第12章 非线性动态电路的暂态过程

1、 由前两章得知，描述线性动态电路的方程是线性微分方程。工程上还广泛存在用非线性微分方程来描述的电路，称为非线性动态电路。本章简要介绍一些常用的非线性动态电路计算方法，包括数值分析法、分段线性分析法、小信号分析法和状态平面分析法。结合具体电路讨论平衡状态稳定性的判断方法、介绍跳变与振荡现象。 提要 12.1 非线性电容与非线性电感非线性电容与非线性电感 12.2 非线性动态电路的状态方程非线性动态电路的状态方程12.3 数值分析法数值分析法 12.4 分段线性分析法分段线性分析法 12.5 小信号分析法小信号分析法 12.6 状态平面分析法状态平面分析法 12.7平衡状态的稳定性平衡状态的稳定性

2、 12.1非线性电容与非线性电感 压控型压控型:电荷是电荷是电压的单值函电压的单值函数数,而电压是电而电压是电荷的多值函数荷的多值函数须以电压须以电压为控制量为控制量非线性电容非线性电容：电容器所储存的电荷与极板间电压不成正电容器所储存的电荷与极板间电压不成正比关系。比关系。(a)电压电荷电压电荷关系曲线关系曲线基本要求基本要求：了解非线性电容与非线性电感的特性。：了解非线性电容与非线性电感的特性。)(uqq 荷控型荷控型:电压是电压是电荷的单值函数电荷的单值函数,而电荷是电压的而电荷是电压的多值函数多值函数)(quu 须以电荷须以电荷为控制量为控制量单调型单调型:电荷与电电荷与电压之间是严格

3、单调压之间是严格单调关系关系,电压与电荷电压与电荷均可作为控制量均可作为控制量可记作可记作)(quuCC)(Cuqq (b)(c)注：本章不讨论含回线型非线性电容的电路。注：本章不讨论含回线型非线性电容的电路。0),(Cuqf电荷与电压电荷与电压关系不能用关系不能用显函数表示显函数表示回线型非线性回线型非线性电容电容(例如用钛酸钡例如用钛酸钡作介质的电容作介质的电容)电荷与电压关系电荷与电压关系uCqO分类分类)(Li 流控型流控型表示表示为为)(iiLL链控型链控型表示为表示为波形波形单调型单调型)(Li )(iiLL表示为表示为波形波形回线型回线型无显函数表达无显函数表达0),(Lif表示

4、表示为为波形波形非线性电感非线性电感：穿过线圈的磁链与流过的电流不是正比关系穿过线圈的磁链与流过的电流不是正比关系 。非线性动态电路非线性动态电路：含有非线性元件：含有非线性元件(独独立电源除外立电源除外)的动态电路。列写非线性的动态电路。列写非线性动态电路的状态方程，过程如下动态电路的状态方程，过程如下由由KVL得得SuuuLR代入得代入得S)(dduRitL)(iiLL)(RiRiuLRRtuLdd推广到一般推广到一般),(ddtxftx一阶非线性动一阶非线性动态电路状态方态电路状态方程的一般形式程的一般形式状态变状态变量量基本要求基本要求：了解非线性动态电路状态方程的列写、一般形式和：了

5、解非线性动态电路状态方程的列写、一般形式和分类。分类。电路如图所示，设电容的初始电压为电路如图所示，设电容的初始电压为 ，二极管的电压，二极管的电压电流关系近似表示为电流关系近似表示为 ，求，求 时的电压时的电压 uC 。0)0(UuC2buaui0t解22ddCCCbuaubuautuCi0t 时的电流为时的电流为 伯努利伯努利方程方程两边除以两边除以C2ddCCCuCbuCatu两边除以两边除以CbuCatuuCCC)1(dd)1(2或或CbuCautCC)1()1(dd2Cu由已知条件得由已知条件得 01)0(1)0(1UKabuuCCCbuCautCC)1()1(dd其通解为其通解为

6、tCaCKabue10001aUbUaabUK解得解得将将K值代入值代入tCaCaUbUaabue )(100两边取倒数两边取倒数 )0(e )(100taUbUaabutCaC电路如图所示，非线性电感是链控型，即电路如图所示，非线性电感是链控型，即 ，非线性，非线性电阻是压控的，即电阻是压控的，即 。列出状态方程。列出状态方程。 )(222fi )(444ufi 解对节点对节点列列KCL方程方程 选电容电压选电容电压 u1 和电感磁链和电感磁链 2 为状态变量。为状态变量。 对回路对回路l 列列KVL方程方程 S42111iiiuCi3122uuu)()(14444ufufi)(223233

7、fRiRu)(222fi )(/ )()(22312S14221fRuCiuffu非线性状态方程的标准形式非线性状态方程的标准形式 自治方程：方程中不明显地含有时间自治方程：方程中不明显地含有时间t的微分方程组。的微分方程组。自治网络：可用自治方程描述的电网络。自治网络：可用自治方程描述的电网络。平衡点：自治方程的稳态解，即平衡点：自治方程的稳态解，即 的解。对应的电路状的解。对应的电路状态称为平衡状态。在平衡点处状态变量态称为平衡状态。在平衡点处状态变量0)(tX0 )(tXG( )( )( )ttt,XF XV推广到一般推广到一般状态状态向量向量输入输入向量向量V(t)是常量是常量( )(

8、 )ttXG X直流激励或零输入直流激励或零输入),(ttXGX 外加激励是时间函数外加激励是时间函数非自治方程非自治方程非自治网络非自治网络)(/ )()(22312S14221fRuCiuffu12.3数值分析法数值分析法：数值分析法：根据响应的初始值和根据响应的初始值和 t0 时的激励，逐步递推响应时的激励，逐步递推响应在离散时刻的近似值。以一阶电路为例介绍如下。在离散时刻的近似值。以一阶电路为例介绍如下。一阶电路一阶电路状态方程状态方程),(ddtxftx两边乘以两边乘以dt再取定积分再取定积分11d),(d)()(kkkktttxtxttxfxkkttkkStxttxftxtxkk)

9、(d),()()(11)(kktxx )(11kktxxkkttkkSxttxfxxkk1d),(1基本迭基本迭代公式代公式基本要求：基本要求：了解教材中介绍的数值分析法的原理和特点。了解教材中介绍的数值分析法的原理和特点。1前向欧拉法前向欧拉法(Forward Euler method) ),(),()(1kkkkkkktxhftxfttS如图所示，本法用高度为如图所示，本法用高度为 矩形面积近似代替曲边梯形面矩形面积近似代替曲边梯形面积积 ，即令，即令 ),(kktxfkS代入代入 得得 ),(1kkkktxhfxxkkttkkSxttxfxxkk1d),(1前向欧拉法前向欧拉法迭代公式迭

10、代公式kktth1步长步长2后向欧拉法后向欧拉法(Backward Euler method) ),(),()(11111kkkkkkktxhftxfttS如图所示，本法用高度为如图所示，本法用高度为 矩形面积近似代替曲边梯形矩形面积近似代替曲边梯形面积面积 ，即令，即令 ),(11kktxfkS),(111kkkktxhfxx代入代入 得得 kkttkkSxttxfxxkk1d),(1后向欧拉法后向欧拉法迭代公式迭代公式3梯形法梯形法(trapezoidal method) 如图所示，本法梯形面积近似代替曲边梯形面积如图所示，本法梯形面积近似代替曲边梯形面积 ，即令，即令 kS),(),(5

11、 . 0),(),()(5 . 011111kkkkkkkkkkKtxftxfhtxftxfttS),(),(5 . 0111kkkkkktxftxfhxx代入代入 得得 kkttkkSxttxfxxkk1d),(1梯形法梯形法迭代公式迭代公式4预报预报-校正法校正法(prediction correction method) 对梯形法稍加改造，以减小计算量而又保持较高的计算精度：对梯形法稍加改造，以减小计算量而又保持较高的计算精度：先用前向欧拉法求出先用前向欧拉法求出 作为预报值，然后把它代入梯形法迭代作为预报值，然后把它代入梯形法迭代公式的公式的 作校正。其迭代公式为作校正。其迭代公式为

12、1kx1kx),(,(5 . 0),(1111kkkkkkkkkktxftxfhxxtxhfxx电路如图所示，设电路如图所示，设 ，非线性电阻特性为，非线性电阻特性为 (单位：单位：A,V)。试用预报。试用预报-校正法求出校正法求出0到到1s(步长取步长取h=0.2s)各时刻的响应值各时刻的响应值 u 。F1,V10)0(Cu201. 01 . 0RRRuui解由图列出由图列出 t0 时的电路方程时的电路方程 RitutuCdd1dd代入非线性电阻特性代入非线性电阻特性 )(),()01. 01 . 0(dd2uftufuutu根据根据预报预报-校正法迭代公式校正法迭代公式得得 2)(01.

13、01 . 0)(kkkuuuf)(1kkkuhfuu2111)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)()(5 . 011kkkkufufhuu% 例题例题12.3的的MATLAB语言程序语言程序uk=10;h=0.2; % 赋初值、设定步长。赋初值、设定步长。for t=h:h:1 % 循环体控制。起始时刻：步长：终止时刻。循环体控制。起始时刻：步长：终止时刻。 fk=(-0.1*uk-0.01*uk2); uk1=uk+h*fk; % 用前向欧拉法进行预报。用前向欧拉法进行预报。 fk1=(-0.1*uk1-0.01*uk12); uk=uk+0.5*h*(fk+fk1); %用梯形法进

14、行校正。用梯形法进行校正。 t, uk % 显示迭代计算值。显示迭代计算值。end % 循环结束。循环结束。2)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)(1kkkuhfuu2111)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)()(5 . 011kkkkufufhuu0.8-1.68218.56348.5721 8.5727 -1.58970.6-1.77948.88988.8994 8.8998 -1.67930.4-1.88519.23489.2454 9.2457 -1.77630.2-2.00009.60009.6117 9.6118 -1.88161.0-1.59228.25428.

15、2621 8.2628 -1.50670.0010.000010.0000 10.0000 02)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)(1kkkuhfuu2111)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)()(5 . 011kkkkufufhuu时间时间(s)f (uk)u(tk+1)uk+1具体迭代过程如下具体迭代过程如下1ku)(1kuf12.4分段线性分析法基本要求：掌握分段线性分析法的基本原理和计算步骤。基本要求：掌握分段线性分析法的基本原理和计算步骤。t0时的电路方程为时的电路方程为 )(ddddufiituCtuCCR上上u，i关系近似为关系近似为记作记作 i=f(u) 上

16、述方程的解对应着上述方程的解对应着u-i平面上的点平面上的点(u，i)，称之为，称之为。动态点移动的路径动态点移动的路径(包括方向包括方向)称为称为。以下图为例以下图为例分段线性分段线性RC 电路电路1. 确定动态路径确定动态路径 设设uC(0-)=U0，则动态路径的起始点就是，则动态路径的起始点就是P0点点Citudd)(ddddufiituCtuCC由由得得i0du/dt0i0动态点左移动态点左移动态点右移动态点右移P0 P1 O得动态得动态路径为路径为新的新的稳态稳态分段线性分段线性RC 电路电路1I2I2PO1P0PAB1U0U2U1SUui2. 计算动态点位于计算动态点位于AB段的响

17、应段的响应 AB段非线性电阻的电压、电流关系段非线性电阻的电压、电流关系为为1S11S2121UiRUiIIUUu对应的分段线性模型如右图，其中对应的分段线性模型如右图，其中 021211IIUUR根据三要素公式，图中电容电压为根据三要素公式，图中电容电压为 )0(e )(11S01S1ttUUUuCRtCR1t1的响应为（零输入）的响应为（零输入）tt1OU1U0uCUS1分段线性电路模型分段线性电路模型电压电压 uC 的波形的波形电路如图电路如图(a)所示，设所示，设IS=1.5A，C=1F，非线性电阻的电压电流关，非线性电阻的电压电流关系如图系如图 (b)所示。所示。uC(0-)=2.5

18、V，求，求t0时的电容电压时的电容电压uC 。 (a) (b) 解RCRCuuiItuCSddt0时由图时由图 (a)得得 所以所以 CiItuRR/ )(ddS根据已知初始值根据已知初始值uC(0-)=2.5V得得 V5 . 2)0()0()0(CCRuuu故动态路径的起始点为故动态路径的起始点为AB 直线段的直线段的P0点。点。 i ISduR/dt0i0动态点左移动态点左移动态点右移动态点右移i= ISduR/dt=0平衡点平衡点CP3，P2AP1P1，P2，P3P2BP3，OP1(a) (b) AB直线段的直线方程为直线段的直线方程为 A5 . 2S5 . 0RRui对应该段的线性电路

19、模型如对应该段的线性电路模型如图图(C) 由此图得由此图得 11pS/pp0.50.512s00.5S1(2.5A)2V0.5S(0 )(0 )e2(2.52)e(20.5e)V 0CtCCCCttCuIuuuutt 设设t1为动态点到达为动态点到达B点的时刻，点的时刻，则则 s386. 1V3V)e5 . 02()(15 . 011ttutC分段线性电路模型分段线性电路模型t 时，时，动态动态点趋近平衡点点趋近平衡点P3当当tt1时，动态点位于时，动态点位于BC段上。段上。 BC直线段的直线方程为直线段的直线方程为 5 . 05 . 0RRui由此图得由此图得 1)(5 . 0)(5 . 0

20、/ )(1p1pSp2Ve4e )43(4e)()(V4)5 . 0(5 . 01s25 . 01121tttutuuuIuCttttttCCCCC对应该段的线性电路模型如图对应该段的线性电路模型如图 (d)。 12.5小信号分析法基本要求：掌握小信号分析法分析法的原理和步骤。基本要求：掌握小信号分析法分析法的原理和步骤。+LLLCCCRRRRRRiIiuUuiIiuUu,小信号分析法主要包括主要步骤：小信号分析法主要包括主要步骤：确定电路平衡状态解答确定电路平衡状态解答计算小信号解答计算小信号解答1. 计算电路平衡状态解答计算电路平衡状态解答 线性部分EeRuCuLiRi线性部分E0eRUL

21、ICURI小信号小信号电源电源 e不作用不作用利用直利用直流电路流电路方法方法求解平衡状态解求解平衡状态解如如UR、UC和和IL小信号基尔霍夫定律小信号基尔霍夫定律2. 计算小信号解答计算小信号解答类似得出结论：各支路电压增量须满足类似得出结论：各支路电压增量须满足KVL，即，即上两代数和中包括小信号电流上两代数和中包括小信号电流(压压)源。源。0ku线性部分EeRuCuLiRi由由KCL得得0)(kkkkkiIiIi平衡状态时平衡状态时 0kI得得0ki元件方程的增量形式元件方程的增量形式动态电容动态电容CUuCuquqCCCddd动态电阻或动态电阻或动态电导动态电导dddRiuiuRRIi

22、RRRRdd1ddRuiuiGRRUuRRRR动态电感动态电感LIidiiLLLdd 综上所述，由小信号电源作用所产生的综上所述，由小信号电源作用所产生的小信号电压、电流分别服从小信号电压、电流分别服从KCL和和KVL，小信号元件方程为近似的线性方程。据此小信号元件方程为近似的线性方程。据此可作出线性的小信号等效电路，如右图所可作出线性的小信号等效电路，如右图所示。其中示。其中 e为小信号电源，各非线性元件为小信号电源，各非线性元件均用其动态参数表示。解此线性电路便可均用其动态参数表示。解此线性电路便可得到小信号的近似解。得到小信号的近似解。 3.3.把平衡状态解答与小信号解答相加便得到电路的

23、近似全解把平衡状态解答与小信号解答相加便得到电路的近似全解 LLLCCCRRRRRRiIiuUuiIiuUu,图为非线性动态电路图为非线性动态电路, 设非线性电阻电压电流关系为设非线性电阻电压电流关系为 iR= 1.389 10-3 uR2, (uR 0) (单位单位:A,V), 非线性电感非线性电感 =1.067 10-3iL2 (单位单位: Wb, A), 直流电压源直流电压源US=60V, 阶跃电压源阶跃电压源 uS=3 (t)V。求。求t0时时的响应的响应uR。 动态电阻和动态电感分别为动态电阻和动态电感分别为 H2dd6ddd1dLLRIiLUuiLuiR画出直流电源单独作用时计算平

24、衡状态的等效电路如图，画出直流电源单独作用时计算平衡状态的等效电路如图，求得求得 解A253A56010389. 1V60S23SUIIIUURLRR代入三要素公式得代入三要素公式得 0Ve2e)()0()(tuuuuttRRRR平衡状态解答与小信号解相加得平衡状态解答与小信号解相加得 )0(V)e260(tuUutRRR小信号线性等效电路如图小信号线性等效电路如图 所示。它是一阶线性动态电路，所示。它是一阶线性动态电路，并且为零状态。由图得并且为零状态。由图得 s 1330)(V2)0(3)0(ddddSddRRLRLuuRRuRR12.6状态平面分析法基本要求：了解状态平面的概念和状态轨迹

25、的画法。基本要求：了解状态平面的概念和状态轨迹的画法。状态平面：状态平面：以以(x1，x2)为坐标点的为坐标点的x1x2平面。平面。状态轨迹：状态轨迹：将将t看作参变量，并设看作参变量，并设 t=0+，t1，t2 ， 对应对应x1和和x2将在将在x1x2平面上描绘出一条以平面上描绘出一条以x1(0+)，x2 (0+)为起点的轨为起点的轨迹，称为状态轨迹。迹，称为状态轨迹。 如果已知状态变量的如果已知状态变量的初始值和，由式初始值和，由式(12.29)可可求得求得 t0 时的解，记作时的解，记作 )()(2211txxtxx(12.30),(dd),(dd21222111xxftxxxftx(1

26、2.29)设二阶非线性自治设二阶非线性自治电路的状态方程为电路的状态方程为绘制状态轨迹的方法：绘制状态轨迹的方法：在给定初始值在给定初始值x1(0+)及及x2 (0+) 的情况下，求出微分方程的情况下，求出微分方程(12.31)的解的解x2=F(x1) ，根据这一解答画出状态轨迹。，根据这一解答画出状态轨迹。 (1) 求出方程求出方程(12.29)的解的解x1(t)和和x2 (t) ，令，令t=0+，t1，t2 ，求出，求出相应的相应的x1和和x2 便可绘制状态轨迹。便可绘制状态轨迹。(12.31),(),(dd21121212xxfxxfxx(2) 通过求出通过求出x1与与x2的函数关系绘制

27、状态轨迹。为此将式的函数关系绘制状态轨迹。为此将式(12.29)中两式相除得中两式相除得状态平面分析法：状态平面分析法：在状态平面上绘制状态轨迹，通过分析在状态平面上绘制状态轨迹，通过分析状态轨迹的几何性质，进而研究动态电路的特性的方法。状态轨迹的几何性质，进而研究动态电路的特性的方法。画出图示电路的状态轨迹。画出图示电路的状态轨迹。 解电路的状态方程为电路的状态方程为 CLLCuLtiiCtu1dd1dd(1) 二式相除得二式相除得CLLCuiCLiudd(2) 分离变量并求定积分得分离变量并求定积分得 )()0()()0(ddtiiLLtuuCCLLCCiLiuCu)0()0(2222LL

28、CCiiLuuC(3) 令令LLiCuKCLiCuKLCLC/)0()0(/)0()0(222221(5) 1222212KiKuLC简简化化成成 (5) 1222212KiKuLC上式表明状态轨迹是垂直半轴上式表明状态轨迹是垂直半轴为为K1、水平半轴为、水平半轴为K2的椭圆。的椭圆。 K1 、 K2与初始值有关，不同的与初始值有关，不同的初始值对应不同的椭圆轨迹，初始值对应不同的椭圆轨迹，LCiCtu1dd由上式得知，当由上式得知，当iL0 时，时，duC /dt0，uC递减；当递减；当iL0 ，uC 递增。所以状态轨迹方向为顺时针。递增。所以状态轨迹方向为顺时针。如图所示，图中状态轨迹方向

29、的根据是如图所示，图中状态轨迹方向的根据是12.7平衡状态的稳定性1.利用动态路径判断一阶电路平衡状态的稳定性利用动态路径判断一阶电路平衡状态的稳定性 1p2p (a) (b)稳定平稳定平衡状态衡状态不稳定不稳定平衡状态平衡状态总结：如果平衡状态附近的动态路径方向均指向平衡状态，总结：如果平衡状态附近的动态路径方向均指向平衡状态，则该平衡状态是稳定的；否则是不稳定的。则该平衡状态是稳定的；否则是不稳定的。 基本要求：了解平衡状态稳定性的概念及判别方法。基本要求：了解平衡状态稳定性的概念及判别方法。平衡状态的稳定性：平衡状态的稳定性：若由于某种扰动使电路工作状态偏离了若由于某种扰动使电路工作状态

30、偏离了平衡状态，扰动结束后，如果电路能够恢复到原来的平衡状平衡状态，扰动结束后，如果电路能够恢复到原来的平衡状态，则称该平衡状态是稳定的；否则为不稳定的。态，则称该平衡状态是稳定的；否则为不稳定的。 图图(a)为一弧光灯电路，为一弧光灯电路，US为直流电压源，弧光灯为一为直流电压源，弧光灯为一非线性电阻，其特性为流控型，记作非线性电阻，其特性为流控型，记作 u = u(i) ，如图，如图 (b)所所示。判断平衡状态的稳定性。示。判断平衡状态的稳定性。 (a) (b) RiUu S)(iuu USABMiuO利用图解法解上述方程，求得各平衡状态利用图解法解上述方程，求得各平衡状态M、A、B点。点

31、。 先确定全部平衡状态。先确定全部平衡状态。由于在平衡状态时由于在平衡状态时di/dt=0 ，有，有解)(SiuuRiUu(12.32)RiUu S)(iuu USABMiuO由上式可判定由上式可判定 M 和和 B 对应稳定平衡状态；对应稳定平衡状态；而而 A 对应不稳定平衡状态。对应不稳定平衡状态。(2) 确定动态路径。设电路处于非平衡状态，其确定动态路径。设电路处于非平衡状态，其KVL方程为方程为 uRiUtiLSdd或写作或写作 LuRiUti/ )(ddS(12.33)2.2.利用小信号分析法判断平衡状态的稳定性利用小信号分析法判断平衡状态的稳定性其中其中 I(s)表示表示 i 的象函数，的象函数， U (s)表示表示US的象函数。由的象函数。由式式(12.34)求得小信号等效电路的网络函数为求得小信号等效电路的网络函数为 psLsUsIsH/1)()()(S(12.35) 设例设例12.7电路处于平衡状态时受到微小电路处于平衡状态时受到微小扰动，记作扰动，记作 uS，它叠加在，它叠加在US上。上。Rd为