第六节高阶导数_复变函数论

1、第六节第六节 高阶导数高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考一、问题的提出问题问题: :(1) 解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函其定义和求法是否与实变函数相同数相同?回答回答: :(1) 解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示, 这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?二、主要定理定理定理. , )( ), 2 , 1(d)()(

2、2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 证证 , 0内任一点内任一点为为设设Dz , 1 的情况的情况先证先证 n根据导数的定义根据导数的定义,zzfzzfzfz )()(lim)(0000从柯西积分公式得从柯西积分公式得,d)(21)(00 Czzzzfizf,d)(21)(00 Czzzzzfizzfzzfzzf )()(00,d)(d

3、)(2100 CCzzzzfzzzzzfzi Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I CzzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020 , )( 上解析上解析在在因为因为Czf,上连续上连续所以在所以在 C , )( 上有界上有界在在故故Czf,)( , 0 MzfM 使得使得于是于是 0zC , 0上各点的最短距离上各点的最短距离到曲线到曲线为从为从设设Czdd , 适当地小适当地小并取并取z , 21 dz 满足满足 , 0dzz 则则 , 110dzz 00zzzzzz

4、,2d ,210dzzz ,3dMLzI ,3dMLzI . 的长度的长度为为这里这里CL , 0 z如果如果, 0 I那末那末zzfzzfzfz )()(lim)(0000,d)()(2120 Czzzzfi再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限zzfzzfz )()(lim000.d)()(2! 2)( 300 Czzzzfizf可得可得至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数析函数.依次类推依次类推, 利用数学归纳法可证利用数学归纳法可证.d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf证毕证毕高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:

5、不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分. .三、典型例题例例1 1解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225为正向圆周为正向圆周其中其中计算下列积分计算下列积分 , 1 )1(cos )1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz , cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez

6、 1C2Cxyo iCi , 1CiC为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周内以内以在在 , 2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 , , )1( 2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 1C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei1C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同理可得同理可得,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是

7、2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i例例2 2.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求积分求积分解解 , 1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z , 2 10内内在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 12dcos)2(zzzzze , cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez , 1 00内内在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 z

8、zzei0sincos2 zzzzezei.2 i 课堂练习课堂练习 CzzzzzzgzC.d)()( , 302400求求的简单闭曲线的简单闭曲线是不通过是不通过设设答案答案 ; 0)( , 00 zgCz外外在在 . )16(2)( , 2000izzgCz 内内在在例例4 4解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求积分求积分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有两个奇点有两个奇点函数函数, 23)1( z 2, z仅包含奇点仅包含奇点,1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 3

9、1)2( z , 0 2 内内都含在都含在和和两个奇点两个奇点Czz 2, 0 21和和分别包含分别包含和和作简单闭曲线作简单闭曲线CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 例例5 5. )( , 0d)( , )( 内解析内解析在在证明证明都有都有内任何一条简单闭曲线内任何一条简单闭曲线且对于且对于内连续内连续在单连

10、通域在单连通域设函数设函数BzfzzfCBBzfC (Morera定理定理)证证 , , 0内任意一点内任意一点为为内取定一点内取定一点在在BzzB依题意可知依题意可知 , d)(00的路线无关的路线无关和和的值与连接的值与连接zzfzz , d)()( 0 zzfzF 定义了一个单值函数定义了一个单值函数参照本章第四节定理二参照本章第四节定理二, 可证明可证明),()(zfzF , )( 内一个解析函数内一个解析函数是是所以所以BzF因为解析函数的导数仍为解析函数因为解析函数的导数仍为解析函数, . )( 为解析函数为解析函数故故zf四、小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明它表明了了解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重这一异常重要的结论要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别. Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(高阶导数公式高阶导数公式思考题思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同数与实函数的导数有何不同?思考题答案思考题答案.