山西大同南郊区2015届二轮复习专题七：排列、组合、二项式定理

1、2015专题七：排列、组合、二项式定理一、核心知识点归纳：一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同方法2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nm×n种不同的方法注意：1分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的 二、排列与组合1

2、排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.2组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.3排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式An(n1)(n2)(nm1)组合数公式C性质(1)An！；(2)0！1

3、(1)C1；(2)CC_；(3)CCC备注n，mN*且mn注意：1易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关2计算A时易错算为n(n1)(n2)(nm)3易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数4排列问题与组合问题的识别方法：识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关5组合数的性质中(2)的应用主要是两个方面，一个简化运算，当m时，通常将计算C转化为

4、计算C.二是列等式，由CC可得xy或xyn.性质(3)主要用于恒等变形简化运算三、二项式定理1二项式定理(1)定理：公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二项式定理(2)通项：Tk1Cankbk为展开式的第k1项2二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C(k0,1，n)叫做二项式系数(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念3二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即CC增减性当k时，二项式系数逐渐增大；当k时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，

5、最大值为C n；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或4各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCCCC2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.注意1二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k1项2(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒3易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k0,1，n)2、 典型例题讲解： 一、计数

6、原理考点一分类加法计数原理1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A50个B45个C36个 D35个解析：选C利用分类加法计数原理：8765432136(个)2五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()A30种 B31种C35种 D40种解析：选B分类：第一类，两人拿对：2×C20种；第二类，三人拿对：C10种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种故共有2010131种3(2013·三门峡模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教

7、师不能在本班监考，则监考的方法有()A8种 B9种C10种 D11种解析：选B设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3339(种)考点二分步乘法计数原理典例(2014·本溪模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P­ABC 与正三棱柱 ABC­A1B1C1 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有_种解析先涂三棱锥 P­ABC 的

8、三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C×C×C×C3×2×1×212种不同的涂法答案12针对训练在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A24种 B48种C96种 D144种解析：选C第一步安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法； 第三步安排剩余的3个程序，有A种排法，共有2×4×2×A96种考点三两个原理的综合应用典例(2014·

9、;黄冈质检)设集合I1,2,3,4,5选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有()A50种 B49种C48种 D47种解析从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×220种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×

10、315种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×44种选择方法根据分类加法计数原理，总计为102015449种选择方法故选B.答案B本例中条件若变为“A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9现从中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合”，则可以组成多少个集合？解：(1)选集合A，B，有CC12；(2)选集合A，C，有CC8；(3)选集合B，C，有CC6；故可以组成128626个集合针对训练上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言

11、，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为_解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有CC种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C种情况，由分类加法计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有CCC16(种)答案：16二、排列组合考点一排列问题1数列an共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列an共有()A30个B31个C60个 D61个解析：选A在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有A30个不同的数列2(2013·东北三校联考)在数字1,2,3与符号“”，“”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有()A6种 B

12、12种C18种 D24种解析：选B本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“”，“”，有A种排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有AA12种3(2013·西安检测)8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有()A360种 B4 320种C720种 D2 160种解析：选B法一：先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，将

13、指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有6AA4 320种安排方式法二：先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列，有A种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余5名运动员全排列，有A种排法，故共有AA4 320种安排方式类题通法求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序

14、问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法考点二组合问题典例(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)解析直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名所以选派种数为C·C·CC·C·CC·C·CC&#

15、183;C·CC·C·CC·C·C590.答案590针对训练(2013·四平质检)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A70种 B80种C100种 D140种解析：选A法一(间接法)：当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有CC14种组队方案当从9名医生中选择3名医生时，共有C84种组队方案，所以男、女医生都有的组队方案共有841470种法二(直接法)：当小分队中有1名女医生时，有CC40种组队方案；当小分队中有2名女医生时，有CC30种组队方案，故共有70种不

16、同的组队方案考点三分组分配问题角度一整体均分问题1国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法解析：先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A90种分派方法答案：90角度二部分均分问题2将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有_种(用数字作答)解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有20种；

17、有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有·45种所以不同的分组方法共有204565种然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A1 560种答案：1 560角度三不等分问题3将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法根据分步乘法计数原理，共有CCC60种取法再将这3组教师分配到3所中学，有A6种分法，故共有60×6360种不同的分法

18、答案：360三、二项式定理考点一二项式中的特定项或特定项的系数1(2013·江西高考)5展开式中的常数项为()A80B80C40 D40解析：选CTr1C·(x2)5r·rC·(2)r·x105r，令105r0，得r2，故常数项为C×(2)240.2(2014·浙江五校联考)在5的展开式中x的系数为()A5 B10C20 D40解析：选BTr1C(x2)5rrCx103r，x的系数为C10，故选B.3(2013·安徽高考)若8的展开式中x4的系数为7，则实数a_.解析：二项式8展开式的通项为Tr1Carx，令8r4

19、，可得r3，故Ca37，易得a.答案： 类题通法求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可考点二二项式系数和或各项系数和问题典例(1)(2014·北京西城一模)若m的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是()A21 B21C7 D7(2)(2013·成都诊断)若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a1a2a3a4_.解析(1)2m128，m7，展开式的通项Tr1C(3x)7r·rC37r(1)rx，令7r3，解得r6，的系数为C376(1)621，故选A.(2)令x1可得a0a1a2a3a41，令x0，可得a01，所以a1a2a3a40.答案(1)A(2)0在本例(2)中条件不变，问题变为“求|a0|a1|a2|a3|a4|的值”.解：由题意知(12x)4