第七章相似理论及量纲分析

1、第七章相似原理和量纲分析第七章相似原理和量纲分析 本章主要介绍模型设计和实验研究必须遵循的原本章主要介绍模型设计和实验研究必须遵循的原理，实验变量的选择和实验结果的分析整理。理，实验变量的选择和实验结果的分析整理。 第七章相似原理和量纲分析第七章相似原理和量纲分析 用翼栅及高温，化学，多相流动理论设计制造成用翼栅及高温，化学，多相流动理论设计制造成功大型气轮机，水轮机，涡喷发动机等动力机械，为功大型气轮机，水轮机，涡喷发动机等动力机械，为人类提供单机达百万千瓦的强大动力。人类提供单机达百万千瓦的强大动力。第七章相似原理和量纲分析第七章相似原理和量纲分析大型水利枢纽工程，超高层建筑，大跨度桥梁等

2、的大型水利枢纽工程，超高层建筑，大跨度桥梁等的设计和建造离不开水力学和风工程。设计和建造离不开水力学和风工程。第七章相似原理和量纲分析第七章相似原理和量纲分析 第一节相似原理第一节相似原理一、流动现象相似的概念一、流动现象相似的概念 在相似的空间中，表述流动现象的各物理量的场在相似的空间中，表述流动现象的各物理量的场相似。相似。1.如何建立模型；如何建立模型；2.试验中测量参数，如何整理试验数据；试验中测量参数，如何整理试验数据；3.试验结果如何推广应用。试验结果如何推广应用。第一节相似原理二、相似条件二、相似条件相似原理告诉我们，要使两流动现象相似，必须满足力学相似原理告诉我们，要使两流动现

3、象相似，必须满足力学相似条件，即几何相似、运动相似和动力相似。相似条件，即几何相似、运动相似和动力相似。lKLLDDdd333222llKllVVKllAA1.几何相似几何相似 几何相似是指发生在模型与原几何相似是指发生在模型与原型中的流动边界几何形状相似，型中的流动边界几何形状相似，即对应的角度相等，对应的边长即对应的角度相等，对应的边长成比例。成比例。 第一节相似原理2.运动相似运动相似 运动相似是指模型和原型中对应点上的同名速度方向相同，运动相似是指模型和原型中对应点上的同名速度方向相同，大小成比例。大小成比例。 uyyxxKuuuuuutluKKtltluuK222tlaKKtltla

4、aK第一节相似原理3.动力相似动力相似动力相似亦称力相似。其内容是：对应点上流体质点所受动力相似亦称力相似。其内容是：对应点上流体质点所受到的同名力方向相同，大小成比例。到的同名力方向相同，大小成比例。 FKFFFFFFFFFF44332211KKTTKT第一节相似原理三、动力相似准则三、动力相似准则一般情况下，作用在流体上的力主要有粘性力一般情况下，作用在流体上的力主要有粘性力F ，重力，重力Fg，压力压力Fp。对可压缩流体还有弹性力。对可压缩流体还有弹性力Fe。这些作用力与我们熟知。这些作用力与我们熟知的流动参数之间有何关系的流动参数之间有何关系?怎样才能判别各作用力是否相似怎样才能判别各

5、作用力是否相似?下下面就来分析解决这些问题。面就来分析解决这些问题。 流体所具有的惯性力大小为：流体所具有的惯性力大小为： 223ultulVamaFa22ulmaF222222ulaaFKKKululFFFFK 122ulFKKKKK模型与原型中的流动只有在相似指标模型与原型中的流动只有在相似指标等于等于1时才能满足动力相似条件。这一结论时才能满足动力相似条件。这一结论称为相似第一定理称为相似第一定理 。第一节相似原理三、动力相似准则三、动力相似准则1.粘性力相似准则粘性力相似准则雷诺数雷诺数luRe 22ulFKKKKFFFF22ulxxKKKdyduAdyduA222ullulKKKKK

6、KKulKKKKuullulluReRe 第一节相似原理1.粘性力相似准则雷诺数2.重力相似准则弗鲁德数3.压力相似准则欧拉数相似准则有决定性和非决定性相似准则，除欧拉准则外，其他准则都是决定性相似准则。两流动现象相似的充要条件是：在几何相似的前提下，各决定性相似准则分别对应相等。 luRe uglFr 2upEu第一节相似原理 近似相似包含两方面的内容：近似相似包含两方面的内容：几何近似相似是指模型与原型的几何尺寸和形状近似相几何近似相似是指模型与原型的几何尺寸和形状近似相似。似。作用力近似相似，就是说只考虑起主要作用的定性准则，作用力近似相似，就是说只考虑起主要作用的定性准则，忽略次要的定

7、性准则。忽略次要的定性准则。一般情况下，对不可压缩流体的有压流动，粘性力和压力一般情况下，对不可压缩流体的有压流动，粘性力和压力是主要作用力，重力可以忽略。所以，定性准则是是主要作用力，重力可以忽略。所以，定性准则是Re，非决定，非决定性准则性准则Eu是是Re的函数。对于无压流动，在紊流情况下，可以忽的函数。对于无压流动，在紊流情况下，可以忽略粘性力的影响，只考虑重力的作用。此时的定性准则为略粘性力的影响，只考虑重力的作用。此时的定性准则为Fr。层流区又称为第一自模区层流区又称为第一自模区 ，阻力平方区又称为第二自模区。阻力平方区又称为第二自模区。 四、近似相似四、近似相似例例 7-1为研究某

8、种汽车的阻力特性，将其缩小若干倍做成汽车模型，为研究某种汽车的阻力特性，将其缩小若干倍做成汽车模型，在低速风洞中做吹风试验。设汽车行驶的速度为在低速风洞中做吹风试验。设汽车行驶的速度为45km/h，试验，试验风速为风速为62.5 m/s，则，则(1)为保证动力相似，试确定模型汽车的尺寸比；为保证动力相似，试确定模型汽车的尺寸比；(2)若在若在(1)所确定的尺寸下，测得模型的阻力为所确定的尺寸下，测得模型的阻力为R=500N。试。试确定汽车的行驶阻力确定汽车的行驶阻力R。解 ullu53600450005 .62uullKlpuupupup222或5002222RRlluuARRuuApuupA

9、R第二节量纲分析第二节量纲分析 定理定理 对某一具体的流动现象，它包含了哪些相似准则和对某一具体的流动现象，它包含了哪些相似准则和相似常数，怎样将它们找出来，又怎样通过实验来确定相似常数，怎样将它们找出来，又怎样通过实验来确定它们之间的关系。所有这些就是本节要讨论的问题。它们之间的关系。所有这些就是本节要讨论的问题。一、量纲及物理方程的量纲和谐性一、量纲及物理方程的量纲和谐性 在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量

10、的特征。理量的量的特征。 量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。物理量的类别，是物理量的质的特征。 基本量纲具有独立性，比基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题如与温度无关的动力学问题可选取长度可选取长度L、时间、时间T和质和质量量M为基本量纲。为基本量纲。,基本量纲基本量纲诱导量纲诱导量纲 量纲量纲 诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出称为量纲指数称为量纲指数0,0,00,0,00,0,0则则 x 为几何学的量为几何学的量则则 x 为动力学的量为动力

11、学的量则则 x 为运动学的量为运动学的量MTLx 如如12TL运动粘性系数运动粘性系数11MTL动力粘性系数动力粘性系数第二节量纲分析第二节量纲分析 定理定理 221UppCp 无量纲（量纲为一）量无量纲（量纲为一）量相同量纲量的比值相同量纲量的比值 几个有量纲量通过乘除组合而成几个有量纲量通过乘除组合而成如角度，三角函数如角度，三角函数 定义：定义：物理量物理量的所有的所有量纲指量纲指数为零数为零如压力系数如压力系数第二节量纲分析第二节量纲分析 定理定理 正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。纲指数都分别相同

12、。量纲和谐原理量纲和谐原理 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。制变换而改变形式。 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。 第二节量纲分析第二节量纲分析 定理定理 022Hgupz120200gHuHpHz第二节量纲分析第二节量纲分析 定理定理通过量纲分析来确定影响某流动的相似准则间定性关系的通过量纲分析来确定影响某流动的相似准则间定性关系的方法，就称为方法，就称为 定理定理(亦称相似第三定理亦称相似第三定理)。其具体内容是：。其具体内容是：影

13、响某流动现象的影响某流动现象的n个物理量之间的关系可用物理方程个物理量之间的关系可用物理方程 f(x1，x2，xn)=0来描写。若来描写。若n个物理量个物理量x1，x2，xn中所包含的基本量纲的数中所包含的基本量纲的数目为目为r，则上式可简化为只有，则上式可简化为只有(n-r)个无量纲数为变量的无量纲方个无量纲数为变量的无量纲方程，即程，即0,21rnF二、量纲分析二、量纲分析 定理定理第二节量纲分析第二节量纲分析 定理定理 从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互的物理

14、量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之间关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更具普遍性。规律性联系的实质，也更具普遍性。 应用应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物理量时，既不能遗漏，也不要多列。理量时，既不能遗漏，也不要多列。 例初速为零的自由落体运动位移初速为零的自由落体运动位移 ss g , tg , t 选为基本量纲选为基本量纲三个量只能组成一个无量纲量三个量只能组成一个无量纲量s/gt2初速为零的自由落体运动规律初速为零

15、的自由落体运动规律 s/gt2 =C做一次实验测得做一次实验测得 C = 1/2 ，就不用再做类似实验，就不用再做类似实验，包括在月球上做实验。包括在月球上做实验。第二节量纲分析第二节量纲分析 定理定理第二节量纲分析第二节量纲分析 定理定理某物理现象有某物理现象有n个物理量，其中有个物理量，其中有r个基本量纲。则个基本量纲。则在在n个个物理量中任选物理量中任选r个作为独立变量。但这个作为独立变量。但这r个独立变量的量纲不能个独立变量的量纲不能相同，而且它们必须包含有相同，而且它们必须包含有n个物理量所涉及的全部基本量纲。个物理量所涉及的全部基本量纲。在保证量纲相同的前提下，将剩余的在保证量纲相

16、同的前提下，将剩余的(n-r)个物理量分别个物理量分别用所选定的用所选定的r个独立变量的乘幂组合来表示，将其无量纲化。个独立变量的乘幂组合来表示，将其无量纲化。0,21rnFnnncjbjajncjbjajcjbjajxxxxxxxxxxxx11n11221111222111 求取无量纲数的具体方法：求取无量纲数的具体方法：f(x1，x2，xn)=0例例 7-2实验发现不可压缩流体在管道内流动时的压力损失实验发现不可压缩流体在管道内流动时的压力损失 p主要主要与速度与速度v，密度，密度 ，粘度，粘度 ，管径，管径d，管长，管长l和壁面粗糙度和壁面粗糙度 有关。试有关。试将这些物理量的关系用无量纲方程来表示。将这些物理量的关系用无量纲方程来表示。解描述这一流动的定性方程可写成解描述这一流动的定性方程可写成选取密度选取密度ML-3速度速度vLT-1和管径和管径dL作为作为3个独立个独立变量。变量。 p的量