第二章弹性力学的基本方程

1、0dlimdVVVF FF FF F SSSddlim0T TT TT T SSTSddlim0Q QQ Q zzzyzxyzyyyxxzxyxxij)( yxFF ,zF0 Xzxzxyyzyzyxxyxyxyxxxxdddd)d(dddd)d(0ddddddd)d(zyxFyxyxzzxzxzxzx0 xzxyxxFzyx0yzyyxyFzyx0zzyzxzFzyx又称纳维叶(Navier)方程。3.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyyxxyzyyzxzzx3.运动微分方程。2222 ,tvtu22tw如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembe

2、rt）原理，在体力项中引入惯性力：和这里为材料密度，t为时间。 运动微分方程：222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzyzxzyzyyxyxzxyxx过物体内的一点P取出一个微四面体，设斜面 abcAnAPabAmAPcaAlAPbczyxdd :dd : dd :的面积为dA，则三个负面的面积分别为0dddddVFAAAATxzzxyyxxxx1.四面体的平衡方程由x方向的平衡条件得：0d31hFnmlTxzxyxxx将各面面积代入得：同理可得：nmlTzxyxxxnmlTzyyxyynmlTzyzxzz上式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。 2.斜面上的正应力与剪应力nT

3、mTlTzyxTnlmnlmnmlzxyzxyzyx222222222|T T3.边界条件nmlTnmlTnmlTzyzxzzzyyxyyzxyxxx上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面外法线方向余弦1.位移 物体内各点位置的改变量称为位移。 用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三个坐标方向的分量，并规定沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。 研究物体位形变化，可以将位移分解成两类： (1) 物体刚体位移 (2)物体内质点间相对位移 2.应变xyz线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z, 和表示，即方向线元的正应变分别用, xxxxdddyyyydddzzzzddd)d ,d ,d

4、(zyxyzxy,zx正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y、z直角的变化分和表示，方向三个正交线元别用2xy2yz2zx，符号规定：正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角的减小为正，反之为负。这种规定与应力的正负规定是一致的。 .几何方程几何方程是物体变形过程的位移应变关系设弹性体内任一点的位移分别为u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),为简化起见，通过投影的变形分析来建立应变位移关系 物体变形的位移及在坐标面上投影以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变位移关系 以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变位移关系 P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z)和(x

5、,y+dy,z),将，点的位移按Taylor级数在点处展开：xxvvxxuud ,dyyvvyyuud ,d点：点：在小变形条件下：papaappapaapx xuxxuxxuuxdd)dd(pbpbbppbpbbpy yvyyvyyvvydd)dd(yxxyxyapbAPB22xvxuxvxxuxxxvapaayxyx 1dddtg在小变形条件下yuyvyuyyvyyyubpbbxyxy 1dddtgxyuvyx, 1 , 1yxyvxu同例分析平面yoz和平面zox可得：yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzx , , ,方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程1.

6、简单应力状态E 简单拉压： 纯剪切： )1 (2E2.复杂应力状态)(1)(1)(1 321yxzzxzyyzyxxxxxEEE3.体积应变/xyxyzxzxyzyz)(21zyxzyxEE21称为体积应变 4.用应变表示应力)()1(1zyxxxEEEx1EEyy1EEzz1同理令则xyxyzxzxyzyz2,2,2yzyzE1zxzxE1xyxyE1于是式中2,22,22,2xxyzyzyyzxzxzzxyxy)21)(1 (E中称为拉梅常数注意：,xyyzzx是应变张量分量而不是剪应变分量上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律 上式还可进一步写成：xyxyzzzxzxyyyzyzxx

7、EEEEEE)1 (2,211)1 (2,211)1 (2,211 我们通过对平衡、几何和物理三个方面的分析建立了弹性力学的全部基本方程，即平衡（运动）微分方程、几何方程和应力-应变关系； 0 xzxyxxFzyx0yzyyxyFzyx0zzyzxzFzyx又称纳维叶(Navier)方程。(1)平衡微分方程运动微分方程：222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzyzxzyzyyxyxzxyxx(2) 几何方程yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzx , , ,方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程(3)应力-应变关系(本构关系)1()1()1()xxyzyy

8、zxzzxyEEE /xyxyzxzxyzyz应力-应变关系(本构关系)用应变表示的应力-应变关系2,22,22,2xxyzyzyyzxzxzzxyxy 三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有15个未知量15个方程，可以求解。 具体弹性力学问题,必须与相应的弹性力学问题,为此需知具体问题的边界条件。（4）边界条件（）应力边界条件nmlTnmlTnmlTzyzxzzzyyxyyzxyxxx（）位移边界条件wwvvuu , ,（）混合边界条件 力的分量、应力分量、应变分量和位移分量引用的记号法，是一种公认的表示方法。但有由于控制方程的表示过于冗长，为减少篇幅，在力学等大多数文献中，在理论推导

9、采用指标表示。 1. 指标符号 具有相同性质的一组量，可以用一个带下标的字母表示。 位移分量： 321 , ,uuu)3 , 2 , 1( iuiu、v、w可以写成，缩写后为 坐标：x、y、z 可以写成 321 , ,xxxix，缩写后为单位基矢量：kji , ,可以写成 321 , ,eee，缩写后为ie, , , , , , xxxyxzzxzyzz应力分量：可以写成 333231131211 , , , , , ,缩写后为ij应变分量：可用表示由此，向量 可表示为 , ,xyxxij在三维笛卡尔空间中，下标用小写英文母表示，并取 3 , 2 , 1 , ,ji在二维笛卡尔空间中， 下标用

10、小写希腊字母表示，并取 2 , 1 , ,a31332211iiiaaaaeeeea三阶线性代数方程组333323122322211131211PzayaxaPzayaxaPzayaxa可表示为1 12233 (1, 2, 3)iiiia xa xa xPi引用求和记号以后，还可以进一步简写为)3 , 2 , 1( 31iPxaijjij2. 求和约定于是上式可表示为 在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，这就是爱因斯坦（Einstein）求和约定。 重复指标称为哑指标（或简称哑标）。 iia ea ijijPxa式中的i，不是求和指标。非求和指标称

11、为自由指标。 注意:iiiiiiicbacbacbacbacba313332221113131ijjiijjiijxxaxxa而 3. 求导数的简记方法 ix,i) () (ijjxx,i2) () (例如:iix,jijiuxu,jkikjiuxxu,23 , 32, 21 , 1,uuuuxuiiii33 ,22,11 ,dxfdxfdxfdxfdxxfiiii4. 克罗内克（Kroneker）符号 ) cos(jijiijeeee定义:jijiij 0 1于是100010001332331232221131211ij(1)ij具有如下性质： 3iijiijAA ijkjikaaijkji

12、k(2)(3)(4) 5. 置换符号 ijke置换符号用 表示,定义:为非循环序列；若为逆循环序列；若为循环序列；若) , ,( 0) , ,( 1) , ,( 1kjikjikjieijk (a) 循环序列：i, j, k取不同的值，1312231123eee(b) 逆循环序列：i, j, k取不同的值 1132213321eee (c) 非循环序列：i, j, k中有两个以上的指标取 相同值 0323222112eee利用置换符号可以简化公式 （1）行列式 333231232221131211aaaaaaaaaa 可表示为kjiijkaaaea321（2）向量叉积 iia ea jjb e

13、b 321321321bbbaaaeeebackjijkibaec 可表示为当采用指标记法时,弹性力学问题的控制方程 22,0tuFiijji（在V内） （1）平衡（运动）微分方程 （2）几何方程： )(21,ijjiijuu（在V内）（3）应力-应变关系： ijkkijijEE1（在V内） kkkkE21kkkkijijkkij)23(2（在V内）（在V内）（4）边界条件 力的边界条件：ijijTn S（在 内） 位移边界条件：iiuu uS（在 内） 考虑同一物体两组载荷情况:iFiT S(在 上）uS(在 上)iu位移第二组: 体力 iF （在V 内）面力iT (在 上） 第一组: 体力

14、SuS（在V 内）位移面力(在 上）iu 对第一组载荷应有 ijkkijijijjiijijijEEuuF1 )(21 0,ijijTniiuu(在V 内)(在 上）(在 上）SuS对第二组载荷应有 (在V 内)(在 上）(在 上）SuS ijkkijijijjiijijijEEuuF1 )(21 0,ijijTn iiuu (在V 内)(在 上）(在 上）SuS将上面两组关系中的对应方程相加得 ijkkkkijijijijijijjijiijijiijijijEEuuuuFF)()(1)( )()(21)( 0)()(,) ()(iijijijTTn iiiiuuuu )(iiiuuu ii

15、iuuu )(若则uS(在 上）iiFF iiTT 上式表示在体力 及面力 作用下,约束位移为 弹性力学问题的解为:iuijij ijij iiuu 应力： 应变： 位移： 对于大变形情况，几何方程将出现二次非线性项，平衡微分方程将受到变形的影响，因而叠加原理不再适用。 对于非线性弹性或弹塑性材料，应力-应变关是非线性的，叠加原理不成立。唯一性定理： 在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如果物体的整体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 证明：设对应于同一组载荷 、 和约束条件iFiTiiuu 存在两组不同的解，分别记为 ) , ,(iijiju则) ,

16、 ,(iijiju 、ijkkijijijjiijijijEuuFE1 )(21 0,(在V 内）SuSijijTn iiuu (在 上）(在 上）及 ijkkijijijjiijijijEuuFE1 )(21 0,(在V 内）SuSijijTn iiuu (在 上）(在 上）将以上两组关系中的对应方程相减，得 )()(21)()()(1)( 0)(,ijijjijiijijijkkkkijijijijjijijuuuuEE(在V 内）0)( jijijn0 iiuu(在 上）(在 上）uSS上式表明，两解之差： 、 和)(ijij )(ijij )(iiuu 对应了一个无体力、无面力的自然状态。根据无初应力假设，在自然状态下，有 0 ijij0 ijij可见，应力、应变解是唯一的。 对应无变形状态，为刚体位移（应力边值问题）或与之相应的位移零位移（位移边值问题或混合边值问题）。当限制刚体位移，则0