第五节 曲线的曲率 - 荆州职业技术学院精品课程网

1、上页上页下页下页返回返回第 1 页第五节第五节 曲线的曲率曲线的曲率一、一、 弧微分弧微分二、二、 曲率的概念曲率的概念三、三、 曲率的计算公式曲率的计算公式四、四、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 2 页一、弧微分一、弧微分RxA0 xMxTdxx 为度量弧长起点上取固定点在曲线Axfy)(xyo)(s,),(xssxAMsyxM记为的单调函数是假定弧长表示为任意一点目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导ydyN,0时时当当 xsMN

2、sdsMNMN 上页上页下页下页返回返回第 3 页如图，如图，,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy .12dxyds 故故,)(为单调增函数为单调增函数xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导RxA0 xMxTdxx xyoydyN上页上页下页下页返回返回第 4 页例例1求抛物线求抛物线4322 xxy的弧微分的弧微分解解由弧微分公式得由弧微分公式得dsdxdxdy2)(1 dxx2)34(1 dxxx1024162

3、目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 5 页二、曲率的概念二、曲率的概念曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1.曲率的定义曲率的定义1 )目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 6 页) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均

4、曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 7 页注意注意:(1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上

5、页上页下页下页返回返回第 8 页三、曲率的计算公式三、曲率的计算公式,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,arctany 有有,12dxyyd .12dxyds .)1(232yyk 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 9 页,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 10 页

6、例例2 2?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最最大大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 11 页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往

7、往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例3 3目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 12 页.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyoR),(00yxA)0

8、 ,(0 xCl目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 13 页xyoR),(00yxA)0 ,(0 xC证证如图如图的的负负半半轴轴表表示示直直道道，x.,是是圆圆弧弧轨轨道道是是缓缓冲冲段段 ABOA（在缓冲段上在缓冲段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx处处在在. 00 k故故缓缓冲冲始始点点的的曲曲率率实际要求实际要求,0 xl l目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 14 页20210 xRlyxx 有有221lRl

9、,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的曲率为的曲率为故在终端故在终端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次项略去二次项xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 15 页四、曲率圆与曲率半径四、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的

10、曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 16 页1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越

11、弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 17 页例例4 4xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy解解如图如图,受力分析受力分析,PQF 视飞行员在点视飞行员在点

12、o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 18 页002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千克千克牛牛 ),(4 .571)(70千克力千克力千克力千克力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 19 页小结：小结：运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导上页上页下页下页返回返回第 20 页目录目录后退后退主主页页退退出出本节的学习目的与要求本节的学习目的与要求 本节知识引入本节目的