贝叶斯定理以及有条件的期望

1、贝叶斯定理以及应用条件概率 所谓条件概率，是指某事件B发生的条件下，求另一事件A的概率，记为 若 ，则 若 ，则BAP 0BP BAPBPABP0A.AAP1n21 n21n213121n1A.AAAP.AAAPAAPAPA.AP全概率公式 设 是样本空间的一个分割，即 互不相容，且 ，如果 则 21B,BnB21B,BnBUn1iiBn1iiiBAPBPAPn,.,2 , 1i ,0BPi贝叶斯定理(Bayes rule ) 设 是样本空间的一个分割，即 互不相容，且 ，如果 则 21B,BnB21B,BnBUn1iiB n,.,2 , 1i , 0BP,0APin,.,2 , 1i ,BA

2、PBPBAPBPABPn1jjjiii贝叶斯定理的证明由条件概率的定义对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式即得 APABPABPiiiiiBAPBPABP n1jjjBAPBPAPn,.,2 , 1i ,BAPBPBAPBPABPn1jjjiii贝叶斯定理的实例 伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放 羊，山里有狼出没。第一天，他在山上喊“狼来了，狼来了”，山下的村名闻声便去打狼，可到山上，发现狼没来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他。 首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”。不妨假设村民过去对这

3、个小孩的印象为 第一次村民山上打狼，发现狼没来，即小孩说了谎(A)，村民根据这个信息，对这个小孩的可信程度改变为 这表明村民上了一次当之后，对这个小孩的可信程度由原来的0.8调整为0.444，在此基础上调整 8 . 0BP 2 . 0BP 444. 05 . 02 . 01 . 08 . 01 . 08 . 0BAPBPBAPBPBAPBPABP 556. 0BP 444. 0BP1 . 0BAP5.0BAP 根据调整后的信息，我们再一次运用贝叶斯公式来计算 亦即这个小孩第二次说谎后，村民对他的可信程度改变为 这表明村民们经过两次上当，对这个小孩的可信程度已经从0.8下降到了0.138。ABP

4、138. 05 . 0556. 01 . 0444. 01 . 0444. 0ABPGiving Gifts 有两个players，其中player1要送个player2一个生日礼物，player1有两个选择，GT(game theory)和ST(star trek)，而player2更加偏好GT，但是player2在收到礼物之前并不知道player1要送给他什么。策略方式可以得出(GG,N)和(NN,N)均为一个纳什均衡Updated Belief 在上面这个例子中，p为player2的initial belief(期望收到的书为GT的概率)，q为player2的conditional be

5、lief(updated belief，即他已经收到GT的时候对这个礼物接受的概率) 举例说明updated belief，假设player2预料到player1的策略是NG，那么player2就会updated belief并且做出接受礼物的决策，获得效用为1。当然如果player2预料player1的策略是GG，那么player2的updated belief和之前没有什么区别，因为他还是不确定player1到底要送什么，即player1s behavior是什么。Seltens Game 纳什均衡为（D,L）和（U，R） 但是对于（U，R）这个均衡存在某些”问题“，如果到达player2

6、的information set，那么对于他来说肯定会选择L 但是player2会有一个threat给player1，因为他希望player1直接选择U，不用进行到第二步，但是player1考虑到策略（D,L）会给自己带来更大的利益，所有(U,R)是不合理的，因为它依靠的是player2一个incredible threat。Seltens Game的扩展假设 ， 对于player1的expected payoff如果是从player2的information set开始，player1的payoff5 . 0 , 5 . 0232,311同理，我们可得player2的payoff 那么player2如何利用这个beliefs来达到最佳选择呢？ 只要player1选择了D，那么player2必然会选择L。但player2更希望player1选择U，这时候player1的决策会影响到player2