案满意度的多属性决策方法基于方案满意度的多属性决策方法1、决策方法、决策方法.)(. .,)(max)7 . 3(),(1 . 3.)()(,1max121的综合属性正理想值为方案的最优解，则称是单目标优化模型若定义化的决策矩阵分别为决策矩阵及规范和设的属性可能权重集合。的部分权重信息所确定属性的权重向量和已知、分别为方案集、属性集题，设对于某一多属性决策问N

35、ixrztsNirzMrRaAUXimjjijimjjijimmnijmnij优化模型为此可建立如下多目标属性权重向量，属性值必须来自同一个此各个方案的综合准下才能区别出来，因的优劣只有在统一的标方案总是越大越好，但是，来说，其满意度对于每个方案的满意度为方案则称若定义的综合属性负理想值为方案的最优解，则称是单目标优化模型若定义),()(.)()()2 . 3(,)()(3 . 3.)(. .,)(min)8 . 3(),(2 . 321minmaxmin1min121miiiiiiiiiimjjijimjjijimxNixNizzzzNixrztsNirzM.,)(),(. .),()(ma

36、x)10. 3().39(. .),(,),(),()(max)9 . 3(121121即可得到最优方案大小对方案进行排序，按各方案综合属性值的综合属性值为的则各方案优解是设由上述模型求出的最模型：可建立下列单目标优化求解模型了任何偏好关系，因此为是公平竞争的，不存在由于各个决策方案之间NirzxtsMMtsMmjiijiimniin所示据如表属性），各指标原始数其余均为效益型指标（型指标外占用的流动资金为成本）。除了百元工业产值产值利税率（资金（元）百元工业产值占用流动（元）百元销售收入实现利润）资金利税率（人）全员劳动生产率（元其中指标（属性）集为山西河北江西河南湖南湖北山东辽宁广东福建安

37、徽浙江江苏上海天津北京分析，已知方案集为和排序，进行经济效益的评价的统计资料为基础数据主要工业经济效益指标省和直辖市年提供的全国统计年鉴我们以中国工业经济例3 . 3%,%,/,(;,1619932 . 354321543211621uuuuuuuuuuUxxxXu1u2u3u4u5X14717716.618.8931.0515.77X2433239.083.6529.808.44X35902313.846.0626.5512.87X44682110.593.5122.467.41X54164613.244.6424.339.332 实例分析实例分析所示，如表规范化，得到矩阵两式将决策矩阵和利

38、用步骤序，具体步骤如下：节的方法求出方案的排下面运用为若已知的属性权重信息4 . 3)3 . 1 ()2 . 1 (11 . 2 . 3,1,17. 016. 0,26. 023. 0 ,17. 015. 0,20. 018. 0 ,24. 022. 0|,(515432154321RAjju1u2u3u4u5X10.7991.0001.0000.7231.000X20.7340.5470.4110.7540.535X31.0000.8330.6820.8460.816X40.7930.6380.3951.0000.470X50.7060.7970.5220.9230.592X60.4480.

39、6120.2680.8380.625X70.6500.7210.5390.8490.675X80.9790.6200.5110.9770.585497. 0,517. 0,466. 0,535. 0534. 0,588. 0,588. 0,485. 0722. 0,657. 0,542. 0,684. 0654. 0,797. 0,581. 0,704. 0534. 0,555. 0,502. 0,575. 0576. 0,631. 0,633. 0,522. 0777. 0,890. 0,585. 0,735. 0706. 0,851. 0,623. 0,890. 0)16, 2 , 1()

40、16, 2 , 1()16, 2 , 1()8 . 3()7 . 3(2min16min15min14min13min12min11min10min9min8min7min6min5min4min3min2min1max16max15max14max13max12max11max10max9max8max7max6max5max4max3max2max1minmaxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzizizixMMiii综合属性负理想值和的综合属性正理想值分别求得方案和由模型步骤1491615131262101147583116151413121110987654

41、321515432154321)16, 2 , 1( )(45318. 0)(,5552. 0)(,5020. 0)(,5750. 0)(5757. 0)(,6309. 0)(,6308. 0)(,5212. 0)(7695. 0)(,7035. 0)(,5853. 0)(,7336. 0)(7012. 0)(,8476. 0)(,6195. 0)(,8838. 0)(17. 026. 015. 020. 022. 01,17. 016. 0 ,26. 023. 0,17. 015. 0 ,20. 018. 0 ,24. 022. 0. .,477. 0473. 0584. 0339. 046

42、6. 0464. 0)(max)10. 3()2 . 3(3xxxxxxxxxxxxxxxxizzzzzzzzzzzzzzzzztsMijj得到各方案的排序：值从大到小的顺序排列按步骤（属性）指分别为因此各方案的综合指标）。，（解为求解该模型，得到最优：建立如下目标优化模型进而利用模型求出各方案的满意度，式由步骤六、基于方差最大化模型的多属性决策方法六、基于方差最大化模型的多属性决策方法、决策方法、决策方法ninkjkjijmjniijmjjmjjjninjjkjijniijjnkjkjijijjirruMjrrMjNirrux1121111112112,)()()()(.5 . 1.)(,)

43、()()(.,)()(为此可构造偏差函数总偏差最大的选择应使所有方案的权重向量节中的分析，根据案的总偏差表示所有方案与其他方而言，对属性的偏差可定义为下与其他所有决策方案在属性题，决策方案对于某一多属性决策问序。列，即得到各方案的排的值从大到小的顺序排按步骤性值式求得各方案的综合属由步骤求得最优权重向量由单目标决策模型步骤。属性权重信息由专家提供可能的部分步骤其相应的规范化矩阵为得到决策矩阵下的属性值为在属性题，设方案对于某一多属性决策问步骤算法：综上所述，可得到如下。重向量型，将得到最优属性权解此简单的线性规划模划问题：等价于求解如下线性规因而求解权重向量)(5).)()12. 1 (4)1

44、1. 3(32.)()(1. .,)()(max)11. 3(1112NizNizMrRaAauxtsrrMiimnijmnijijjimjninkjkjij。所示，试确定最优方案决策矩阵如表属性权重信息为属性为效益型。已知个属性为成本型，其余占农田这投资额，建井周期和增人）。其中总全员生产率（吨可采年限（年），安全条件（分），万吨），产前各方案可产煤量（年增产量（万吨），增占农田（亩），建井周期（年）总投资额（万元），要有：，评价指标（属性）主个扩建方案，初步提出，为了提高原煤产量，某煤矿界外有丰富储量例5 . 3, 1,22. 009. 0 ,21. 018. 0 , 3 . 02 . 0

45、,12. 007. 0 ,16. 012. 0 ,15. 011. 014. 012. 0 , 2 . 01 . 0| ),(3/)3 , 2 , 1(33 . 3818765432182187654321jjiuuuuuuuuixu1u2u3u4u5u6u7u8X11840031008030060401.2X219600412010040080401.3X3293606540120150100501.52 实例分析实例分析2312321818765432187654321)3 , 2 , 1)(47611. 0)(,8359. 0)(,8085. 0)()12. 1 (309. 018. 0

46、20. 007. 012. 012. 012. 010. 0122. 009. 021. 018. 03 . 02 . 0 ,12. 007. 0 ,16. 012. 0,15. 011. 0 ,14. 012. 0 , 2 . 01 . 0. .,1244. 01600. 04800. 01875. 13333. 02234. 27500. 0486. 0)(max)11. 3(2)3 . 1 ()2 . 1 (11 . 3 . 3xxxxizzzztsMRAijj故最优目标为列即得到方案的排序的值从大到小的顺序排按步骤性值为式求得各目标的综合属由步骤）。，（求得最优权重向量为，可建立下列模

47、型：利用单目标决策模型步骤规范化，得到矩阵两式将决策矩阵和利用步骤序，具体步骤如下：节的方法求出目标的排利用七、部分权重信息下的两阶段多属性决策方法七、部分权重信息下的两阶段多属性决策方法1、 决策方法决策方法),(.,max)12. 3()(.)()()(2)(1)(1imiiiimjijjiiixtsrMNixxz的最优属性权重向量方案解此模型，得到对应于型：建立下列单目标决策模应的各属性权重。为此，其所对的综合属性值取最优时解一下各单个方案先了就越优案值越大，其所对应的方显然，综合属性进行择优，根据方案的综合属性值由于多属性决策一般是WrrzrrrRNirrrrnWnWNiNirRimj

48、ijjinimiiiTnmmmnniimnij12121)()2()1()(2)2(2)1(2)(1)2(1)1(1)()()().,(),)(,(11)3 . 3(,)()()因此则。令条件列向量且满足约束为待定的为组合权重向量，其中到的组合权重向量为个权重向量线性组合得则经组成的矩阵为设权重向量向量。求出属性的最佳协调权及权重向量（下面利用规范化矩阵可以对方案进行排序性值，便式求出各方案的综合属并由（最佳协调权向量），式可求出组合权重向量因此再由为单根，特征向量定理可知：可约矩阵的负定的，则根据非负不是对称非于矩阵是相应的特征向量，由特征值的最大存在，其最大值是根据矩阵理论可知，式得则由。

49、记）（其中：等权的单目标决策问题目标决策模型可转化为偏好，因而上述多属性值事先不存在任何由于对每个方案的综合策模型为此构造如下多目标决合属性值都尽可能大。时，应使所有方案的综在选择权重向量)12. 1 ()3 . 3(. 0)(,)()()()()()()4 . 3(,)()()()(),(),()(,1. .)()(max)14. 3(, 1. .)(),(),(max()13. 3(maxmax2121FrobeniusPerronRWRWRWRWfRWRWzzfzzfRWzzzztszzMtszzzMTTTTTTnTTTn即得到方案排序值从大到小的顺序排列按步骤值式得到各方案综合属性再由

50、最佳协调权向量）。式求出组合权重向量（由步骤（已归一化）及特征向量的最大特征值矩阵，并计算组成矩阵个权重向量由步骤最优权重向量的求得对应于方案由单目标决策模型步骤。信息由专家提供属性的权重步骤为其相应的规范化矩阵，则得到决策矩阵属性值为下的在属性问题，方案设对于某一多属性决策步骤法：综上所述，可得以下算)(6)()12. 1 () 3 . 3(5,)()(4.),()12. 3(32.)(,)(1max)()()(2)(1)(NizNizRWRWWNinNixMrRaAauxiiTiimiiiimnijmnijijji2、实例分析、实例分析，较易损；位置较精确，通视困难，正向前沿机动，目标高地

51、发现敌反坦克炮连：在）敌目标（，通视困难，较易损；不大，目标位置较精确威胁正向我三连阵地射击，高地发现敌自行炮连，：在）敌目标（难易损；糊，目标位置精确，通视模高地发现敌团指挥所，：在）敌目标（损；精确，通视良好，较易损失较大，目标位置较射击，高地敌自行炮连的猛烈，遭：团二梯队在开进途中敌目标通视良好易损目标位置精确高地发现敌集结坦克连在）敌目标（确，通视良好，易损。前进受阻，目标位置明点猛烈射击，高地冲击时，遭敌支撑我步兵二连在向敌）敌目标（个目标的情况如下：先后顺序，的并且确定对敌目标攻击评估个敌目标（方案）进行现需要对这报，个敌目标并获得一些情前发现了某团炮兵群在进攻战斗例7065856

52、6475)3(,69:280:16,664 . 3654321xxxxxx所示：如表，情况，得到决策矩阵为参考因素，针对上述把射击指挥的干预性作射击任务的一致性目标程度的易损性目标位置的通视性目标资料的可靠性；射击的紧迫性；目标的重要性；个因素（属性）：下列实际情况，着重考虑了作战指挥员根据当时的7 . 3;6654321Auuuuuuu1u2u3u4u5u6X1799977X2777759X3897769X4867526X5877059X6507168616543216211, 5 . 00, 2 . 008. 0 ,25. 01 . 0 , 2 . 013. 0, 3 . 02 . 0 ,

53、 5 . 04 . 0| ),()6 , 2 , 1(jjjju知属性权重信息为权重不能完全确定。已近越优的固定型，因素任务的一致性属于越接型（成本型），而射击的易损性属于越小越好（效益型），目标程度通视性属于越大越优型靠性、目标位置的紧迫性、目标资料的可目标的重要性、射击的所示，如表得到矩阵规范化三式将决策矩阵利用步骤序，具体步骤如下：节的方法求出目标的排用8 . 3)4 . 1)( 3 . 1 (), 2 . 1 (11 . 4 . 3RA的最优属性权重向量解此模型得对应于方案建立下列模型：利用单目标决策模型对于方案步骤6165432165432111, 5 . 00 , 2 . 008.

54、 0 ,25. 01 . 0, 2 . 013. 0 , 3 . 02 . 0 , 5 . 04 . 0. .0667. 0max)12. 3(,2jjtsMxu1u2u3u4u5u6X12/311101X22/37/907/92/50X31107/91/50X415/905/91X517/9002/50X60001/91/51/2)0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 ,49. 0(),();0 ,08. 0 ,12. 0 , 2 . 0 , 2 . 0 , 4 . 0(),();0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 ,49. 0(),()

55、;0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 ,49. 0(),();0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 ,49. 0(),()6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1()09. 0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 , 4 . 0(),()6(6)6(5)6(4)6(3)6(2)6(1)6()5(6)5(5)5(4)5(3)5(2)5(1)5()4(6)4(5)4(4)4(3)4(2)4(1)4()3(6)3(5)3(4)3(3)3(2)3(1)3(2(6)2(5)2(4)2(3)2(2)2(1)2()1(6)1(5

56、)1(4)1(3)1(2)1(1)1(）最优目标权重向量为决策模型并求得相应的，可分别建立单目标类似地，对于方案ixi)159. 0 ,168. 0 ,172. 0 ,172. 0 ,170. 0 ,159. 0(,522.14214. 2301. 2387. 2355. 2355. 2214. 2301. 2398. 2566. 2566. 2454. 2301. 2387. 2486. 2583. 2583. 2549. 2387. 2387. 2486. 2583. 2583. 2549. 2387. 2355. 2454. 2549. 2549. 2516. 2355. 2214. 2

57、301. 2387. 2387. 2355. 2214. 2)(,)(09. 0000009. 008. 008. 008. 008. 008. 008. 01 . 019. 01 . 01 . 01 . 01 . 013. 013. 013. 013. 013. 013. 02 . 02 . 02 . 02 . 029. 02 . 04 . 04 . 049. 049. 04 . 04 . 0)6 , 2 , 1(3maxmax)(分别为：及特征向量其最大特征值得计算矩阵组成矩阵向量步骤TTiRWRWRWRWWi1625431654321)6 , 2 , 1)(5,043. 0)(,630.

58、 0)(,709. 0)(,751. 0)(,576. 0)(,776. 0)()12. 1 (029. 0080. 0115. 0130. 0215. 0431. 0)3 . 3(4xxxxxxxizzzzzzzi故最优方案为方案的排序，得即得到值从小到大的顺序排列按步骤值分别为式得到各方案综合属性再由）；，（归一化处理得：佳协调权向量）并进行式求出组合权向量（最由步骤八、基于线性目标规划模型的多属性决策方法八、基于线性目标规划模型的多属性决策方法1、 模型模型)6 . 3(.,)5 . 3(,)()()()12. 1 ()(., 0, 1, 1,)()().0()(),0()(. 1111

59、1NjirrhNjirrzzhhHNixNjihhhhhHNixrrRaaAmkkikmkkjkijmkkjkmkkikjiijnnijiijiijiijnnijiijmnijijmnij即，其中互反判断矩阵形式式计算）转化成的综合属性值（利用所有方案，我们把为了使决策信息一致化其中互反判断矩阵进行两两比较，并构造方案决策者根据互反标度对其规范化矩阵为题，设决策矩阵为对于某一多属性决策问给出的情形息以互反判断矩阵形式决策者对方案的偏好信划模型：转化为下列线性目标规模型，可将希望达到的期望值为数竞争的，且每个目标函数是公平，并考虑到所有目标函为了求解模型：下列多目标最优化模型越小越好，为此可构造

60、函数值总是性权重向量，上述偏差显然为了得到合理的属此引入偏差函数存在着一定的偏差，为之间往往和矩阵一般情况下，互反判断)15. 3(0)15. 3(. .,)(min)15. 3()7 . 3(,)()()(11MfMtsNjirrhfMNjirrhfaHaHijmkkikjkijijmkkikjkijijnnijnnij序和择优。便可依此对方案进行排值，式求得各方案综合属性，并由权重向量即可得属性的型的权系数。通过求解模和分别是和的下偏差变量；底于期望值是的上偏差变量；高于期望值是其中)12. 1 ()16. 3(0)(0)(, 0, 0, 0)(. .),(min)16. 3(11111M