高数-不定积分

1、本章的主要内容第五章 不定积分5.1 不定积分的概念和性质5.2 换元积分法5.3 分部积分法5.1 5.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质一、原函数的概念的一个原函数。为则称，总有上的任意一个点使得对于区间，在一个函数上的一个函数，如果存是定义在区间【定义】设函数)()(),()()()(xfxFxfxFxIxFIxf的一个原函数。是（的一个原函数；是（的一个原函数；是）【例题】（xxxxeeeexxxxxxxx,)3(cossin,cos)sin)23,3)(12323关系？这些原函数之间有什么的话，其它的原函数？如果有还有没有中，【思考】例231x。示为：且其全体原函数可以表原

2、函数，则它一定有无穷多个如果有原函数为【结论】一个函数CxFxFxf)()()(二、不定积分的定义cxFdxxfxfxFdxxfxfxf)()()()()()()(则：的一个原函数，是若即：记为：的不定积分。数的全体原函数，称为函【定义】函数即可。，再加上一个积分常数的一个原函数只要求出的不定积分，定义可知，要计算函数【说明】由不定积分的CxFxf)()(dxxdxdxedxxx0)4(cos)3()2(312）（分：【例题】求下列不定积dxxdxdxxdxx)4(sin) 3(2)2(1 ）（分：【练习】求下列不定积逆运算三、不定积分的几何意义切线的斜率都相等）点的切线是平行的。（它们在积分

3、曲线，的几何意义：表示一族不定积分xcxFdxxf)()(。求该曲线的方程。且曲线经过点点的切线的斜率是【例题】某曲线任意一)1,0(,2x。求该曲线的方程。且曲线经过点点的切线的斜率是【练习】某曲线任意一)5,2(,2x四、不定积分的基本公式cxxdxcxxdxcedxecaadxacxdxxcxdxxcdxxxxxsincos)7(cossin)6()5(ln)4(ln1)3()1(11)2(011）（【积分基本公式】五、不定积分的性质积分与导数互为逆运算可加性齐次性-)()()4()()()3(-)()()()()2()()()1 (cxFdxxFxfdxxfdxxgxfdxxgxfdx

4、xfkdxxkfdxxxxdxedxxdxxxdxxxdxxdxxdxxxxxcossin2cos)8()3()7(2sin)6()cos23()5()5sin2()4()53() 3(1)2(212325）（分【例题】求下列不定积基本积分法基本积分法-先用积分先用积分的性质分解；的性质分解；-再用积分再用积分基本公式求基本公式求积分。积分。5.2 5.2 换元积分法换元积分法一、第一换元法凑微分法换元积分公式的可导函数。则：是设dxxFdxxxfxxucuFduuf)()()()(,)()(【还原】【求积分】【换元：令【凑微分】基本思想是：【说明】第一换元法的cxFcuFxuduufxdxf

5、dxxxf)()()()()()()()(dxxdxxxdxxxdxeexx2sin)4(sin)3(ln1)2(112）（】求下列不定积分【例题可省略不写。中间变量，【说明】计算熟练之后【练习】求（）（】求下列不定积分【例题udxxedxxdxxexdxxx22) 12)3(cos)2(3cos1110sindxxedxxxdxxdxxxdxxx2122)5(3)4(cos) 3(ln)2(124) 1 (分【练习】求下列不定积xddxxxddxxxddxxdedxexdxdxxdxdxdxxdxbaxdadxxx21)8(11)7(ln1)6()5(cossin)4(sincos) 3(2

6、1)2()(1) 1 (22公式：【说明】常用的凑微分二、第二换元法 第二换元法主要是解决含有根式函数的积分问题，第二换元法主要是解决含有根式函数的积分问题，基本的思想就是先去掉根号，转化为有理函数，然后再基本的思想就是先去掉根号，转化为有理函数，然后再求积分。求积分。 下面举例说明第二换元法的解题过程。下面举例说明第二换元法的解题过程。cxxcttdtttdxxtdtdxtxtxdxx)1ln(1ln2)1 (21)1212,)12112（所以，则令【解】（】求【例题cxxxctttdtttdtttdxxdttdxtxtxdxx)1ln2(3)1ln2(31113311113,112333222232333所以，则令【解】求【例题tdtdxtxtxdxxx22222则：令【提示】作根式变换：【练习】求不定积分5.3 5.3 分部积分法分部积分法xvxuxdx,lnln【提示】【例题】求积分vduuvudvxvvxuu有连续的导数，则：设【分部积分公式】)(),(。化为求积分可以用分部积分公式转比较困难时，想是：当求积分】分部积分法的基本思【说明vduudv1正（余）弦函数”。数）被积函数为“指数函（对数函数”；）被积函数为“幂函数（正（余）弦函数”；指数函数”或“幂函数）被积函数为“幂函数（积分围：求一些特殊类型的】分部积分法的应用范【说明3212