第七讲 矩形波导

1、 波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示，波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示，上式也称上式也称HelmholtzHelmholtz方程方程 支配方程222200Ek EHk H纵向分量方程222200Ek EHk Hzzzz其它分量用表示EHEf EHEfEHHfEHHfEHzxzyzxzyz,1234方程无源区中出发点Maxwell第七讲 矩形波导1. 1. 纵向分量方程纵向分量方程 (12-3) 假定假定E Ez z( (或或H Hz z) )可分离变量，也即可分离变量，也即 (12-4) 且且 一、矩形波导的求解思路(12-5) 222200Ek EHk HzzzzEE x

2、y Z zHH x y W zzz( , ) ( )( , )( ) 2222tZ代入可知代入可知 (12-6) 由于其独立性，上式各项均为常数由于其独立性，上式各项均为常数 (12-7) 2222( , )1( )0( , )( )tE x yZ zkE x yZ zz222221( )( )( , )0( , )tcZ zZ zzE x ykE x y222ckkEE x y eHH x y ezzzz( , )( , )一、矩形波导的求解思路2000010000 xxxyxxcyxExEjEEjyHjHkxHjHy并有并有注意到注意到E Ez z和和H Hz z的横向函数要依赖具体的边界

3、条件。的横向函数要依赖具体的边界条件。一、矩形波导的求解思路二、矩形波导的横向解 在矩形波导中存在在矩形波导中存在TETE和和TMTM两类波，请注意矩形波两类波，请注意矩形波导中不可能存在导中不可能存在TEMTEM波波( (推而广之，任何空心管中都不推而广之，任何空心管中都不可能存在可能存在TEMTEM波波) )。 这里以这里以TETE波为例作出讨论，即波为例作出讨论，即E Ez z=0=0，对于纵向分对于纵向分量只须讨论量只须讨论H Hz z，计及计及 txy222220),(),(22ctkyxHyxH二、矩形波导的横向解 则矩形波导的横向解是则矩形波导的横向解是 22222H x yxH

4、 x yyk H x yc( , )( , )( , ) (12-17)图图 12-2 12-2 矩形波导坐标系矩形波导坐标系 xzya0be m二、矩形波导的横向解 再令再令H H( (x x，y y) )可分离变量，即可分离变量，即H(xH(x，y)y)= =X(x)Y(y)X(x)Y(y) 1122222XXxYYykc 还令每项都是常数还令每项都是常数( (Constant)Constant)，可得可得 11222222222XXxkYYykkkkxyxyc (12-18) 二、矩形波导的横向解 XAk xxxcos()Yk yyBycos()HHk xk yezxxyyz0cos()

5、cos()一般可写出：一般可写出： 总的可写出总的可写出 下面的主要任务是利用边界条件确定下面的主要任务是利用边界条件确定k kx x，k ky y，和和kckc。 请注意：请注意：H H0 0与激励强度有关。与激励强度有关。 (12-19) 二、矩形波导的横向解 根据横向分量可以用纵向分量表示，有根据横向分量可以用纵向分量表示，有EjkHyHjkkk xk yeEjkHxHjkkk xk yexczcyxxyyzyczcxxxyyz 202202cos()sin()sin()cos()二、矩形波导的横向解 边界条件边界条件x=0 x=0， x=a x=a， E Ey y=0=0y=0y=0，

6、 y=b y=b， E Ex x=0=0 xExaEk amyxyx0000, 可得可得kmamx, 整数yEyaEk anxyxy0000, 可得可得knany, 整数三、矩形波导的解 HHmanbeEjknbHmaxnby eEjkmaHmaxnby eEHkmaHmaxzzxczyczzxc02020200coscoscossinsincossincoscossinnby eHknbHmaxnby ezycz20最后得到最后得到TE波的解波的解(12-20) 通过对偶可得到通过对偶可得到TM波的解：波的解：三、矩形波导的解 kkkmanbcxy22222其中，其中， 上面称为上面称为TE

7、TEmnmn波波 m m表示表示x x方向变化的半周期数方向变化的半周期数 ( (即小即小大大小小) ) n n表示表示y y方向变化的半周期数。方向变化的半周期数。 (12-21) 三、矩形波导的解 关于简正波的讨论：关于简正波的讨论： 以矩形波导为例，尽管在以矩形波导为例，尽管在z z方向它们只可能是入方向它们只可能是入射波加反射波射波加反射波( (即还是广义传输线即还是广义传输线) )，但是由于横向，但是由于横向边界条件它们由边界条件它们由TETEmnmn和和TMTMmnmn波组成并且它们只能由波组成并且它们只能由TETEmnmn和和TMTMmnmn波组成波组成( (后者，我们称之为完备

8、性后者，我们称之为完备性) )，矩形，矩形波导中这些波的完备集合波导中这些波的完备集合即简正波。即简正波。 任何情况的可能解，只能在简正波中去找，具任何情况的可能解，只能在简正波中去找，具体场合所不同的仅仅是比例和组合系数，事实上，体场合所不同的仅仅是比例和组合系数，事实上，这样就把求复杂场这样就把求复杂场函数函数的问题变换成求各个模式的的问题变换成求各个模式的系数。系数。三、矩形波导的解 rxiyjzk 这种思想，最早起源于矢量分析，任何空间矢量这种思想，最早起源于矢量分析，任何空间矢量xyz0r(x,y,z)图图 12-3 Vector Analysis 方向与大小均方向与大小均不相同，但

9、是不相同，但是建立建立x x，y y，z z坐标系之后，坐标系之后，任一任一( (三维三维) )矢矢量即归结为三量即归结为三个系数个系数四、TE10波 矩形波导中频率最低模式，也即我们要工作的传输矩形波导中频率最低模式，也即我们要工作的传输主模式即主模式即TETE1010波，波，m m=1=1，n n=0=0，若传播常数无耗若传播常数无耗=j=j。 HHax eEjkaHax eHjkaHax ezj zycj zxcj z 02020cossinsinHHaxtzEkaHaxtzHkaHaxtzzyxc 02020coscos()sinsin()sinsin() 四、TE10波 场结构的画法

10、上要注意：场结构的画法上要注意：场存在方向和大小两个不同概念，场的大小是以场存在方向和大小两个不同概念，场的大小是以 力线密度表示的力线密度表示的同一点不能有两根以上力线同一点不能有两根以上力线磁力线永远闭合，电力线与导体边界垂直磁力线永远闭合，电力线与导体边界垂直电力线和磁力线相互正交电力线和磁力线相互正交 四、TE10波 xxyzzyzz000000 xaab0 xHzHxEyH图图 12-4 TE10波场结构波场结构 五、TE10波的参数 22ccak(1) TE10波的截止特性波的截止特性 222222cxymnkkkabac1f2222ckccaaa截止波长截止频率截止波数五、TE1

11、0波的参数 (2)波导波长波导波长g 22112gca=(12-24) 2g设传播常数设传播常数 222222cg五、TE10波的参数 (3)(3)相速相速p ppCaC122 (12-25)( (4)4)群速群速g ggpcca2212C gpC2五、TE10波 的参数 EHEHattyxg02112 ( (5)5)波型阻抗波型阻抗注记：在注记：在TETE1010波各参数中唯独波型阻抗要特别讨论。波各参数中唯独波型阻抗要特别讨论。(12-29)六、矩形波导中的简正波方程通解Maxwell矩 形 波 导波波T ET Mm nm n传 输 波雕 落 波mx方向变化的半周期数；方向变化的半周期数；

12、 ny方向变化的半周期数。方向变化的半周期数。 矩形波导中矩形波导中TE波和波和TM波的全部集体构成简正波波的全部集体构成简正波六、矩形波导中的简正波简正模简正模( (或简正波或简正波) )理论包含三个方面：理论包含三个方面： 1. 1. 完备性完备性 矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它们里边存在的是们里边存在的是TEmn和和TMmn模式，而且，它们也只模式，而且，它们也只能存在能存在TEmn和和TMmn模式，具体情况所不同的仅仅是模式，具体情况所不同的仅仅是各种模式的比例与组合。各种模式的比例与组合。六、矩形波导中的简正波 0sincossi

13、n 0sincossin00pmdyybpybnlmdxxalxamba(14-1)(14-1)六、矩形波导中的简正波2 2222bnamkkkyxc截止波数222 bnamc截止波长六、矩形波导中的简正波传输模cmn雕落模cmnej zc2120zEezcc212六、矩形波导中的简正波注意到雕落模注意到雕落模( (也称截止模也称截止模) )，它是一种快速衰，它是一种快速衰减的振荡模式。也就是说，在不同的减的振荡模式。也就是说，在不同的z处，有同一相处，有同一相位。位。 当然，雕落模式没有功率和能量传播。当然，雕落模式没有功率和能量传播。 当模式不同，但却有相同的当模式不同，但却有相同的kc，

14、我们称为简并模我们称为简并模式。最后显示的是式。最后显示的是TEmn和和TMmn是简并是简并( (Degeneration) )的。的。六、矩形波导中的简正波七、TE10波单模存在条件 当当ba时，时，m=1，n=0的的c c最大。最大。( (或者说或者说fc最低最低) ) TE10波波称为矩形波导的主模称为矩形波导的主模( (或者优势模或者优势模) )，在绝大多数传输的应用场合我们都希望只传输在绝大多数传输的应用场合我们都希望只传输TE10波，而其它模式都成雕落模而不传输。波，而其它模式都成雕落模而不传输。 TE10波单模存在条件是波单模存在条件是 cmnc 10(14-2)(14-2)a

15、b/. 22cmnamn24 8422.aa 2(14-5)(14-5)(14-4)(14-4)(14-3)(14-3)七、TE10波单模存在条件 此时此时TE10波单模存在条件是：波单模存在条件是：例例1 1BJ-100波导，波导，ab=22.8610.16mm2，求单求单模传输的波长范围和频率范围。模传输的波长范围和频率范围。解已经知道单模传输条件是解已经知道单模传输条件是cmn2aca1024572.mmca202286.mmcb0122032.mm七、TE10波单模存在条件 cab1 1222111 8m mca3 0231 5 2 5.m mcab212222115 10.m m七、TE10波单模存在条件 十分明显，第二模式是十分明显，第二模式是c20=22. 86mm。因此，因此，单模传输单模传输 228645726551310.mmmm GfGCC102050mm3040H10H20H01E21E11H21H11H30, 截 止 区 域 单模 工作区 图图 14-1 14-1(14-6)(14-6)七、TE10波单模存在