第八章平稳时间序列

1、第八章 平稳时间序列stationarynon-stationary根据时间序列的随机过程特性，可以分为平稳序列（）与非平稳序列（）两类，需要使用不同的计量方法。本章介绍平稳序列，下一章介绍非平稳序列一、时间序列的数字特征12T12Tyyyy时间序列指的是同一个体在不同时点上的数据。对于离散时间 ， ， ，记随机变量 的相应观测值为， ， ，并假设其为（严格）平稳过程。因此，该时间序列的期望、方差、自协方差、自相关系数等数字特征均不随时间推移而改变。 Tti=1T2ti=1E y1yyTVar y1yyT-1期望反映该序列的平均水平，可以用样本均值来估计方差反映该序列的波动幅度，可以用来估计。

2、通常，不同期的观测值之间存在相关性。为此，引入以下两个概念： tkttkttk0ykautocovariance of order kCov yyEyyykkVar y定义：时间序列的“ 阶自协方差”（）为，。反映同一变量 相隔 期之间的自相关程度。显然，当 0时， kT-kkttki=11yyyyT-k对 的估计为“样本自协方差” tkttkttktkkykautocorrelation of order kCorr yyCov yyVar y11kAutocorrelation FunctionACFk定义：时间序列的“ 阶自相关系数”（ ）为， 。它将自协方差标准化为介于 ，之间的量。显

3、然，对于严平稳过程，不依赖于时间，而仅仅是滞后阶数 的函数，故被称为“自相关函数”（ ，）将（ ，）画成kk图，即为自相关图。自相关函数关于原点对称（）kkk0对的估计量为“样本自相关系数”： tt+kt+1t+k-1ktt+kt+1t+k-1tktt+kt+1t+k-1t+1t+k-yyyyCorr yyyyykpartial autocorrelation of order kCorr yyyyyy然而， 与的相关性可能由二者之间的变量， ，所引起，而，并未对， ，的作用进行控制。为此，引入以下概念： 定义：时间序列的“ 阶偏自相关系数”（ ）为 ， ，即在给定， ，1tt+kkyykPa

4、rtial Autocorrelation FunctionPACF条件下， 与的条件相关系数。显然，也只是 的函数，故称为“偏自相关函数”（ ，） AR p二、自回归模型kkt01t-1kt-ktkkkOLS yyyk为了得到对的样本估计值，可以证明，对以下阶自回归方程进行估计：则就是“ 阶样本偏自相关系数”回归模型是以因果关系来推测被解释变量。而有些现象在时间上具有延续性，时间序列模型可利用此延续性来推算时序变量。 t01t-1ttt2ttsAR 1 yytTE0VarCov0ts最简单的推算方法为一阶自回归（）： （ 2， ， ）其中，扰动项 为白噪声，满足 ，同方差，且无自相关， ，

5、1tt-1t-11tt-11t-1tqCov yy0yyMA qACF 在实践中，常常先考察数据的自相关函数（）和偏自相关函数（），以判断是否存在或的情形。如果，则为： 显然，如果，则， ，因为产生 的扰动项， ，与产生的扰动项， ，没有重叠的部分。这意味着，对于模型，函数在jq时都等于零，即出现“截尾”。 AR 1ACF另一方面，对于，我们知道其函数呈指数衰减，称为“拖尾”。 t01t-1pt-ptq=0ARMA pqAR p yyy如果，则，简化为模型： t01t-1pt-pp1ttp+1p1p1p1TAR pOLSAR p1yyyyplim00p+1AR pPACFjp0MA qPACF

6、假设真实模型是，却用来估计即 ，则 ，因为 ，而正是对阶偏自相关函数的估计。由此可知，对于模型函数在时都等于 ，即出现截尾。另一方面，对于模型，函数逐渐衰减，即拖尾，但不存在截尾。 AR pACFPACFMA qACFPACFACFPACFARMA pq综上所述，对于模型，其函数拖尾，而函数截尾。而对于模型，其函数截尾，而函数拖尾。而如果函数与函数均拖尾，则为，模型。BoxJenkinsReinselp2q2时间序列分析的鼻祖、认为，对大多数情况，与就足够了。 tdiagnostic checkingARMA pq在估计完模型之后，仍然需要进行一些诊断性分析（ ），以确定，模型的假定是否成立。

7、其中最重要的假定是，扰动项为白噪声。ppqqQ如果模型过小，即或，则相当于遗漏解释变量。这些被遗漏的解释变量纳入扰动项中，导致扰动项出现自相关，不再是白噪声。为此可以使用检验等来检验模型的残差是否存在自相关。如果残差存在自相关，则应考虑增加自回归或移动平均的阶数，重新对模型进行估计，然后再检验新模型的残差是否为白噪声，如此反复，直至残差为白噪声五、自回归分布滞后模型t01t-1pt-p1t-1qt-qtAutoregressive DistributedLag ModelADL pq yyyxx在自回归模型中，也可以引入其他变量来构成“自回归分布滞后模型”（ ，）：ttt01t12t23t34

8、t41t1tttununy例如，令通货膨胀率为 ，失业率为，则一个可能的预测模型为： ，其中，相当于1ADL 41empirical Phillip Curve0这个，反映的是宏观经济学中的经验菲利普斯曲线。如果，则失业率越低，物价越有上涨的压力。另一方面，通涨的调整也受到过去通涨变化的滞后作用。11kk1tktjtjt01t-1pt-p111t-11q1t-qk1k,t-1k,qk,t-qtkxxjxqj1kyyyxxxx，也可以引入更多的解释变量。比如，共有 个解释变量， ，其中第 个解释变量共有 个滞后值包括在模型中， ， ， ： 1ktt-1t-p1t-11t-qkt-1k,t-qt1

9、kt-(p+1)p+1t-(p+1)tOLS1 Eyyxx xxpqqyy，如果自回归分布滞后模型满足以下假定，就可以用来估计它：（， ， ， ， ，）0。这个假定意味着扰动项与所有解释变量的整个历史无关。这保证了对滞后期数， ， ，的设定是正确的。如果滞后期数的设定不正确，比如真实模型还应该包括但该项却被纳入扰动项 中tOLS，则扰动项 便与解释变量相关，导致不一致。 t1tkt2yxx， ，为渐近独立的平稳序列 t1tkt3yxx4， ，有非零的有限四阶矩解释变量无完全多重共线性ARMAARMAX更一般地，可以在模型中引入其他变量，称为模型六、误差修正模型ADLError Correcti

10、on ModelECM模型是一种动态模型。从经济理论而言，相关的变量之间可能存在长期的均衡关系，而变量的短期变动则是向着这个长期均衡关系的部分调整。误差修正模型（ ，）正是这一思想在计量经济学中的体现 t01t-1t1ttt-10011t-1t11t-1tt1t-1terror correctionAR 1yy1yyE yE yy1y1yy1y1yy1yyAR 1 考虑模型： 其中，故为平稳过程。对方程两边求期望，并令长期均衡值 ，则可得。将 代入该方程，并在两边同时减去可得： 这就是的误差修正模型，它将tt-1yyy 表达为对长期均衡的偏离的部分调整（即误差修正）加上扰动项。t01t-10t

11、1t-1t1ADL yyxx1考虑以下模型： ，其中，tt-1tt-10101100100111yx yxyE yE yxE xE x yyxx1yx yx11假设经济理论认为，之间存在长期均衡关系 。对方程两边求期望，并令 ， ，可得 0011101111long-run multiplier1xy由此可得， ， 。其中，称为长期乘数 ，它衡量的是当 永久性地变化一单位时，将会导致的永久性变化幅度。01011t-10t-1t01t-10tt-101t-1t11ADLyxy1yxxx 显然， ， 。对以上模型作如下变形，即可得到误差修正模型。在模型两边同时减去，并在右边加上减去可得 01t11

12、t-10t01t-1t011t0t1t-1t-1terror correction1t-1t-1011y11yxx1yx1yx1yx1 代入 ，可得 代入 ，则有 这就是误差修正的形式。其中 称为误差修正项。参数，称为长期参数，而参数， 称为短期参数。ADLOLSADLECM可以把误差修正模型还原为模型，然后用来估计。一般来说，模型都可以变换成模型。误差修正模型的优点是，经济含义十分明确，而且可以分别考察长期效应与短期效应 MA 七、与滞后算子tt-12pttt-2tt-p0tttlag operatorLyyL yL LyyL yy L yyy为了计算方便，在时间序列分析中常引入滞后算子（

13、）。定义：， ，。特别地，1 pqp+qttt1tt01t1ptptpt01tpttL LLyyy1L y1LAR pyyyyLyL y 显然，滞后算子的运算相当于幂函数。例如，。由于 ，故差分算子 。对于， ，可以用滞后算子简洁地表示： pt1tpt0tpt1pt0tp1pt0tyLyL yy1LLylag polynomialL1LLL y移项后可得， 提取公因子 ， 定义“滞后多项式”（ ）：，则有 jj=0jj=0AbsolutelySummableAS定义：序列为“绝对值可加总”（，），满足（有限） 0122012filterLLL定义：对于任意一个实数序列， ，定义其对应的“滤波”

14、（）为： 。 因此，滤波的实质就是一个 无穷多项 的滞后多项式。 tjj=0tjt-jj=0ttxASyxxy定理：假设为弱平稳过程，序列为绝对值可加总，则 有定义且为弱平稳进一步，若为独立同分布，则为严平稳AS这个定理告诉我们，弱平稳过程经过滤波的作用后，仍为弱平稳过程。 20122012LLLLLL定义：对于两个滤波与，定义其乘积为： 201220120001102201102LLLLLLLLL 001L110LLinverseL 显然，滤波的乘积满足交换律。我们最感兴趣的情形是，即令上式第二行之常数项而其余各项的系数均为 。此时，我们称为的“逆”，并记为 100120011000LLL1

15、1 只要，则都有定义且唯一，因为可以得到满足的唯一解， ， ，即 ， ，等等1231L1LLL例： 2311L1LLL11LAS证明：显然， 需要注意的是，不再是122331L1LLL例：1LL11LAS证明：只要将上例中的 换成即可。如果则 为 t01t-1t1yy1AR 1MA定理：对于 ，假设，则此是t01t-1t0101t-2t1t20011t-21t1t2001101t-3t1t1t2320111t-31t1t1tyyyyy1y 22证明：方法一（迭代法）： 223011t1t11t1t230t1t11t1t111 2323 1t0t1t10t223311102233111t2230

16、11t1t11t1t230t1t11t1t11L yy1L1LLL1LLL11 2323方法二（滤波求逆法）：由于 故， AR 1因此，可以将平稳的看成是过去所有扰动项的总效应之和，而且离现在越远的扰动项其影响力呈几何级数递减。从证明方法二可以看出滤波求逆方法的威力。脉冲响应函数 t+jjt1ttjt+jttt+jAR 1MAyyytjydynamic multiplier从的表达式可以看出 表示的是，当第 期的扰动项 变化一单位时 而其他期的扰动项均不变 ，对相隔 期的的影响，称为“动态乘子”（ ）tj显然，动态乘子与绝对时间 无关，而是时间间隔的函数。t+jtt+jtt+jtyjImpul

17、se Response FunctionIRFy1ImpulseResponsejyIRF将视为 的函数，则称为“脉冲响应函数”（ ，），它刻画的是对 的 单位脉冲的响应。将，画图，就可以得到对的直观认识 t01t-1pt-pt1t0t11t0tAR pMAAR pyyyL yLASyLLMA类似地，也是。将“ ”写为“ ”，如果为，则，显然这是形式 t01t-1pt-pt1t-1qt-qpqt1tpt0t1tqtt0t1q1q11t0tARMA p,qMAyyyyLyL yLLL yLL1LLLASyLLLMA 同理，更一般的也是： 其中，。假设为则， ，即八、向量自回归过程GDPmutua

18、lly consistentmultivariate time seriesVector AutoregressionVAR我们常常同时关心几个经济变量的预测，比如增长率与失业率。一种方法是用单变量时间序列的方法对每个变量分别作预测。另一种方法则是将这些变量放在一起，作为一个系统来预测，以使得预测相互自洽（ ），这被称为“多变量时间序列”（ ）。“向量自回归”（ ，）正是这样一种方法。 1t2t1t10111t-11p1t-p112t-11p2t-p1t2t20211t-12p1t-p212t-1yypbivariateVAR pyyyyyyyyy，假设有两个时间序列变量，分别作为两个回归方程

19、的被解释变量。而解释变量为这两个变量的 阶滞后值，构成一个二元（）的系统： 2p2t-p2t1t2ty， 其中，与均为白噪声过程（故不存在自相关）121t2scontemporaneous correlationt=s Cov0但允许两个方程的扰动项之间存在同期相关性（ ）：，若，其他1p1t10111t-11t-p2p2t20211p1t112t-12t-p2p2t21yyyyyy，注意到上面两个方程的解释变量完全一样。将两个方程写在一起： 1t-11t1011112t-12t2021211p1p1t-p1t2p2p2t-p2t1t1tt2t2t10t20yyyyyyyyyy，将同期变量写成

20、列向量并把相应的系数合并为矩阵 记，则有1p1p1111t-1t-pt2p2p2121yy 01pt01t-1pt-ptt yyyAR pVAR p定义相应的系数矩阵为， ， ，可得这个形式与很相似，故名。其中是一维白噪声过程的推广，称为向量白噪声过程。 tttttstttsE0EEtspositivedefinite matrixEE 定义：向量白噪声过程是一个弱平稳的随机过程，满足以下条件： ， ，0。其中 为正定矩阵（ ）。由于不要求 为对角矩阵，故向量白噪声过程的各个分量之间可以存在同期相关。注意，与是两个不同的矩阵innovation process有时也将白噪声过程称为“新息过程”

21、（ ）。 t-1t-pt-1t-2tt-1t-2ttVAR pyyOLSOLS由于系统中的解释变量， ，依赖于， ，而 与， 不相关，故可视所有解释变量为前定变量，与当期扰动项 不相关，故可以用对每个方程分别进行估计。由此可见扰动项不存在自相关是保证一致性的重要条件。滞后阶数的选择VARVAR在进行建模时，需要确定变量的滞后阶数，以及系统中包含几个变量。tTijitjtt=1ij1 TT 方法之一是使用信息准则。根据残差 可以估计协方差矩阵 ，记为 。矩阵 的 ， 元素为，其中 为样本容量。 VARAICBIC2 AIC plnn np1Tln2 BIC plnn np1TnVARpn np1

22、VARnp1n则模型的与分别为其中， 为系统中变量的个数， 为滞后阶数为 的行列式，而 为模型中待估系数的总数（每个方程共有 个系数，共有 个方程）。 T2tt=1n11SSR TT2AIC pln SSR Tp1TAICp1容易看出，以上表达式为单一方程的信息准则向多方程情形的推广。比如，当 1时， 为 阶矩阵，故 ，故，这正是单一方程的表达式 其中 为系数个数，含常数项 01p2p1p2ptVAR pVAR p1H方法之二是检验最后一阶系数的显著性（类似于由大到小的序贯 规则）。在上面的例子中，假设要确定使用还是 ，则可以检验原假设：0 t-ptVARVAR pVAR p1y方法之三是检验

23、模型的残差是否为白噪声，即是否存在自相关。如果真实模型为，但被错误地设置为 ，则解释变量的最后一阶滞后被纳入扰动项 ，导致扰动项出现自相关。 ttptt1tp-1yyyyOLSVAR更糟糕的是，由于的相关性，包含的扰动项将与解释变量， ，相关，导致估计不一致。为此，需要检验模型的残差是否存在自相关。如果存在自相关，则可能意味着应该在解释变量中加入更高阶的滞后变量。VAR变量个数的选择VAR54VAR105VAR系统中包含的变量个数越多，则需要估计的系数越多。假设有 个变量，滞后 期，则每个方程中共有21个待估系数（含截距项），而整个系统共有个待估参数！待估参数过多将使得样本容量过小（自由度过小

24、），增大估计误差，降低预测精度。因此，模型通常仅包含为数不多的几个变量。VARVARVAR更重要的是，要根据经济理论来确定模型中的各个变量确实有较强相关性。比如，经济理论告诉我们，通货膨胀率、失业率、短期利息率互相关联，可以构成一个三变量的模型。如果模型包含不相关的变量，则会增大估计量的方差，降低预测能力。九、向量移动平均过程 t0t1t12t2jtjj=00nj2012MAnVector Moving AverageVMAyInmultivariate filterlag matrix polynomialLLL 将向多维推广，可以定义 维无穷阶向量移动平均过程（ ，）： 其中， ，皆为 维

25、方阵。定义“多维滤波”（ ）为无穷项滞后矩阵多项式（ ）： 因 ttVMAyL此，可以将简洁地写为 1LL对于两个多维滤波，可以类似于一维滤波那样地定义其乘积，以及多维滤波的逆。 t01t-1pt-ptp1pt0tt0tp1p111t0tVAR pyyyVMAILLyL yLILLLyLL使用滞后算子，可以把上述模型 写成的形式： ，即其中，。在上式两边同时左乘可得 1201210t0t1t12t2LLLLLVMA y 记， ，则得标准的的形式： 脉冲响应函数t+sstt+stt+stssit+sjtyynynnnsijy，根据向量微分法则可知： 其中为 维列向量对 维行向量 求偏导数，故得到

26、矩阵。矩阵是一维情形下相隔 期的动态乘子向多维的推广，其第 行、第 列元素等于jtit+sit+sjtjtit+syysIRF，它表示的是，当第 个变量在第 期的扰动项增加一单位时（而其他变量与其他期的扰动项均不变），对第 个变量在第期的取值的影响。将视为时间间隔 的函数，就是脉冲响应函数（）it+sjtjtttyE ，以上脉冲响应函数的一个缺点是，它假定在计算时，只让变动，而所有其他同期扰动项均不变。这个假定只有当扰动项的协方差矩阵为对角矩阵时才成立（即同期扰动项之间正交）。jttttOrthogonalized Impulse ResponseFunctionOIRFuu否则，当变动时，必然伴随着其他方程的同期扰动项发生相应的变动。