第6章正弦平面电磁波在无界空间中的传播

1、第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 第六章 平面电磁波 6.1 正弦电磁场正弦电磁场6.2 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波6.3 电磁波的极化电磁波的极化6.4 媒质的损耗及分类媒质的损耗及分类6.5 波在有耗媒质中的传播波在有耗媒质中的传播6.6 电磁波的群速与色散失真电磁波的群速与色散失真第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.1 6.1 正弦电磁场正弦电磁场 在直角坐标系中，正弦电磁场的电场和磁场分量可以写成),(cos),(),(zyxtzyxEatzyxExxmx),(cos),(zyxtzyxEayymy),(cos),(zyxtzyxEazzmz),(c

2、os),(),(zyxtzyxHatzyxHxxmx),(cos),(zyxtzyxHayymy),(cos),(zyxtzyxHazzmz（6.1.1a）（6.1.1b）6.1.1 正弦电场、磁场强度的复数表示方法正弦电场、磁场强度的复数表示方法 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 正弦电磁场可用欧拉公式 将其表示为复数矢量形式。以电场强度为例，电场强度的各分量分别可表为其中 xjxejxsincos)Re(Re),(cos)(tjxmtjxmxxmxeEeEzyxtEEx)Re(Re),cos)(tjymtjymyymyeEeEzyxtEEy)Re(Re),(cos)(tjzmtjz

3、mzzmzeEeEzyxtEEzxjxmxmeEEyjymymeEEzjzmzmeEE 分别称为各分量振幅的相量，它的模和相角都是空间坐标的函数，因此 )Re(),(tjzmzymyxmxeEaEaEatzyzE)Re(tjeEzmzymyxmxEaEaEaE6.1.26.1.36.1.4称为电场强度复矢量电场强度复矢量，它含有各分量的振幅和初相两大要素。电场强度复矢量是一个为简化正弦场计算的表示符号，一般不能用三维空间中一个矢量来表示，也不能写成指数形式。其中 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 电场强度复矢量对时间的微分和积分可表示为 电场强度复矢量的散度和旋度可表示为 )Re()(

4、Re)Re(tjmtjmtjmeEjeEteEttEtjmtjmtjmeEjdteEdteEdtE1ReRe)Re()Re()Re(tjmtjmeEeEE)Re()Re(tjmtjmeEeEE同样，其它的正弦场矢量可用相应的复矢量表示，正弦源 和 也可表为 J)Re(tjmeJJ)Re(tje 6.1.86.1.76.1.66.1.5第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 例6.1.1 将下列场矢量的瞬时值改写为复数；将场的复矢量写为瞬时值。 解：（1）因为 是偶函数，则 )cos(cos)sin(sin00tkzaxHatkzaxakHaHzxsin0)coscos(sin2jkzxmek

5、xEjE(1)(2)cos(tkz)cos()cos(kzttkz)2cos()2cos()sin(kzttkztkzjkzzjjkzxmeaxHaeaxakHaHcossin02/0zmzxmxHaHa而故第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 （2）因为 sin0)coscos(sin2jkzxmekxEjE)2/sin(0)coscos(sin2kzjekxE)2sincos()coscos(sin20kztkxEEx故第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.1.2 麦克斯韦方程组的复数形式麦克斯韦方程组的复数形式 在正弦稳态电磁场中，如果场和源都用相应的复矢量和复数表示，则麦克

6、斯韦方程组可表为Re)Re()Re(tjmtjmtjmeDjeJeHRe)Re(tjmtjmeBjeE0)Re(tjmeB)Re()Re(tjtjmeeD第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 去掉时间因子ejt，再考虑到取实部的运算和对空间坐标的运算可交换秩序，因此，麦克斯韦方程组可简化为通常我们将场的复矢量上面的点去掉，于是麦克斯韦方程组的复数形式可简写成mmmDjJHmmBjE0mBmDDjJHBjE0B D（6.1.10a） （6.1.9b） （6.1.9c） （6.1.9d） （6.1.10b） （6.1.9a） （6.1.10c） （6.1.10d） 第六章 正弦平面电磁波在无界

7、空间中的传播 麦克斯韦方程组的复数形式对求解正弦电磁场具有十分重要的意义。对于正弦电磁场的求解，我们可根据给出的源写出其复矢量和复数，然后利用麦克斯韦方程组的复数形式求出场的复矢量，再由电磁场的复矢量写出电磁场的正弦表达式。例6.1.2 在真空中，已知正弦电磁波的电场分量为 )sin(10),(3ztatzEy求波的磁场分量 ),(tzH解：先将波的电场分量写成复矢量，即 ，将其代入复矢量的麦克斯韦方程： 可得)(310ztjyejEHjE0zEjaEjHyx001第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 将 将上式展开取实部得 )(310ztjyejE代入上式可得 )(3010ztjxeja

8、H)sin(10),(30ztatzHx第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.1.3 正弦场中的坡印廷定理正弦场中的坡印廷定理 正弦场中，电场和磁场分别用复矢量 和 表示，用 和 分别表示 和 的共轭复数，并设介质的介电常数为 ，导磁率为 ，导电率为 。由恒等式EH*E*HEH jc jc*)(HEEHHEHjEc*EEjHc*)(EEEEjHHjHEcc和麦克斯韦方程 得上式采用的振幅复矢量，为了得到平均功率的有效值，对上式等式两端x(-1/2)得 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 为穿过单位表面的无功功率 为穿过单位表面的平均功率 *212121)(21EEEEjHHjHE

9、cc)21Im()21Re(21*HEjHEHESav)21Re(*HES平均)21Im(*HEQ平均其中，等式左端为复数的坡印廷矢量 ，它可以写为S等式右端各项分别为： 与磁介质有关的项 22 *2121)(2121HjHHHjHHjc与电介质有关的项 22 *2121)(2121HjEEEjEEjc(6.1.11) (6.1.12) (6.1.13) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 第三项为导电媒质的焦耳损耗 将式(6.1.12)和式(6.1.13)以及导电媒质的焦耳损耗带入式(6.1.11)，并对研究的区域积分。应用散度定理将等式左边的体积分变为面积分得221EPTdEHjdH

10、EEsdHEs)2121()212121(21222 2 2*dwwjdPPPsdSemTems)(2)(平均平均或241Hwm平均241Ewe平均为磁场能量密度的平均值 为电场能量密度的平均值 上式便是正弦电磁场的坡印廷定理。 (6.1.14) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 例6.1.3 如图6.1.1所示，同轴线的内外半径分别为a和b，同轴线中填充空气，内导体上流过的电流为 ，内外导体间的电压为 ，试用坡印廷矢量求同轴线的传输功率。解：由安培环路定律可求出同轴线中的磁场分布为 )(0ztjeII)(0ztjeVV)(02ztjerIaH再由麦克斯韦方程 可得 EjH0)(000

11、21ztjrerIaHjE00 k故)(0002ztjrerIaE第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 同轴线中的坡印廷矢量为 于是，同轴线传输的总功率为： 2000*221)Re(21rIaHEszavabIrdrdrISdHEPsbaln4221)Re(210020220000* 由电压与电场强度的关系 )(0)(000ln2ztjztjbareVeabIdrEV于是有 abIVln20000因此同轴线传输的总功率又可表示为 0021VIP 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.1.1 同轴线的传输功率 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.1.4 亥姆霍兹方程亥姆霍

12、兹方程 对于无源区域中的正弦电磁场，如果场量用相应的复矢量表示，再考虑到 EEjtE2222)(HHjtH2222)(于是得到正弦电磁场波动方程的复数形式 022EkE022HkH22k称为正弦电磁波的波数波数，波动方程式(6.1.15)和式(6.1.16)称为正弦电磁场波动方程的复数形式，也称为亥姆霍兹方亥姆霍兹方程程。 (6.1.15) (6.1.16) (6.1.17) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 例6.1.4 在自由空间中，验证正弦电磁波的电场分量 是 亥姆霍兹方程式(6.1.15)的解，其中k=00；若正弦电磁波的角频率为 =106rad/s，当波用时间t1前进/8时，

13、画出在t=0和t=t1时的波形；若波的角频率变为 =2* 106rad/s ，再画出在t=0和t=t1时的波形。解：矢量亥姆霍兹方程式(6.1.15)在直角坐标系中可分 解为三个标量亥姆霍兹方程，即)sin(10tkzaEy022xxEkE022yyEkE022zzEkE)sin(10tkzEy)2(10kztjyeE写成02222222yyyyEkzEyExE代入亥姆赫兹方程第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 可验证波的电场分量 是亥姆霍兹方程的解，即 是一个正弦波函数。 现考查相位为 的波阵面，其位置为z，波阵面移动的速度为 E)sin(10tkzaEytkzcsmkdtdzvp/1

14、031800/2T481Ttmtvp2361041038681在一个周期 波前进距离 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 在图6.1.2（a）中分别画出了在和时的波形。当频率增加一倍时，波长是前者的一半，相移常数是前者的两倍，而波阵面移动的速度不变，在t=t1时刻波仍前进了236m，但现在为/4，如图6.1.2 (b)所示。 图6.1.2 t=0和t=t1时的波形 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.2 6.2 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波 线性均匀各向同性无耗的介质称为理想介质。自由空间可近似视为理想介质。这一节我们讨论均匀平面波在充满理想介质的无界空间中的传

15、播规律 6.2.1 6.2.1 均匀平面波的波动方程及其解均匀平面波的波动方程及其解 平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场 和磁场 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内 和 的方向、振幅和相位不变的平面波。一般说来，大多数源辐射的电磁波为球面波。但当我们远离波源观察球面上的一小部分波时，由于半径足够大，球面上的一小片面积可以视为平面，在此小平面内的波可视为平面波。因此，对平面波的讨论具有十分重要的工程意义。 EHEH第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 这里我们讨论的是波在理想介质中的传播问题，所以， 。 在直角坐标系中，正弦稳态电磁波满足的复矢量方程为下面我们来求解波的电

16、场和磁场。由于波的电场和磁场受麦克斯韦方程约束，所以只需求解电场或磁场分量。假定均匀平面波向z方向传播，且电场只有x分量，由于波阵面为与面平行的xoy平面。按均匀平面波的定义有：0J002222222EkzEyExE02222222HkzHyHxH022xEx022yEx(6.2.1) (6.2.2) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 因此，向z方向传播的均匀平面波电场Ex满足的波动方程可简化为其相量解为 0222xxEkzEjkzmjkzmxeEeEE)()(kztjmkztjmxeEeEERe),()()(kztjmkztjmxeEeEtzE)cos()cos(kztEkztEmm

17、为了求出Ex瞬时解，下面给出的指数形式 将式(6.2.4)展开并取实部得 (6.2.4) (6.2.3) (6.2.5) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 若将式(6.2.5)中的第一项记为 第二项记为 )cos(kztEEmx)cos(kztEEmx下面我们先讨论第一项的物理意义。如果我们令 ，也就是考察相位为C的波阵面，此波阵面的位置由z给出。此波阵面的移动速度为Ckztkvdtdzp故方程(6.2.3)的解只取第一项。因此 )cos(),(kztEtzEmx(6.2.7) (6.2.6) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.2.1几个不同时刻的Ex的波形 第六章 正弦

18、平面电磁波在无界空间中的传播 6.2.2 6.2.2 均匀平面波的传播特性均匀平面波的传播特性 则波的相速度k代入相速公式得 1kvpmH /10470mF /1094190smvp/1031800为光速。由于电场解是一个周期为2的正弦函数，因此波的周期为T=2/ ，频率为f=/2 ，而我们通常又称为波的角频率=2f 。(6.2.9) (6.2.8) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 波在一个周期中传播的距离称为波的波长波在一个周期中传播的距离称为波的波长，用表示。波长与频率、相速的关系为kfTvp221 图6.2.2 正弦平面波的相速、波长的关系 (6.2.10) 第六章 正弦平面电

19、磁波在无界空间中的传播 由式(6.2.10)可得 k可以理解为使相位改变2所需移动的波长数，通常称为波数波数。而我们又将波移动单位距离时相位的改变称为波的相位常数相位常数并记为，这里显然有 = 2 /。所以正弦平面波的又可写成2k)cos(),(ztEtzEmxzEajEzyxaaajHxyxzyx1001HjE根据可得 (6.2.12) (6.2.11) (6.2.13) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 于是 其时域（瞬时值）表示为 xjkzmjkzmyEeEeEkH0zxHH)cos(kztEaHmy由此可见，磁场与电场同相，电场与磁场的振幅比为 yxHE称为媒质的本征阻抗本征阻

20、抗。在自由空间中 377120000磁场与电场的矢量关系为 EaHz1(6.2.15) (6.2.14) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 坡印廷矢量为 电场能量密度为 22*)(1)(mzmzEaEkaHES22Ewe磁场能量密度为 22Hwm且电场能量密度与磁场能量密度满足关系 emwEEHw222222(6.2.16) (6.2.17) (6.2.18) (6.2.19) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.2.3 理想介质中均匀平面波的电场和磁场分布 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 例6.2.1 频率为100MHz的正弦均匀平面电磁波在各向同性均匀理想介质

21、中沿(+z)方向传播，介质的特性参数为r=4、 r=1。设电场只有x方向的分量，即 ；当 时，电场等于其振幅值10-4V/m，试求：（1）、该正弦电磁波的 和 ；（2）、该正弦电磁波的传播速度；（3）、该正弦电磁波的平均坡印廷矢量。 解：各向同性的均匀理想介质中沿(+z)方向传播的正弦均匀平面电磁波可由标准的余弦函数来表示，即xxEaEmzt81, 0),(tzE),(tzH)cos(),(ztEtzEm而波的电场分量是沿x方向的，因此，波的电场分量可写成： x)cos(),(xmxztEatzE第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 上式中故mVEm/104mradfk/342101002

22、4200600而mzt81, 04100 ,81mxEE由0 xztradzx68164mVztatzEx/)634102cos(10),(84mAztaEaHatzHyxyyy/)634102cos(10601),(84第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 波的传播速度为 故波的平均坡印廷矢量为 smv/105 . 121034118800波的电场和磁场分量的复矢量可写成： )634(410zjxeaE)634(46010jyeaH)634(4)634(4*601010Re(21)Re(21zjyzjxeaeaHEs28/12010mWaz第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.3

23、 6.3 电磁波的极化电磁波的极化 在电磁场工程中，了解电磁波的电场的取向对天线有效接收电磁波是十分重要的。无界空间中传播的平面电磁波的电场和磁场总是垂直于波的传播方向的，这样的波我们称为横电磁波，也称为TEM波。一般情况下平面波的电场有两个分量，如Ex和 ，其合成电场在空间任一点的大小和方向是随时间变化的。我们将电磁波的电场强度在空间中的大小和方向随时间的变化方式称为电磁波的极化。如我们上节讨论的平面波中 ，而只有Ex分量，这样的波称为极化波，或波在方向极化。波的极化分为直线极化、圆极化和椭圆极化三种情况。下面我们就每种情况分别进行讨论。yE0yE第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6

24、.3.1 6.3.1 线极化波线极化波 若电场的两分量相位相同，则两电场分量可表示为 tEExmxcostEEymycos其合成电场强度为 tEaEatEatEaEymyxmxymyxmxcos)(coscos或写成 tEEmcos其中： ymyxmxmEaEaE 由此可见，随着时间变化合成电场总是沿着矢 量决定的直线移动。即箭点轨迹为一条直线移动。如图6.3.1所示。同样，相位差为的两电场分量合成也可得到相同的结论。因此，我们将这样的极化称为波的线极化，将电场沿着一条直线移动的波称为线极化波。mE第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.3.1 线极化波 第六章 正弦平面电磁波在无界空

25、间中的传播 6.3.2 6.3.2 波的圆极化波的圆极化 如果电场的EX分量与EY分量振幅相等，但相位相差/2或3/2 ，这样的两个电场分量的合成电场为圆极化。下面以相位相差/2的两个电场分量的合成为例来说明。设两振幅相等、相位相差/2的两个电场分量可表示为tEEmxcostEEmysintEatEaEmymxsincos其合成电场为 这是一个幅值为Em，以幅角t逆时针旋转的矢量，其箭点扫过的轨迹为一个半径为的圆，如图6.3.2所示。所以称这样的波为圆极化波。mEtmE第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.3.2 圆极化波 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 如果两电场分量可表

26、示为 其合成电场为 tEEmxcostEEmysintEatEaEmymxsincos 这是一个幅值为 ，以幅角 顺时针旋转的矢量，这也是圆极化波。在工程上，我们还用左旋或右旋来说明圆极化波中电场矢量的旋转方向。如果我们面向电磁波传去的方向，电场矢量是顺时针方向旋转的，这样极化的波我们称为右旋极化波。如果电场矢量是逆时针方向旋转的，这样极化的波我们称为左旋极化波。如果波沿Z反向传播，则上述第一个波为右旋极化波，第二个波为左旋极化波，如图6.3.3所示。mEt第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.3.3 不同旋转方向的圆极化波第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.3.2 6.3

27、.2 波的椭圆极化波的椭圆极化 如果电场的EX分量与EY分量振幅和相位都不相等 tEExmxcos)cos(tEEymy这样的两个电场分量的合成电场为 )cos(costEatEaEymyxmx消去时间变量t得 22222sincos2ymxmyxymyxmxEEEEEEEE这是一个椭圆方程，合成电场的矢量箭头在一椭圆轨迹上旋转，如图6.3.4所示。因此我们称这种极化的波为椭圆极化波。第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.3.4 椭圆极化波 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 当0时，它逆时针方向旋转；当时 0，它顺时针方向旋转。同样我们也可以将它分为右旋极化的椭圆波和左旋极化

28、的椭圆波。 例6.3.1 试证明等幅的左旋圆极化波及右旋圆极化波合成一个线极化波 证明：设电磁波是沿方向z传播的，则左旋圆极化波和右旋圆极化波分别可表示为左旋圆极化波： )(0)(kztjyxeEa ja右旋圆极化波： )(0)(kztjyxeEa ja将两波相加得： )(0)(0)(0)2()()(kztjxkztjyxkztjyxeEaeEa jaeEa jaE因此，该迭加波为一个线极化波。 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.4 6.4 媒质的损耗及分类媒质的损耗及分类 波在理想介质中传播的最大特点是没有损耗，这是因为理想介质是一种无耗媒质。也就是说，在理想介质中不发生能量的不

29、可逆过程。如当电磁波的电场增强时，介质从电场获得能量；而当电场减弱时，介质放出能量。 实际的媒质都是有耗媒质。媒质的损耗分为介质损耗和焦耳损耗两大类。焦耳损耗是指由于媒质的电导率0（ ，即媒质也不是理想），而在媒质中存在传导电流 ，此传导电流在媒质电阻上的损耗。介质损耗是指构成介质的电偶极子或磁偶极子在高频电磁场作用下发生旋转，并不断与晶格发生碰撞，将电磁能量转换为热能而引起的电磁波能量损耗。实际上，介质损耗的机理十分复杂，已不属于本课程研究的范畴。这里仅讨论媒质损耗功率的计算和分类。 EJ第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 在导电媒质（ 0 ）中，媒质的损耗主要为焦耳损耗。电磁波在单位

30、体积内的焦耳损耗功率为6.4.1 6.4.1 媒质的损耗功率计算媒质的损耗功率计算 22*2121Re21ReEEJEp理想介质的介电常数是一个实常数 ，理想介质中不存在传导电流，而只有位移电流 。因此，电磁波在单位体积理想介质中的功率EjJd2*2121EjJEpd为一虚功率，这说明电磁波在理想介质中无损耗。对于实际的有耗介质，表示介质特性的参数显然应该是复数。第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 即对电介质来说，介电常数应该为对磁介质来说，磁导率应该写成 jc jc因为只有这样，电磁波在有耗介质中的功率才有实部。高频介质物理理论指出：有耗介质的介电常数和磁导率由复数给出，而且它们都是频

31、率的函数。即)()( jc)()( jc另外，当电磁波的频率接近媒质的固有振动频率时，将发生共振现象。共振时媒质的分子或原子从电磁波中吸收能量，并作单色散射，使电磁波能量有较大的损耗。图6.4.1给出了有机玻璃的 和 的频率特性曲线。r r第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.4.1有机玻璃的 和 的频率特性曲线 r r第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 在有耗电介质中，电磁波在单位体积内的功率损耗为 来描述，并分别称为电介质的损耗角正切和磁介质的损耗角正切。 2 2 *2121Re21ReEEjjJEp可见单位体积的损耗 与和 成正比。同样可以说明，磁导率 的 虚部也与磁损耗

32、相对应。对于介质的损耗，工程上经常又用比值 tg tg（电介质）（磁介质）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.4.2 6.4.2 媒质的分类媒质的分类 1、当 时，媒质被称为理想导体。实际中理想导体是不存在的，它只是一种理想模型。2、 时，媒质被称为良导体。如铜、银、铝等金属导体，它们的电导率都在107以上。3、 时，媒质被称为半导电介质。4、当 时，媒质被称为低损耗介质。如有机玻璃、聚乙烯等材料，它们的电导率都极低，在高频和微波频段内满足 条件，且有极低的损耗。5、当 时，媒质被称为理想介质。实际中理想介质也是不存在的，它只是一种理想模型。2102210102102100第六章 正

33、弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.5 6.5 波在有耗媒质中的传播波在有耗媒质中的传播 6.5.1 6.5.1 波在导电媒质中的传播方程波在导电媒质中的传播方程 在0的媒质中，麦克斯韦方程组的第一方程应该写成 EjjEjEH)(若引入等效介电常数 jc则式（6.5.1）可写成 EjHc这与理想介质中的麦克斯韦方程组的第一方程具有完全相同的形式。 （6.5.1）（6.5.2）（6.5.3）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 因此，亥姆霍兹方程也可写成这里仍然假定电磁波为x方向极化的，向z方向传播的均匀平面波。于是上面的亥姆霍兹方程的电场方程在直角坐标系中可以写成022EkE022HkH)

34、(22jk0222xxEkzE这里的波动方程与理想介质中的亥姆霍兹电场方程的区别为：这里的k为复数 k（6.5.4）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.5.2 波在导电媒质中的传播特性 为了讨论波在导电媒质中的传播特性，下面先求解电场分量。令)(222jkj将式（6.5.6）代入式（6.5.5）可得 1)(1221)(122（6.5.6）（6.5.7）（6.5.5）（6.5.8）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 电场满足的亥姆霍兹方程可写成 在导电媒质中，随着波向z方向传播，均匀平面波的幅按e-z的指数规律衰减，而是说明波传播单位距离衰减程度的常数（Np/m），称为电磁波的衰

35、减常数衰减常数。其单位为是奈/米或分贝/米，1奈/米=8. 68分贝/米。由式（6.5.7）可知， 主要取决于和 ，在良导体中，很大，也很大，波衰减也就很快。表示波传播单位距离相位的滞后，称为波的相位常数。由于和描述了波在传播时，波的衰减和相位滞后，所以 描述了波的传播特性，我们称为传播常数。0222xxEzE若取向z方向的传播波解，则 )(ztjzmztjmxeeEeEEj（6.5.9）（6.5.10）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 导电媒质中波的传播速度 为 pv1)(1212pv在导电媒质中波的传播速度 随频率变化，这种现象我们称为色散效应。而我们又经常说，在导电媒质中传播的波

36、是一种色散波。关于色散问题，我们在后面将专题讨论。在良导体中， 很大，因此增大，电磁波的相速减慢，波长变短。pv由麦克斯韦方程 可得 HjExyEjaH电场、磁场和电磁波的传播方向仍满足右手螺旋关系。 本征阻抗为 jHEyxc1（6.5.13）（6.5.12）（6.5.11）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 是一个复数，它说明电场与磁场在时间上存在相差。图6.5.1给出了导电媒质中均匀平面波传播图。 图6.5.1 导电媒质中均匀平面波电磁场分布 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 电场能量密度为 而磁场能量密度为 221xeEw2222)(1)(12121exymwEHw导电媒质

37、中磁场能量大于电场能量。 很显然电磁波不能在理想导体中传播。第二节中我们已经讨论了均匀平面波在理想介质中的传播规律。下面我们讨论电磁波在良导体和低损耗介质两种媒质中的传播特点。（6.5.14）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 例6.5.1 干燥土壤的r=4, =10-41/.m，试计算频率分别为f=500kHz和f=100MHz的电磁波在其中传播时，场的振幅衰减到原来的106分之一的距离。当土壤是潮湿的, r=10 =10-21/.m 时，重复上述计算。解：由式6.5.7可得，当f=500kHz时 2/12/1228514)6 . 34(10231105232107 . 818. 11

38、062奈/米当电磁波振幅衰减到原来的106分之一时 610111lekml59. 1107 . 88 .1310ln13611第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 当f=100MHz时，考虑到 ，即 则衰减常数可近似为 12020)(211)(1rr340021043. 941060602rrkml46. 11043. 98 .1310ln13622奈/米第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 2、在潮湿的土壤中 当f=500kHz时mr/110,1022211087.137 .181062ml100108 .138 .1310ln12611当f=100MHz时2/12/12288210

39、)8 . 110(10231102591. 04 . 032ml4 .23591. 08 .1310ln1622奈/米奈/米第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.5.3 6.5.3 波在低损耗介质中的传播特点波在低损耗介质中的传播特点 设波在介电常数为 的损耗介质中的传播。若将此介电常数与等效介电常数相 比较，可看出 jejc 用数学比拟方法可得 1)(122 1)(122 1je（6.5.16）（6.5.17）（6.5.15）（6.5.18）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 对于低损耗介质 或 ，式（6.5.16）（6.5.18）可近似为对于良好的低损耗介质，其 趋于零。此时

40、，衰减常数 ，相移常数 ，波阻抗 。例如，在聚本乙烯中10MHz的电磁波每公里只有0.5%的衰减，电场与磁场之间的相位差只有0.0030。2102 10 22 81121831 2 je 00e（6.5.21）（6.5.20）（6.5.19）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 例6.5.2 在r=1、 r=8和=0.25ps/m的媒质中传播f=1600MHz的电磁波，试计算波的传播常数。所以有 解：因为 01036/108106 . 121025. 0699120mradcfrr/8 .942mradjj/8.94在给定的频率下，该媒质具有理想介质的特性 第六章 正弦平面电磁波在无界空间

41、中的传播 6.5.4 6.5.4 波在良导体中的传播特点波在良导体中的传播特点 本征阻抗可近似为 对于良导体，如铜（ ）、银（ ）等，在整个电磁波频率范围内都有 ，因此，式（6.5.7）和式（6.5.8）可近似为m/1108 . 57m/11017. 67210f2fjc)1 ( 波的相速和波长分别为 2fvp22fvp（6.5.23）（6.5.24）（6.5.25）（6.5.22）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 良导体中，本征阻抗是电抗性的，且该阻抗具有450相角，这说明在良导电媒质中波的电场的相位超前磁场相位450。相速 与 成正比，是一种色散媒质。而且， 与 成反比， 越大，

42、就越小。例如f=106Hz的电磁波，在铜中传播的相速 ，与声音在空气中的传播速度同一数量级。 下面我们用实例来说明不同频率的电磁波在良导电媒质中的传播特点。 pvpvpvsmvp/415例6.5.3 海水的 ， ， 。分别计算f=50Hz、f=104Hz和f=106Hz的电磁波在海水传播距离。mS /481r1r解：当f=106Hz时23961010983610811024第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 可以认为电磁波在海水中的传播是在良导体中传播。显然，其它更低频率的电磁波也可认为是在良导体中传播。而当波在海水中传播4时，其电场的振幅将衰减到初始位置时的1.83，因此可以认为电磁波

43、在海水中的传播距离为4m6 .35445021022711m52. 24410210224722m252. 04410210226733当f=50Hz时当f=104Hz时当f=106Hz时因此，当f=50Hz时，电磁波在海水中可传播142.4米；当f=104Hz时，可传播10.08米；当f=106Hz时，可传播1.008米。由此可见，电磁波在海水中的传播距离很短，不能作为水中传送信号的载体。第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.5.5 6.5.5 趋肤效应趋肤效应 导电媒质中电磁波的衰减，随着频率、磁导率、电导率的增加而增大。特别是良导体的电导率都在案107数量级，随着频率的升高，将很

44、大。也就是说在导电媒质中电磁波只存在于表面。这个现象称为趋肤效应。工程上常用穿透深度（米）表示趋肤程度。它等于电磁波场强的振幅衰减到表面值1/e的所经过的距离。按此定义21（6.5.26）例6.5.4 试计算当 、 和 时，电磁波在 的紫铜中的穿透深度。Hzf50Hzf610Hzf1010)/1 (1080. 57m1r1r第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 解 由式（6.5.15）可得 与上题相比较，电磁波对导电性能很好的金属导体的穿透能力是很差的。而且，随着频率的升高，趋肤效应越明显，穿透深度越小。利用趋肤效应，我们可以用金属板或金属罩对各频段的电磁波进行有效地屏蔽，以保护某些电子设

45、备不受外电磁场的影响。mm34. 9108 . 5104502227711m66108 . 51041022277622m66. 0108 . 510410222771033当f=50Hz时当f=106Hz时当f=1010Hz时第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.5.6 6.5.6 良导电媒质的表面阻抗良导电媒质的表面阻抗 由于趋肤效应，高频电流集中于导体的表面。导体内部的电流则随着深度增加而迅速减小。在深度大于数个穿透深度后，电流近似为零。良导体中电流的分布可由电流密度的波动方程解得。对波动方程式（6.5.9）乘以电导率 得 0222xxJzJ这就是导电媒质中电流密度的波动方程。对

46、于良导体有 f式（6.5.27）的解为 )(0ztjzxeeJJ（6.5.27）（6.5.28）式中JA0为z处（即导体表面上）的电流密度的幅值。电流的振幅按指数规律减小，如图6.5.2所示。0J0z第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.5.2 导电媒质中电流的振幅分布 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 导电媒质的表面阻抗定义为 它表示导电媒质表面上沿x方向单位长度的电压。 表示流过沿y方向为单位长度，沿z方向为从0到无穷大的一个面的总电流。因此stsJEZ tE表示在导电媒质表面上（z=0）的切向电场。 可写成为 tEtjteJE01sJtjtjzxseJdzeeJdzJJ

47、0000将式（6.5.30）和式（6.5.31）代入式（6.5.29）得 sZ（6.5.29）（6.5.30）（6.5.31）（6.5.32）第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 这就是导电媒质表面阻抗的一般表达式。对于良导体有 表面电阻为 fjfjXRjZsss1sR 表面电阻Rs实际上就是单位宽度单位长度而沿z方向的厚度为从零到无穷大这样的导体块具有的交流电阻。从式（6.5.34）可以看到，这样一个交流电阻等效于一块具有单位宽度、单位长度而沿z方向的厚度仅为一个趋肤深度的导体具有的直流电阻。显然，对于同一块导体，其交流电阻要比直流电阻大。这是趋肤效应所造成的。对高频电流来说，由于趋肤效

48、应，与均匀分布在导体中的直流电流相比较，其有效的导电面积大大减小，电阻增加。第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 例6.5.5 半径为a=3mm黄铜（=1.6*107S/m）金属圆导线上传播频率为109Hz的正弦电磁波。试求单位长度的交流电阻 。 解 此问题是一个高频电磁波在良导体中传播的问题。由于波在导体中的趋肤深度acRmm34. 9108 . 510410222779由于 比导线的半径小得多，故在求解表面电阻时可将导线表面视为平面。单位宽度、单位长度上的表面电阻为 ，其相对应的表面电导为 。所以单位长度上的表面电导为1sRsGaasadldlGG20202第六章 正弦平面电磁波在无界

49、空间中的传播 则单位长度上的表面电阻为 这个表面电阻就可以认为是此导线单位长度的交流电阻。事实上，线上传输的功率可以写成aGR211acRIP221aEHP2Re21*而在圆柱面上 aIH2HeHEjr045线上传输的功率为 aIaaIePj224524122Re210因此，导线单位长度的交流电阻为 afaIPRac212122第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.6 6.6 电磁波的群速与色散失真电磁波的群速与色散失真 电磁波的相速、群速、色散现象和色散失真是通信理论中非常重要的概念。本节先给出电磁波群速的定义，并讨论波的群速与相速、媒质特性之间的关系，然而讨论波在色散媒质中传播时，

50、由色散现象引起的色散失真，并给出电磁波在色散媒质中传播的不失真条件。6.6.1 6.6.1 电磁波的群速电磁波的群速 波的相速是指单色正弦波等相面移动的速度。稳态的单色正弦波是不能携带信息的。一个信号总是由许许多多频率的正弦波调制而成，信号调制的结果是形成一个调制波，而信息就包含在这调制波中。通常我们又将调制波称为一个波群。因此，信号的传播速度应该是这个调制波的前进速度，或者说是这个波群的传播速度，我们称为群速，并用 表示。当然，群速 也带代表能量的传播速度。下面我们用一个简单的例子来导出波的群速的计算公式。gvgv第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 设有两个振幅均为Am的单色稳态正弦波

51、如图6.6.1所示，它们的频率相差很小，而且它们的相位常数也相差不大，这两个波可以用下面两个波函数来表示：合成波为 zjtjmeeA)()(1zjtjmeeA)()(2)(21)cos(2ztjmeztA显然合成波的振幅是受调制的，图6.6.1中虚线所示的包络波就是调制波。波的群速就是这个调制波上某一恒定相位点推进的速度。已知调制波为)cos(2ztAm它的推进的速度为 dtdzvg (6.6.4) (6.6.2) (6.6.1) (6.6.3) (6.6.5) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 波的群速与相速的关系为 由此可得当 时，式(6.6.5)变为 dddtdzvggppppppgvddvvvddvvvddddv)(ddvvvppg11在非色散媒质中，相速不随频率变化，群速等于相速 (6.6.7) (6.6.6) 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 图6.6.1 波的调制图 第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播 6.6.2 6.6.2 色散失真及不失真条件色散失真及不失真条件 在信号的传输过程中，携带信号的调制波（或波群）是由许多不同频率的正弦波以不同的相位和振幅关系的合成。当这个调制波在非色散媒质